函數(shù)的奇偶性

1、復習復習一、一、 函數(shù)圖象的作法函數(shù)圖象的作法（注意定義域優(yōu)先原則）（注意定義域優(yōu)先原則）二、二、 函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性或函數(shù)圖象從左到右上升，或函數(shù)圖象從左到右上升，1.定義：當自變量由小到大定義：當自變量由小到大 函數(shù)值也由小到大函數(shù)值也由小到大),(21xx ),()(21xfxf 是增函數(shù)是增函數(shù)當自變量由小到大當自變量由小到大 函數(shù)值反而由大到小函數(shù)值反而由大到小),(21xx ),()(21xfxf 或函數(shù)圖象從左到右下降，或函數(shù)圖象從左到右下降， 是減函數(shù)是減函數(shù)(1) (1) 單調(diào)性是局部性質(zhì)，所以它必須落到具體區(qū)間上去。單調(diào)性是局部性質(zhì)，所以它必須落到具體區(qū)間上去。注意事

2、項注意事項)(21xx、(2)(2)自變量必須取區(qū)間上的任意兩個值。自變量必須取區(qū)間上的任意兩個值。2.2.判斷一個函數(shù)單調(diào)性常用圖象觀察法；判斷一個函數(shù)單調(diào)性常用圖象觀察法；3.3.證明函數(shù)單調(diào)性的步驟是證明函數(shù)單調(diào)性的步驟是(1)(1)取值，區(qū)間中任取兩個值取值，區(qū)間中任取兩個值x x1 1、x x2 2, ,且令且令x x1 1 x x2 2(2)(2)作差，作差，f( (x x1 1) )f( (x x2 2) )(3) (3) 變形，變形，(4) (4) 定號，（須利用定號，（須利用x1 1 x2 2 ) ) (5) (5) 結(jié)論，（根據(jù)增、減函數(shù)的定義）結(jié)論，（根據(jù)增、減函數(shù)的定義

3、）三三. .已學函數(shù)的單調(diào)性已學函數(shù)的單調(diào)性 一次函數(shù)一次函數(shù)yaxb(a0)0 a2x1xyx02x1xyx0 x0yx0y0 a（2）反比例函數(shù)）反比例函數(shù))0( kxky0 k0 k(3)二次函數(shù)二次函數(shù)yax2bxc (a0)0 a0 ax0yx0y在上是增函數(shù)在上是增函數(shù)),(在上在上是減函數(shù)是減函數(shù)), 0(),0 ,(在上是減函數(shù)在上是減函數(shù)),(在上在上是增函數(shù)是增函數(shù)), 0(),0 ,(在上是減函數(shù)在上是減函數(shù)在上是增函數(shù)在上是增函數(shù)2,(ab ),2 ab在上是增函數(shù)在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)在上是減函數(shù)2,(ab ),2 ababx2 abx2 四、作業(yè)講評四、作業(yè)講評（

4、 一）教材一）教材P29習題習題3.1中第中第3題）題）xy )1(5)2( xy2)3(xy 3)4(2 xy110yx-550yx-220yx-4-220yx-13（ 二）教材二）教材P31習題習題3.21.13)1( xy230yx31 在在R R上是增函數(shù)上是增函數(shù)1)2(2 xy210yx-11在上是增函數(shù)在上是增函數(shù)), 0 ),(函數(shù)的定義域為函數(shù)的定義域為-23)()3(xxf 0 ,(在上是減函數(shù)在上是減函數(shù)yx-1810-8-101yx1-1-2-882函數(shù)在上是增函數(shù)函數(shù)在上是增函數(shù)),(2.3.x1yxy), 0( 函數(shù)在上是減函數(shù)函數(shù)在上是減函數(shù)證明：證明：在在R上任

