全微分與鏈?zhǔn)椒▌t

1、 第八章 8.38.3.1、全微分、全微分全微分與鏈?zhǔn)椒▌t8.3.2、鏈?zhǔn)椒▌t、鏈?zhǔn)椒▌t機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 全微分與鏈?zhǔn)椒▌t)( xoxA一元函數(shù) y = f (x) 的微分)()(xfxxfyxxf)(常數(shù)A與x 無關(guān),僅與x 有關(guān)),(yxfz 對),(),(yxfyxxf 關(guān)于x 的高階無窮小 xyxfx),(對 x 的偏增量 對 x 的偏微分 ),(),(yxfyyxfyyxfy),(對 y 的偏增量 對 y 的偏微分 yd8.3.1、全微分、全微分引例引例: 一塊長方形金屬薄片受溫度變化的影響,問此薄片面積改變了設(shè)面積為 A , 則0yy面積的增量為0000)(yxy

2、yxxA)(00yxyxxyyx 000yxAxy 0yx 關(guān)于x,y的線性主部故yxxyA00稱為函數(shù)在 的全微分),(00yx0 x變到,0 xx分別由其邊長機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0y變到,0yy多少?0 xx時0, 0yx比 較高22yx階無窮小定義定義: 如果函數(shù) z = f ( x, y )在定義域 D 的內(nèi)點( x , y ),(),(yxfyyxxfz可表示成, )(oyBxAz其中 A , B 不依賴于 x , y , 僅與 x , y 有關(guān)，稱為函數(shù)),(yxf在點 (x, y) 的全微分全微分, 記作yBxAfz dd若函數(shù)在域 D 內(nèi)各點都可微,22)()(

3、yx則稱函數(shù) f ( x, y ) 在點( x, y) 可微可微，處全增量則稱此函數(shù)在在D 內(nèi)可微內(nèi)可微.一般地一般地yBxA機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 全微分與鏈?zhǔn)椒▌t(2) 偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)),(),(yxfyyxxfz)()(lim0oyBxA下面兩個定理給出了可微與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系:(1) 函數(shù)可微函數(shù) z = f (x, y) 在點 (x, y) 可微),(lim00yyxxfyx由微分定義 :得zyx00lim0),(yxf函數(shù)在該點連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在 函數(shù)可微 即定理定理1 1(必要條件)若函數(shù) z = f (x, y) 在點(x, y) 可微可微 ,則該函數(shù)在該點偏導(dǎo)數(shù)yzxz,yy

4、zxxzzd), (), (yfyfzxxz同樣可證,Byzyyzxxzzd證證: 因函數(shù)在點(x, y) 可微, 故 , )(oyBxAz,0y令)(xoxA必存在,且有得到對 x 的偏增量xxx因此有 xzxx0limA反例反例: 函數(shù)),(yxf易知,0) 0, 0()0, 0(yxff 但)0, 0()0, 0(yfxfzyx)(o注意注意: 定理1 的逆定理不成立 .22)()(yxyx22)()(yxyx22)()(yxyx0偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù) 不一定可微 !即:0,2222yxyxyx0, 022 yx時例如沿路徑0 xy因此,函數(shù)在點 (0,0) 不可微 .定理定理2 (充分條件)

5、yzxz,（證略）若函數(shù)),(yxfz 的偏導(dǎo)數(shù),),(連續(xù)在點yx則函數(shù)在該點可微分.yyzxxzzddd于是，全微分例例1. 計算函數(shù)在點 (2,1) 處的全微分. yxez 解解:xz222) 1 , 2(,) 1 , 2(eyzexzyexezd2dd22) 1 , 2(yz,yxeyyxex)d2d(2yxe習(xí)慣上,yx ,分別記為yx d,d例例2. 計算函數(shù)的全微分. yxxyz)tan(解解: xzyz)(cos12xyyy12121x)(cos12xyxx23)21(y)(cos2xyyxxyd21)(cos2xyxyyyxd 2yyzxxzzddd例例3. 計算函數(shù)的全微分

6、. zyeyxu2sin解解: udxd1yyd) cos(221zeyzydzyez例例4.4.計算的近似值. 02. 204. 1解解: 設(shè)yxyxf),(,則),(yxfx取, 2, 1yx則)02. 2,04. 1(04. 102. 2fyfxffyx)2, 1 ()2, 1 ()2, 1 (08. 102. 0004. 021),(yxfy,1yxyxxyln02. 0,04. 0yx內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 微分定義:),(yxfz zyyxfxyxfyx),(),(zdyyxfxyxfyxd),(d),(22)()(yx2. 重要關(guān)系:)( o偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)可微函數(shù)可微偏導(dǎo)

