哈爾濱工程大學復變函數(shù)與積分變換參考答案

1、zdz 二-_2心 i1 分1 分2 分1 分1 分2 分2分1 I14解：原積分=龍z2z 12分3 分3分復變函數(shù)與積分變換參考答案與評分標準A卷2021-01-04、選擇題2分/題12345DCDAD二、填空題2分/題Ji, , ,n6. -2k 二k=0, _1,_2,7. -38.2 29. e10. et -1三、計算題1 5分/題11 解：u =2x3,v =3y3,ux =6x2,Uy =0弘 二 0,vy =9y24個偏導數(shù)均連續(xù)可微根據(jù)C-R方程有6x9y n y = lx可導0=0V3不無處解析12解：列出C-R方程ux _vx 二 ux uy = 3x 6xy _3y

2、一 丨 ux=6xyi22= t c 2 c 2uy -vy 二ux uy =3x 6xy-3yUy=3x -3y注：直接應用C-R方程得到上式得3分積分u =3x2y Cy，帶入得Cy y3 c，所以u =3x2y _y3 c, v - -x3 3xy2 c13 解：n 1, zzdzC1n - -1 , 口 zn z dz 二 3 ;dz - -二 i4(2分)15解：法1原積分二111 z4 1iz4z2dzzdz叫4 6z21(3 分)= = 2；ri 2(rzi 4z3 +12z(2分)法2兀d日0 1 coS2 二1二 2d t壬3 cos2v dz匕iz2z2 72 二 dt3

3、cost dzz2 6z 1(2分)1 分兩個一階極點只有= 2 2-3在|z| = 1 內(nèi)，留數(shù)為 resf(zj =(z2 6z 1)142，2 1所以I =2兀i產(chǎn)i4/2做變換2z=e2i其余過程與法2類似。四、計算題U6分/題f (z)解析,1f( z) =(z-3)(1 -z16、解：12) f(z)=(z-3)(1 - znJ n =0 2(z-1)-23) f(z)泰勒展開n 11 一 2_n_z)爲才z 一宀十-3)(-晉2 z1 -1/ zz-1 (z1)-12旳1二(1 一丄)Z -1 n(z -1)1z -1(2分)1/ 2 、1 -z/2)(1 分)(1 分)(1分)

4、(1 分)17解 1當z=0時，當 03時，只有| 二i | 3,f (二 i)e sin匕-z2 詁Ciz2 e sin z -z-z二z在C所圍內(nèi)部,sin z _z).z2z=1e sin*八丄一f二2 ze sin z=1 ecosle-_:-sin 二 ind (1 分)(1分)(1分)(1 分)18 解 1) w = z3(3 分)2)五、應用題(8分)19 解 設 Lx (t)二s2X(s), Lx(t) =sX(s) 對方程兩端取拉式變換，得：2 2ms X(s) = Lf (t) -m pX(s)那么 X(s)1 Lf(t)2丄2m s o禾I用L卜(t) =1丄sin kt

5、孑.k取反變換得x(t) = sin o六、證明題(5+4=9分)20、證明：1| f(z)尸 f (z) f (z) =C= f(z)，故 f (z)解析f (z)3 分4分2分2分2分利用結(jié)論“ fz, fz解析，那么fz為常數(shù)，或者根據(jù) 論。C-R方程證明此命題得到結(jié)21、證：法 I 令lim卜1，那么收斂半徑R二丄,假設R 1：1，得 |an|收斂，與矛盾假設R ： 1,因為|an|收斂，即a anzn在z=1收斂，那么收斂半徑R_1，與假設矛 盾。法n級數(shù)a an收斂，相當于幕級數(shù)anzn在z = 1處收斂，于是由阿貝爾定理，對于滿足|z|的z，、anzn必絕對收斂，從而該級數(shù)的收斂