5、取兩個值且上任取兩個值且、1x，2x21xx 則則)32()32()()(2121 xxxfxf323221 xx)(221xx 21xx 021 xx0)()(21 xfxf于于是是)()(21xfxf 即即函數(shù)函數(shù) 在在R R上是增函數(shù)上是增函數(shù). .23)( xxf新課：新課：3.3函數(shù)的奇偶性函數(shù)的奇偶性本節(jié)課內(nèi)容：本節(jié)課內(nèi)容：1.函數(shù)奇偶性的定義函數(shù)奇偶性的定義（重點）（重點）2.函數(shù)奇偶性的判斷及證明函數(shù)奇偶性的判斷及證明（難點）（難點）3.函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的綜合應用函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的綜合應用 觀察下面兩個函數(shù)你能發(fā)現(xiàn)它們有什么共同特征嗎？觀察下面兩個函數(shù)你能發(fā)現(xiàn)它們有什么共同

6、特征嗎？0 xy123-1-2-3123456y=x20 xy123-1-2-3123456y=|x|這兩個函數(shù)圖象有什么共同特點嗎？這兩個函數(shù)圖象有什么共同特點嗎？結(jié)論：這兩個函數(shù)的圖象都關(guān)于結(jié)論：這兩個函數(shù)的圖象都關(guān)于y軸對稱。軸對稱。yx20123-1-2-313456f(-3)= 9 y=x29410149-1x-3 -20123f(-x)=(-x)2 =x2表（表（1）填寫表（填寫表（1），你發(fā)現(xiàn)了什么？），你發(fā)現(xiàn)了什么？f(-1)= 1f(-2)= 4x-xy=x2f(1) = 1f(2) = 4f(3) = 9=特點：特點：當自變量當自變量x x取一對相反數(shù)時，相應的取一對相反數(shù)

7、時，相應的兩個兩個函數(shù)值相等函數(shù)值相等.f(-1) = f(1)f(-2) = f(2)f(-3) = f(3)f(-x) f(x) f(x)=x23210123-1x-3 -20123填寫表（填寫表（2），你發(fā)現(xiàn)了什么？），你發(fā)現(xiàn)了什么？y=|x|表（表（2）特點：特點：當自變量當自變量x x取一對相反數(shù)時，相應的取一對相反數(shù)時，相應的兩個兩個函數(shù)值相等函數(shù)值相等.x0y123-1-3123456-2y=|x|f(-1)= 1f(1) = 1f(-1) = f(1)f(-2)= 2f(2) = 2f(-2) = f(2)f(-3)= 3f(3) = 3f(-3) = f(3)f(-x)=|-

8、x| =|x| f(x)= |x|f(-x) f(x)=1偶函數(shù)偶函數(shù) (even function) 一般地，對于函數(shù)一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個的定義域內(nèi)的任意一個x，都有都有f(x)=f(x)，那么，那么f(x)就叫做就叫做偶函數(shù)偶函數(shù) 例如，函數(shù) 都是偶函數(shù)，它們的圖象分別如下圖(1)、(2)所示.3)(, 1)(22 xxfxxf210yx-111)(2 xxf(1)-220yx-133)(2 xxf(2) 觀察下面兩個函數(shù)你能發(fā)現(xiàn)它們有什么共同特征嗎？觀察下面兩個函數(shù)你能發(fā)現(xiàn)它們有什么共同特征嗎？-30 xy123-1-2-1123-2-3f(x)=x0 xy123

9、-1-2-1123-2-31( )f xx3210-1-2-3-1x-3-2012 3f(-3)= -3 0 xy123-1-2-1123-2-3f(-x) -f(x)f(x)=x填寫表（填寫表（3），你發(fā)現(xiàn)了什么？），你發(fā)現(xiàn)了什么？f(-1)= -1f(-2)= -2 x-x表（表（3）f(1)= 1f(2)= 2f(3)= 3=f(x)=x特點：特點：當自變量當自變量x取一對相反數(shù)時，相應的函數(shù)值也是取一對相反數(shù)時，相應的函數(shù)值也是相反數(shù)相反數(shù)f(-1) =-f(1)f(-2) =-f(2)f(-3) =-f(3)填寫表（填寫表（4），你發(fā)現(xiàn)了什么？），你發(fā)現(xiàn)了什么？f(-1)= -1f(

