函數(shù)的連續(xù)性5PPT課件

1、12:25一、變量的改變量（增量）一、變量的改變量（增量）定義定義( (函數(shù)的增量函數(shù)的增量) ) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn)0 x的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量從初值的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量從初值0 x變變到終值到終值x時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值也由時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值也由)(0 xf變到變到)(xf， 則把自變量的終值與初值的差， 則把自變量的終值與初值的差0 xx 稱為稱為自變量的增量自變量的增量（或（或自變量的改變量自變量的改變量） ，記為） ，記為x，即即x0 xx ；而函數(shù)的終值與初值的差，即；而函數(shù)的終值與初值的差，即)(xf)(0 xf， 稱為， 稱為函數(shù)的增量函數(shù)的增量 （或（或函

2、數(shù)的改變函數(shù)的改變量量） ，記為） ，記為y，即，即y)(xf)(0 xf，由于，由于x0 xx . . 故：故： 自變量的終值可表示為：自變量的終值可表示為： xxx0 第1頁(yè)/共32頁(yè)12:25例例1 1 y =x2 當(dāng) x 在 x0 取得增量x時(shí)，y的增量為：00()()yf xxf x 222000()2()xxxx xx 01,0.51.25xxy 0331,0.752.0616xxy 01,0.50.75xxy 第2頁(yè)/共32頁(yè)12:25定義 （函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)）定義 （函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)） 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn)0 x的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果自變量的的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果自

3、變量的增量增量x趨于零時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)增量趨于零時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)增量 y也趨也趨于零，即于零，即 0000limlim()()0 xxyf xxf x 則稱則稱函數(shù)函數(shù))(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處連續(xù)處連續(xù)，稱，稱點(diǎn)點(diǎn)0 x為函為函數(shù)的數(shù)的連續(xù)點(diǎn)連續(xù)點(diǎn) 第3頁(yè)/共32頁(yè)12:25若若)()(lim00 xfxfxx, ,則稱函數(shù)則稱函數(shù))(xfy 在在點(diǎn)點(diǎn)0 x處處右連續(xù)右連續(xù) 定義定義( (函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)) ) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn)0 x的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)?shù)哪硞€(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)0 xx 時(shí)，時(shí)，函數(shù)函數(shù))(xf的極限存在，且等于它在點(diǎn)的極限存在，且等于它在點(diǎn)

4、0 x的函數(shù)的函數(shù)值值)(0 xf，即，即 )()(lim00 xfxfxx 則稱函數(shù)則稱函數(shù))(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處連續(xù)處連續(xù) 若若)()(lim00 xfxfxx, ,則稱函數(shù)則稱函數(shù))(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處處左連續(xù)左連續(xù) 第4頁(yè)/共32頁(yè)12:25定理定理 函數(shù)函數(shù))(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處連續(xù)的處連續(xù)的充分必要條件充分必要條件是是 )()(lim)(lim000 xfxfxfxxxx 定義（函數(shù)在某區(qū)間連續(xù)）定義（函數(shù)在某區(qū)間連續(xù)） 如果函數(shù)如果函數(shù))(xfy 在區(qū)間在區(qū)間),(ba或或,ba上的每一點(diǎn)都上的每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱連續(xù)，則稱函數(shù)函數(shù))(xf在在),(ba內(nèi)或內(nèi)或,

5、ba上是上是連續(xù)的連續(xù)的如果函數(shù)如果函數(shù))(xfy 在其定義域內(nèi)的在其定義域內(nèi)的每點(diǎn)均連續(xù)， 則稱每點(diǎn)均連續(xù)， 則稱函數(shù)函數(shù))(xf在其定義域內(nèi)是在其定義域內(nèi)是連續(xù)的連續(xù)的 第5頁(yè)/共32頁(yè)12:25例例1 1.0, 0, 0, 0,1sin)(處連續(xù)處連續(xù)在在試證函數(shù)試證函數(shù) xxxxxxf證證, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又.0)(處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù) xxf),0()(lim0fxfx 第6頁(yè)/共32頁(yè)12:25例例2 2.0, 0, 0, 0,)(1處的連續(xù)性在討論函數(shù)xxxexfx解解左連續(xù)但不右連續(xù) ,.0)(處不連續(xù)處不連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)故函數(shù)故函數(shù) xxf)0(