7、數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可微函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 全微分與鏈?zhǔn)椒▌t思考與練習(xí)思考與練習(xí)函數(shù)),(yxfz 在),(00yx可微的充分條件是( );),(),()(00連續(xù)在yxyxfA),(),(, ),()(00yxyxfyxfByx在的某鄰域內(nèi)存在 ;yyxfxyxfzCyx),(),()(00000)()(22yx當(dāng)時是無窮小量 ;220000)()(),(),()(yxyyxfxyxfzDyx0)()(22yx當(dāng)時是無窮小量 .1. 選擇題D機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 全微分與鏈?zhǔn)椒▌tzfyfxffzyyd)

8、0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0(2. 設(shè),coscoscos1coscoscos),(zyxxzzyyxzyxf.d)0 , 0 , 0(f求解解: xxxfcos3)0 , 0 ,(0cos3)0 , 0 , 0(xxxfx41利用輪換對稱性 , 可得41)0 , 0 , 0()0 , 0 , 0(zyff)dd(d41zyx注意注意: x , y , z 具有 輪換對稱性輪換對稱性 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 全微分與鏈?zhǔn)椒▌t.d,arctanzyxyxz求答案答案: 22dddyxyxxyz3. 已知在點 (0,0) 可

9、微 .備用題備用題在點 (0,0) 連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在,續(xù),),(yxf而),(yxf)0 , 0(),(,1sin22yxyxyx)0 , 0(),(, 0yx證證: 1) 因221sinyxxy0),(lim00yxfyx)0 , 0(f故函數(shù)在點 (0, 0) 連續(xù) ; 但偏導(dǎo)數(shù)在點 (0,0) 不連 證明函數(shù)xy222yx 所以機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 全微分與鏈?zhǔn)椒▌t),(yxf)0 , 0(),(,1sin22yxyxxy)0 , 0(),(, 0yx),(yxfx,)0 , 0(),(時當(dāng)yx,)0 , 0(),(時趨于沿射線當(dāng)點xyyxP,0)0 ,(xf;0)0 ,

10、0(xf. 0)0 , 0(yf同理y221sinyx 3222)(yxyx221cosyx ),(lim)0 , 0(),(yxfxxx極限不存在 ,),(yxfx在點(0,0)不連續(xù) ;同理 ,),(yxfy在點(0,0)也不連續(xù).xx(lim0|21sinx33|22xx)|21cosx2)3)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 全微分與鏈?zhǔn)椒▌t,)()(22yx4) 下面證明)0 , 0(),(在點yxf可微 :yfxffyx)0 , 0()0 , 0(1sinyx x 00.)0 , 0(),(可微在點yxf說明說明: 此題表明, 偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)只是可微的充分條件.令則機動 目錄 上頁

11、下頁 返回 結(jié)束 全微分與鏈?zhǔn)椒▌t一元復(fù)合函數(shù))(),(xuufy求導(dǎo)法則xuuyxydddddd本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容:一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分xxufuufyd)()(d)(d微分法則8.3.2、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t)(),(ttfz定理定理. 若函數(shù),)(, )(可導(dǎo)在點ttvtu),(vufz 處偏導(dǎo)連續(xù), ),(vu在點在點 t 可導(dǎo), tvvztuuztzddddddz則復(fù)合函數(shù)且有鏈?zhǔn)椒▌tvutt機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( 全導(dǎo)數(shù)公式全導(dǎo)數(shù)公式 )推廣推廣:

12、1) 中間變量多于兩個的情形. 例如, ),(wvufz 設(shè)下面所涉及的函數(shù)都可微 .tzdd321fff2) 中間變量是多元函數(shù)的情形.例如,),(, ),(, ),(yxvyxuvufzxz1211ff2221ffyzzzwvuvuyxyxttttuuzddtvvzddtwwzddxuuzxvvzyuuzyvvz機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )(, )(, )(twtvtu3),(, ),(yxvvxfz當(dāng)它們都具有可微條件時, 有xz121ffyz22 ffz xyx注意注意: 這里xzxfxz表示固定 y 對 x 求導(dǎo),xf表示固定 v 對 x 求導(dǎo)xfxvvfyvvf與不同,v