10、-x) = -f(x)1無意義3210-2-3x1( )f xx-11312-11213表（表（4）特點：特點：當自變量當自變量x取一對相反數(shù)時，相應的函數(shù)值也是取一對相反數(shù)時，相應的函數(shù)值也是相反數(shù)相反數(shù)0 xy123-1-2-1123-2-31( )f xxf(1) = 1f(-1) =-f(1)f(2)=2121 f(-2)= f(-3)=31 f(-2) =-f(2) f(3)=31f(-3) =-f(3)2奇函數(shù)奇函數(shù)(odd function)(odd function) 一般地，對于函數(shù)一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個的定義域內(nèi)的任意一個x，都有都有f(x)= f(x

11、)，那么，那么f(x)就叫做就叫做奇奇函數(shù)函數(shù) 例如，函數(shù) 都是奇函數(shù)，它們的圖象分別如下圖(3)、(4)所示.xxxfxxf )()(3、yx1-1-2-882(3)3)(xxf x0y1412-2 -12-1-4xxxf )(4)圖像特征圖像特征觀察以下圖象，奇函數(shù)的圖象、偶函數(shù)的圖象觀察以下圖象，奇函數(shù)的圖象、偶函數(shù)的圖象有何特征？有何特征？偶函數(shù)偶函數(shù)210yx-111)(2 xxf(1)-220yx-133)(2 xxf(2)奇函數(shù)奇函數(shù)yx1-1-2-882(3)3)(xxf x0y1412-2 -12-1-4xxxf )(4)奇函數(shù)的圖象奇函數(shù)的圖象( (如如y=xy=x3 3

12、) )偶函數(shù)的圖象偶函數(shù)的圖象( (如如y=xy=x2 2) )yxoaP/(-a ,f(-a)p(a ,f(a)-ayxoaP/(-a ,f(-a)p(a ,f(a)-a偶函數(shù)的圖象關(guān)于偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱軸對稱.奇函數(shù)的圖象關(guān)于奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點原點對稱對稱.反之反之,若一個函數(shù)的圖象關(guān)于原點若一個函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，對稱，那么這個函數(shù)是奇函數(shù)那么這個函數(shù)是奇函數(shù)反之反之, 若一個函數(shù)的圖象關(guān)于若一個函數(shù)的圖象關(guān)于 y 軸軸對稱對稱,那么這個函數(shù)是偶函數(shù)那么這個函數(shù)是偶函數(shù)圖像特征圖像特征奇函數(shù)的奇函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)偶函數(shù)的偶函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)定義域關(guān)于原點對稱定義域關(guān)于原點對稱2()f

13、xx1,2x ,是偶函數(shù)嗎？是偶函數(shù)嗎？問題：問題：1.0 x123-1-2-3123456y不是。不是。解解：前提條件前提條件( ),1,f xx x 問題：問題：2 是奇函數(shù)嗎？是奇函數(shù)嗎？-30 xy123-1-2-1123-2-3解：解：不是。不是。一、函數(shù)奇偶性的定義一、函數(shù)奇偶性的定義設(shè)函數(shù)的定義域為設(shè)函數(shù)的定義域為D，如果對于任意的，如果對于任意的都有且滿足都有且滿足)(xfy ,Dx ,Dx )()(xfxf 1.偶函數(shù)：偶函數(shù)：)(xf則函數(shù)叫則函數(shù)叫偶函數(shù)偶函數(shù)2.奇函數(shù)：奇函數(shù)： 設(shè)函數(shù)的定義域為設(shè)函數(shù)的定義域為D，如果對于任意的，如果對于任意的都有且滿足都有且滿足)(x