6、0lim)(lim100fexfxxx)0(lim)(lim100fexfxxx第7頁(yè)/共32頁(yè)12:25函數(shù)函數(shù))(xfy 在某點(diǎn)在某點(diǎn)0 x處連續(xù)的條件是：處連續(xù)的條件是： （1 1）)(xf在在0 x有定義有定義 （2 2）)(lim0 xfxx存在，存在， 即即)(lim)(lim00 xfxfxxxx （3 3）)()(lim00 xfxfxx， 即極限值等于函數(shù)值， 即極限值等于函數(shù)值 以上三條同時(shí)滿足，則函數(shù)以上三條同時(shí)滿足，則函數(shù))(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處連續(xù)，若其中任何一條不滿足，函數(shù)處連續(xù)，若其中任何一條不滿足，函數(shù))(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處就是處就是間斷間斷的，稱這樣的點(diǎn)為函

7、數(shù)的的，稱這樣的點(diǎn)為函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)不連續(xù)點(diǎn)或或間斷點(diǎn)間斷點(diǎn) 三、函數(shù)的間斷點(diǎn)三、函數(shù)的間斷點(diǎn)第8頁(yè)/共32頁(yè)12:25例如， 函數(shù)例如， 函數(shù))(xf=211xx， 由于在， 由于在x=1 處沒(méi)有定義， 即處沒(méi)有定義， 即(1)f不存在，故這個(gè)函數(shù)在不存在，故這個(gè)函數(shù)在 x=1 處不連續(xù)，如圖處不連續(xù)，如圖 3. 圖3xyo21)(xf第9頁(yè)/共32頁(yè)12:25又如又如, ,函數(shù)函數(shù). 1, 1, 1, 0, 1, 1)(xxxxxxf 雖然在雖然在1x處有定義，但由于處有定義，但由于 2)(lim1xfx, ,0)(lim1xfx， 即即)(lim1xfx不存在，故這個(gè)函數(shù)在不存在，故這個(gè)函

8、數(shù)在1x處不連續(xù)，如圖處不連續(xù)，如圖 4.4. 圖4)(xfxyo12第10頁(yè)/共32頁(yè)12:25再如再如, ,函數(shù)函數(shù) . 1, 0, 1, 1)(xxxxf 雖然在雖然在 1x處有定義，且處有定義，且)(lim1xfx=2=2 也 存 在 ， 但 因 為也 存 在 ， 但 因 為) 1 ()(lim1fxfx故這個(gè)函數(shù)在故這個(gè)函數(shù)在1x處不連續(xù)，如圖處不連續(xù)，如圖 5 5. . 圖5xyo21)(xf第11頁(yè)/共32頁(yè)12:251.跳躍間斷點(diǎn).)(),0()0(,)(0000的跳躍間斷點(diǎn)的跳躍間斷點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)則稱點(diǎn)則稱點(diǎn)但但存在存在右極限都右極限都處左處左在點(diǎn)在點(diǎn)如果如果xfxxfxfx

9、xf 例例5 5.0, 0,1, 0,)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解, 0)00( f, 1)00( f),00()00( ff.0為為函函數(shù)數(shù)的的跳跳躍躍間間斷斷點(diǎn)點(diǎn) xoxy第12頁(yè)/共32頁(yè)12:2500000( ),lim( )(),( )( ).xxf xxf xAf xf xxxf x如果在點(diǎn)處的極限存在但或在點(diǎn)處無(wú)定義則稱點(diǎn)為函數(shù)的可去間斷點(diǎn)2.可去間斷點(diǎn)第13頁(yè)/共32頁(yè)12:25例例6 6.1, 1,11, 10, 1,2)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 解解, 1)1( f, 2)01