13、機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 口訣口訣 : 連線相乘, 分叉相加, 單路全導(dǎo), 叉路偏導(dǎo)例例1. 設(shè)設(shè),sinyxvyxuvezu.,yzxz求解解:xzveusin)cos()sin(yxyxyeyxyz)cos()sin(yxyxxeyxveusinxuuzxvvzveucosyuuzyvvzveucosy1 x1 zvuyxyx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 設(shè) ,sintvuz.ddtzztvutttzddtevtttetcos)sin(costuuzddtvvzddtz求全導(dǎo)數(shù),teu ,costv 解解:tusintcos機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例

14、4 4.)1 (cos2的全導(dǎo)數(shù)設(shè)xxz解解:令 u = 1+ x2 , v = cos x ,則vuz xzddxuuzddxvvzdd)sin(ln21xuuxuvvv)1ln(sin)1 (cos2)1 (221cos2xxxxxxxzvuxx例例3. 求 yxyxz2422)3(的偏導(dǎo)數(shù).解解: 設(shè),24,322yxvyxu于是zvuyxyxxzxuuzxvvz,vuz 1vvux6uuvln4yzyuuzyvvz12422)3)(24(6yxyxyxx)3ln()3(4222422yxyxyx1vvuy2uuvln2例例4.,sin,),(2222yxzezyxfuzyxyuxu,求

15、解解:xu2222zyxexyxyxeyxx2422sin22)sin21(2zyxyxuyu2222zyxeyyxyxeyyxy2422sin4)cossin(2xfxzzf2222zyxezyfyzzf2222zyxezyxsin2yx cos2機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ),(1zyxzyxf例例5. 設(shè) f 具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), ),(zyxzyxfw求.xw解解: 令,zyxvzyxuxwwvuzyxzyx),(vufw 11 fzyf 2),(2zyxzyxfzy則21,ff機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 全微分與鏈?zhǔn)椒▌t多元復(fù)合函數(shù)

16、的全微分多元復(fù)合函數(shù)的全微分設(shè)函數(shù)),(, ),(, ),(yxvyxuvufz的全微分為yyzxxzzdddxxvvzxuuzd)(yyvvzyuuzd)(uzvzuz可見無論 u , v 是自變量還是中間變量, )dd(yyuxxu)dd(yyvxxv則復(fù)合函數(shù)) (fz ),(, ),(yxyxudvzvd都可微, 其全微分表達(dá) 形式都一樣, 這性質(zhì)叫做全微分形式不變性全微分形式不變性.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 全微分與鏈?zhǔn)椒▌t例例6. 設(shè)設(shè),sinyxvyxuvezu.dz求 )cos( )sin(yxyxeyx例例1 .,sinyxvyxuvezu.,yzxz求解解:) (

17、dd zuveudsin)cos()sin(yxyxyeyx)cos()sin(yxyxyexzyx)cos()sin(yxyxxeyzyx所以veusinvveudcos )cos( )sin(yxyxeyx)(dyx)(dyx )cos()sin(yxyxxeyx)d(dyxxdyd)dd(yxxy8.3.3 一個方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)一個方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)定理定理1.1. 設(shè)函數(shù)),(00yxP),(yxF;0),(00yxF則方程00),(xyxF在點單值連續(xù)函數(shù) y = f (x) , )(00 xfy 并有連續(xù)yxFFxydd(隱函數(shù)求導(dǎo)公式)定理證明從略，僅就求導(dǎo)公式

18、推導(dǎo)如下： 具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù);的某鄰域內(nèi)某鄰域內(nèi)可唯一確定一個在點的某一鄰域內(nèi)滿足,0),(00yxFy滿足條件導(dǎo)數(shù)0)(,(xfxF兩邊對 x 求導(dǎo)0ddxyyFxFyxFFxydd0yF,0),()(所確定的隱函數(shù)為方程設(shè)yxFxfy在),(00yx的某鄰域內(nèi)則若F( x , y ) 的二階偏導(dǎo)數(shù)也都連續(xù),22ddxy2yF3222yxyyyxyxyxxFFFFFFFFyxFFxydd)(yxFFy2yF二階導(dǎo)數(shù) :)(yxFFxxyxxydd則還可求隱函數(shù)的 xxyyxxFFFFxyyyyxFFFF)(yxFF例例4. 求由方程0 xxeyy解法一解法一 令所確定的y是x的函數(shù)的導(dǎo)數(shù).),(yxFxxeyyxFyFyxe11yeyxFFxyddyyxee11yyxee11解法二解法二 方程兩邊對 x 求導(dǎo)01)dd(ddxyxeexyyyxyddyyxee11定理定理2 . 若函數(shù) ),(000zyxP),(zyxFzyzxFFyzFFxz,的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ;則方程0),(zyxF在點),(00yx并有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), ),(000y