14、fy ,Dx ,Dx )()(xfxf )(xf則函數(shù)叫則函數(shù)叫奇函數(shù)奇函數(shù)如果一個函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，則稱這個函數(shù)具有奇偶性如果一個函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，則稱這個函數(shù)具有奇偶性3.如果一個函數(shù)即不是奇函數(shù)也表示偶函數(shù)，則稱這個函數(shù)叫如果一個函數(shù)即不是奇函數(shù)也表示偶函數(shù)，則稱這個函數(shù)叫非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)注意：注意： 1.函數(shù)具有奇偶性的前提條件是定義域關(guān)于原點對稱。函數(shù)具有奇偶性的前提條件是定義域關(guān)于原點對稱。2.2.函數(shù)的奇偶性是定義域上的一個整體性質(zhì)。函數(shù)的奇偶性是定義域上的一個整體性質(zhì)。二、函數(shù)奇偶性的性質(zhì)二、函數(shù)奇偶性的性質(zhì)1.奇函數(shù)的圖象關(guān)于奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點原點對稱對稱.

15、反之反之,若一個函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，那么這個函數(shù)是奇函數(shù)若一個函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，那么這個函數(shù)是奇函數(shù)2.偶函數(shù)的圖象關(guān)于偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱軸對稱.反之反之, 若一個函數(shù)的圖象關(guān)于若一個函數(shù)的圖象關(guān)于 y 軸對稱軸對稱,那么這個函數(shù)是偶函數(shù)那么這個函數(shù)是偶函數(shù)它是判斷函數(shù)奇偶性的一種方法。它是判斷函數(shù)奇偶性的一種方法。例例1.將下面的函數(shù)圖像分成兩類，并判斷它們的奇偶性將下面的函數(shù)圖像分成兩類，并判斷它們的奇偶性O(shè)xy0 xy0 xy0 xy0 xy0 xy三、函數(shù)奇偶性的應用三、函數(shù)奇偶性的應用（）函數(shù)奇偶性的判斷（）函數(shù)奇偶性的判斷奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)三、函數(shù)奇偶性的應用

16、三、函數(shù)奇偶性的應用（）函數(shù)奇偶性的判斷（）函數(shù)奇偶性的判斷例例2 判斷下列函數(shù)的奇偶性判斷下列函數(shù)的奇偶性（教材（教材P32例）例）1)()1(2 xxf32)()2(xxxf 解：解： 函數(shù)的定義域為函數(shù)的定義域為R R1)(2 xxf函數(shù)的定義域為函數(shù)的定義域為R R32)(xxxf RxRx ,則則又又11)()(22 xxxf)(xf 函數(shù)是偶函數(shù)函數(shù)是偶函數(shù)1)(2 xxf解：解：定義域關(guān)于原點對稱定義域關(guān)于原點對稱)()(xfxf 又又3232)()()(xxxxxf )()(xfxf 且且函數(shù)是非奇非偶函數(shù)函數(shù)是非奇非偶函數(shù)32)(xxxf 判斷判斷奇偶性步驟：奇偶性步驟：一看

17、一看 定義域定義域 二找二找 關(guān)系關(guān)系 f f( ( x x)= )= f f( (x x) ) 或或f f( ( x x)=)=f f( (x x) )三判斷三判斷 奇或偶奇或偶三、函數(shù)奇偶性的應用三、函數(shù)奇偶性的應用（）函數(shù)奇偶性的判斷（）函數(shù)奇偶性的判斷例例2 判斷下列函數(shù)的奇偶性判斷下列函數(shù)的奇偶性（教材（教材P32例）例）3 , 1,)()3(42 xxxxfxxxf1)()2( 解：解：是非奇非偶函數(shù)是非奇非偶函數(shù))(xf函數(shù)的定義域是函數(shù)的定義域是42)(xxxf 3 , 1 x定義域不關(guān)于原點對稱，定義域不關(guān)于原點對稱，解：解：函數(shù)的定義域是函數(shù)的定義域是xxxf1)( ),