10、( f, 2)01( f2)(lim1 xfx),1(f .0為為函函數(shù)數(shù)的的可可去去間間斷斷點(diǎn)點(diǎn) x第14頁(yè)/共32頁(yè)12:25如例6中, 2)1( f令令.1, 1,1, 10,2)(處連續(xù)處連續(xù)在在則則 xxxxxxf跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn). .特點(diǎn)特點(diǎn).0處的左、右極限都存在處的左、右極限都存在函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn) xoxy112注意注意 可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)的定義, 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn).第15頁(yè)/共32頁(yè)12:253.第二類間斷點(diǎn)例例7 7.0, 0, 0,1)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxx

11、xf解解oxy, 0)00( f,)00( f.0為函數(shù)的第二類間斷點(diǎn)x.斷點(diǎn)斷點(diǎn)這種情況稱為無(wú)窮間這種情況稱為無(wú)窮間第16頁(yè)/共32頁(yè)12:25例例8 8.01sin)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxf解解xy1sin ,0處沒(méi)有定義處沒(méi)有定義在在 x.1sinlim0不存在不存在且且xx.0為為第第二二類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn) x注意注意 不要以為函數(shù)的間斷點(diǎn)只是個(gè)別的幾個(gè)點(diǎn).這種情況稱為振蕩間斷點(diǎn).第17頁(yè)/共32頁(yè)12:25可去型第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)oyx跳躍型無(wú)窮型振蕩型第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)oyx0 xoyx0 xoyx0 x第18頁(yè)/共32頁(yè)12:25四、連續(xù)函數(shù)

12、的性四、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)質(zhì)1、連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算定理定理1 1.)0)()()(),()(),()(,)(),(000處也連續(xù)處也連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)則則處連續(xù)處連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)若函數(shù)若函數(shù)xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 例如例如, ,),(cos,sin內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在xx.csc,sec,cot,tan在在其其定定義義域域內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)故故xxxx第19頁(yè)/共32頁(yè)12:252、復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性極限符號(hào)可以與函數(shù)符號(hào)互換;意義意義定理定理2 2.)(,)(,)(,)(00000也也連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)而而函函數(shù)數(shù)且且連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)xxxfyuuufy

13、uxxxxu 例如例如, ,), 0()0,(1內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在 xu,),(sin內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在 uy.), 0()0,(1sin內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在 xy)(lim0 xfxx).()()(lim000ufxfxfxx第20頁(yè)/共32頁(yè)12:25* *證證,)(0連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)uuuf .)()(,00成成立立恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng) ufufuu),()(lim00 xxxx 又又, 0, 0 對(duì)對(duì)于于.)()(00成立成立恒有恒有 uuxx, 0, 0 0,xx使當(dāng)時(shí)綜合兩步: :00,0,xx使當(dāng)時(shí))()()()(00 xfxfufuf .成立成立 )(lim0 xfxx ).()(li

14、m00ufxfxx 第21頁(yè)/共32頁(yè)12:253、反函數(shù)的連續(xù)性定理定理3 3 嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù)反函數(shù). .例如,2,2sin上上單單調(diào)調(diào)增增加加且且連連續(xù)續(xù)在在 xy. 1 , 1arcsin上也是單調(diào)增加且連續(xù)上也是單調(diào)增加且連續(xù)在在故故 xy;1 , 1arccos上單調(diào)減少且連續(xù)上單調(diào)減少且連續(xù)在在同理同理 xyarctan ,cot,).yx yarcx 在(上單調(diào)且連續(xù)反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).第22頁(yè)/共32頁(yè)12:254、初等函數(shù)的連續(xù)性三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的.)1, 0( aaayx指數(shù)

15、函數(shù)指數(shù)函數(shù);),(內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)且且連連續(xù)續(xù)在在 )1, 0(log aaxya對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù);), 0(內(nèi)單調(diào)且連續(xù)內(nèi)單調(diào)且連續(xù)在在第23頁(yè)/共32頁(yè)12:25定理定理4 4 基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的. . xyxaalog ,uay .log xua ,), 0(內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在 ,不同值不同值討論討論 (均在其定義域內(nèi)連續(xù) )定理定理5 5 一切初等函數(shù)在其一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間定義區(qū)間內(nèi)都是連內(nèi)都是連續(xù)的續(xù)的. .定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間. .第24頁(yè)/共32頁(yè)12:25（1）初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù), 在其定義域內(nèi)不一定連續(xù);例如例

16、如, , 1cos xy,4,2, 0: xD這些孤立點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒(méi)有定義這些孤立點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒(méi)有定義. .,)1(32 xxy, 1, 0: xxD及及在在0 0點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒(méi)有定義點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒(méi)有定義. .), 1上上連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間 注注:第25頁(yè)/共32頁(yè)12:25例例 11 求求20lim 1xx 解解 設(shè)設(shè))(xf=21x這是一個(gè)初等函數(shù)， 它的定義域是這是一個(gè)初等函數(shù)， 它的定義域是1,1,而點(diǎn)而點(diǎn) x=0 在該區(qū)間內(nèi)，故由初等函數(shù)的連續(xù)性，在該區(qū)間內(nèi)，故由初等函數(shù)的連續(xù)性，有有20lim 1xx=)0(f=21 0=1 例例 1212 求求 10limln(1)xxx 解解

17、 利用復(fù)合函數(shù)求極限的方法，有利用復(fù)合函數(shù)求極限的方法，有 10limln(1)xxx=10lnlim(1) lne1xxx 如 果 函 數(shù)如 果 函 數(shù))(xf在在0 x點(diǎn) 連 續(xù) ， 那 么點(diǎn) 連 續(xù) ， 那 么)lim()()(lim000 xfxfxfxxxx 即即: :極限符號(hào)與函極限符號(hào)與函數(shù)符號(hào)可以互相交換數(shù)符號(hào)可以互相交換 第26頁(yè)/共32頁(yè)12:25五、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性五、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)質(zhì)定義定義若對(duì)于在區(qū)間若對(duì)于在區(qū)間 I上有定義的函數(shù)上有定義的函數(shù))(xf，如果有，如果有Ix 0，使得對(duì)于任，使得對(duì)于任意意Ix都有都有 )()(0 xfxf（或（或)()(0

18、xfxf） 則稱則稱)(0 xf是函數(shù)是函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間I上的上的最大值（最大值（或或最小值）最小值）. . 第27頁(yè)/共32頁(yè)12:25從幾何上看，一段有限長(zhǎng)的連續(xù)曲線上，從幾何上看，一段有限長(zhǎng)的連續(xù)曲線上，必有一點(diǎn)最高，也有一點(diǎn)最低，如下圖所示必有一點(diǎn)最高，也有一點(diǎn)最低，如下圖所示. . 若若)(xf在開(kāi)區(qū)間內(nèi)連續(xù)或在閉區(qū)間上有在開(kāi)區(qū)間內(nèi)連續(xù)或在閉區(qū)間上有間斷點(diǎn)，則間斷點(diǎn)，則)(xf不一定有最大值和最小值不一定有最大值和最小值. . a1x2xbxy)(xfy 定理定理 1 1（最大值、最小值定理）最大值、最小值定理）閉區(qū)間閉區(qū)間上上連續(xù)連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值函數(shù)一定存在最大值和最小值 第28頁(yè)/共32頁(yè)12:25例如，例如，xxf)(在開(kāi)區(qū)間在開(kāi)區(qū)間(0,1)(0,1)內(nèi)連續(xù)，但內(nèi)連續(xù)，但在在(0,1)(0,1)內(nèi)它既沒(méi)有最大值也沒(méi)有最小值， 又如內(nèi)它既沒(méi)有最大值也沒(méi)有最小值， 又如xxf1)(在在 1,11,1上有一個(gè)無(wú)窮間斷點(diǎn)上有一個(gè)無(wú)窮間斷點(diǎn)0 x，它在它在 1,11,1上也沒(méi)有最大值和最小值上也沒(méi)有最大值和最小值 定理定理 2 2 （零點(diǎn)存在定理）（零點(diǎn)存在定理） 若函數(shù)若函數(shù))(xf在閉區(qū)在閉區(qū)間間,ba上連續(xù)，且上連續(xù)，且)(af與與)(bf異號(hào)