18、0() 0 ,( 又又xxxf 1)()()1(1xxxx )()(xfxf 是奇函數(shù)是奇函數(shù))(xf課堂練習課堂練習教材教材P3233練一練練一練1、21. (1)(2)（2，1）(3)（1，2）（2，3）小結(jié)：小結(jié)：1.點點P（a,b)關(guān)于關(guān)于x軸對稱的點的坐標是軸對稱的點的坐標是P1（a，b)2.點點P（a,b)關(guān)于關(guān)于y軸對稱的點的坐標是軸對稱的點的坐標是p2（a，b)3.點點P（a,b)關(guān)于原點對稱的點的坐標是關(guān)于原點對稱的點的坐標是p3（a，b)P(a,b)P1(a,-b)P3(-a,-b)P2(-a,b)2.(1)偶函數(shù)偶函數(shù)(2)非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)（定義域不對稱）（定義域

19、不對稱）三、函數(shù)奇偶性的應用三、函數(shù)奇偶性的應用（二）利用函數(shù)的奇偶性作圖（二）利用函數(shù)的奇偶性作圖例如：例如： 作的圖象作的圖象xy 是偶函數(shù)是偶函數(shù)xy 當時，函數(shù)化為當時，函數(shù)化為xy 0 x先作的圖象先作的圖象)0( xxyy再作關(guān)于軸對稱的圖象再作關(guān)于軸對稱的圖象又如：又如：作的圖象作的圖象xxy 0 x)0(2 xxy當時，原函數(shù)化為當時，原函數(shù)化為 是奇函數(shù)是奇函數(shù)xxy 先作的圖象先作的圖象)0(2 xxy再作關(guān)于原點對稱的圖象。再作關(guān)于原點對稱的圖象。（三）函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的綜合應用（三）函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的綜合應用比較大小比較大小1.利用函數(shù)的單調(diào)性比較兩個函數(shù)值的大

20、小利用函數(shù)的單調(diào)性比較兩個函數(shù)值的大小(1)已知在上是增函數(shù)，試比較的大小已知在上是增函數(shù)，試比較的大小)(xf), 0( )2()1(ff與與21 解：解：(1) 在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，)(xf), 0( )2()1(ff 12f(1)f(2)xyx(2) 在上是減函數(shù)，在上是減函數(shù)，)(xf), 0( 21 12f(1)f(2)xyx2.綜合利用單調(diào)性、奇偶性比較兩個函數(shù)值的大小綜合利用單調(diào)性、奇偶性比較兩個函數(shù)值的大小(1)已知是偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，試比較的大小已知是偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，試比較的大小)(xf), 0( )2()1(ff與與 (2)已知在上是減函數(shù)，試比較的大

21、小已知在上是減函數(shù)，試比較的大小)(xf), 0( )2()1(ff與與)2()1(ff (2)已知是偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)，試比較的大小已知是偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)，試比較的大小)(xf), 0( )2()1(ff與與 (1) 是偶函數(shù)，是偶函數(shù)，)(xf)1()1(ff )2()1(21ff 由由)2()1(ff 即即(2) 是偶函數(shù)，是偶函數(shù)，)(xf)1()1(ff )2()1(ff 即即 在上是增函數(shù)在上是增函數(shù)，)(xf), 0( 在上是減函數(shù)在上是減函數(shù)，)(xf), 0( )2()1(21ff 由由一、一、1.y1（或（或y=2等）是函數(shù)嗎？等）是函數(shù)嗎？2.y1的圖象是什么？

22、的圖象是什么？是是3.y1有單調(diào)性嗎？有單調(diào)性嗎？4.y1有奇偶性嗎？有奇偶性嗎？1不是單調(diào)函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)是偶函數(shù)是偶函數(shù)二、函數(shù)有奇函數(shù)、偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù)，那么有既奇又偶函二、函數(shù)有奇函數(shù)、偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù)，那么有既奇又偶函數(shù)嗎？數(shù)嗎？如果有，它是什么樣的函數(shù)？如果有，它是什么樣的函數(shù)？有有如：如：y=0(xR)0)0()0()0( fff是既奇又偶函數(shù)是既奇又偶函數(shù)從圖象上看從圖象上看y=0(xR)的圖象如圖的圖象如圖1它既關(guān)于它既關(guān)于y軸對稱，又關(guān)于原點對稱，軸對稱，又關(guān)于原點對稱，是既奇又偶函數(shù)是既奇又偶函數(shù)本課小結(jié)本課小結(jié)1、兩個定義：對于、兩個定義：對于f(x)定義域內(nèi)的

23、任意一個定義域內(nèi)的任意一個x, 如果都有如果都有f(x)=-f(x) f(x)為奇函數(shù)為奇函數(shù) 如果都有如果都有f(x)=f(x) f(x)為偶函數(shù)為偶函數(shù)2、兩個性質(zhì)：、兩個性質(zhì)： 一個函數(shù)為奇函數(shù)一個函數(shù)為奇函數(shù) 它的圖象關(guān)于原點對稱它的圖象關(guān)于原點對稱 一個函數(shù)為偶函數(shù)一個函數(shù)為偶函數(shù) 它的圖象關(guān)于它的圖象關(guān)于y軸對稱軸對稱3. 3. 判斷函數(shù)的奇偶性時判斷函數(shù)的奇偶性時, ,要注意定義域是否關(guān)于原點對稱。要注意定義域是否關(guān)于原點對稱。小結(jié)小結(jié):4.判斷函數(shù)奇偶性的方法判斷函數(shù)奇偶性的方法：（：（1）圖象法；）圖象法；（2）定義法：一看（看定義域是否關(guān)于原點對稱）、二找（找關(guān)）定義法：一

24、看（看定義域是否關(guān)于原點對稱）、二找（找關(guān)系系f(-x)=f(x)或或f(-x)=-f(x)、三判斷、三判斷 作作 業(yè)：業(yè)：1.教材教材P33習題習題3.3第第1、2、3、4題題2.練習冊練習冊P203.3函數(shù)的奇偶性全部函數(shù)的奇偶性全部（其中二、填空題中的（其中二、填空題中的3不做）不做）練習冊練習冊P16第三章函數(shù)第三章函數(shù)3.1函數(shù)的概念及表示法習題講評函數(shù)的概念及表示法習題講評一、一、 1.B2.A、D：定義域不同；：定義域不同；C:值域不同值域不同B1.2.6.5.4.3. CCBAf(2)=4a-2+a=8,a=2a=2二、二、54)(2 xxxf4)3( f865)12(3)12

25、( xxxf4.3. 定義域：定義域：), 2 x值域：值域：0 yyy 1 , 2 5.2rS 作函數(shù)圖象，可得值域作函數(shù)圖象，可得值域2.定義域：定義域：0 rr面積面積 5 S三、三、 1.1)1( f1)2( f7)5( f定義域是定義域是5 , 3 , 2 , 1 , 0 x值域：值域：7 , 3 , 1 , 1, 3 y(1)為使函數(shù)有意義，必須為使函數(shù)有意義，必須042 x22 xx且且解得解得函數(shù)的定義域是函數(shù)的定義域是22 xxx且且(2) 為使函數(shù)有意義，必須為使函數(shù)有意義，必須 0308xx 38xx8 x函數(shù)的定義域是函數(shù)的定義域是), 8 3. (1)(3)12)( xxf(2)xxf3)( -11-3-10yx1-3333, 12)( xZxxxf且且12)( xxf-1210yx3 , 2 , 1 ,