函數(shù)與極限試用PPT課件

1、第三節(jié) 高階導(dǎo)數(shù)一、高階導(dǎo)數(shù)的定義二、高階導(dǎo)數(shù)求法舉例三、小結(jié) 思考題第1頁/共22頁問題問題: :變速直線運(yùn)動(dòng)的加速度.),(tfs 設(shè)設(shè))()(tftv 則瞬時(shí)速度為則瞬時(shí)速度為的變化率的變化率對時(shí)間對時(shí)間是速度是速度加速度加速度tva. )()()( tftvta定義定義.)() )(,)()(lim) )(,)()(0處的二階導(dǎo)數(shù)處的二階導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)則稱則稱存在存在即即處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)如果函數(shù)如果函數(shù)xxfxfxxfxxfxfxxfxfx 一、高階導(dǎo)數(shù)的定義第2頁/共22頁記作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 記作記作階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)的的函數(shù)函

2、數(shù)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為的的函數(shù)函數(shù)一般地一般地,)(1)(,nxfnxf .)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為四階導(dǎo)數(shù), 二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù).)(;)(,稱為一階導(dǎo)數(shù)稱為一階導(dǎo)數(shù)稱為零階導(dǎo)數(shù)稱為零階導(dǎo)數(shù)相應(yīng)地相應(yīng)地xfxf .,),(33dxydyxf 二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù),.,),(44)4()4(dxydyxf第3頁/共22頁例例1 1).0(),0(,arctanffxy 求求設(shè)設(shè)解解211xy )11(2 xy22)1(2xx )1(2(22 xxy322)1()13(2xx 022)1(2)0( x

3、xxf0322)1()13(2)0( xxxf; 0 . 2 1.1.直接法直接法: :由高階導(dǎo)數(shù)的定義逐步求高階導(dǎo)數(shù).二、 高階導(dǎo)數(shù)求法舉例第4頁/共22頁例例2 2.),()(nyRxy求求設(shè)設(shè) 解1 xy)(1 xy2)1( x3)2)(1( x)1(2 xy)1()1()1()( nxnynn則則為自然數(shù)為自然數(shù)若若,n )()()(nnnxy , !n ) !()1( nyn. 0 第5頁/共22頁例例3 3.),1ln()(nyxy求求設(shè)設(shè) 解解注意注意: :xy 112)1(1xy 3)1(! 2xy 4)4()1(! 3xy )1! 0, 1()1()!1()1(1)( nxn

4、ynnn 求n階導(dǎo)數(shù)時(shí),求出1-3或4階后,不要急于合并,分析結(jié)果的規(guī)律性,寫出n階導(dǎo)數(shù).(數(shù)學(xué)歸納法證明)第6頁/共22頁例例4 4.,sin)(nyxy求求設(shè)設(shè) 解解xycos )2sin( x)2cos( xy)22sin( x)22sin( x)22cos( xy)23sin( x)2sin()( nxyn)2cos()(cos)( nxxn同理可得第7頁/共22頁例例5 5.),(sin)(naxybabxey求求為常數(shù)為常數(shù)設(shè)設(shè) 解解bxbebxaeyaxaxcossin )cossin(bxbbxaeax )arctan()sin(22abbxbaeax )cos()sin(22

5、 bxbebxaebayaxax)2sin(2222 bxbaebaax)sin()(222)( nbxebayaxnn)arctan(ab 第8頁/共22頁2. 高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則:則則階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)具有具有和和設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù),nvu)()()()()1(nnnvuvu )()()()2(nnCuCu )()(0)()()()2()1()()(!)1()1(! 2)1()()3(kknnkknnkknnnnnvuCuvvukknnnvunnvnuvuvu 萊布尼茲公式第9頁/共22頁例例6 6.,)20(22yexyx求求設(shè)設(shè) 解解則由萊布尼茲公式知?jiǎng)t由萊布尼茲公式知設(shè)設(shè),22xveux 0)(

6、)(! 2)120(20)()(20)(2)18(22)19(22)20(2)20( xexexeyxxx22! 21920222022182192220 xxxexexe)9520(22220 xxex第10頁/共22頁3.3.間接法間接法: :常用高階導(dǎo)數(shù)公式nnxnx )1()1()()4()(nnnxnx)!1()1()(ln)5(1)( )2sin()(sin)2()( nkxkkxnn)2cos()(cos)3()( nkxkkxnn)0(ln)()1()( aaaanxnxxnxee )()( 利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式, 通過四則1)(!)1()1( nnnxnx運(yùn)算, 變量代換等

7、方法, 求出n階導(dǎo)數(shù).第11頁/共22頁例例7 7.,11)5(2yxy求求設(shè)設(shè) 解解)1111(21112 xxxy)1(! 5)1(! 52166)5( xxy)1(1)1(16066 xx第12頁/共22頁例例8 8.,cossin)(66nyxxy求求設(shè)設(shè) 解解3232)(cos)(sinxxy )coscossin)(sincos(sin422422xxxxxx xxxx22222cossin3)cos(sin x2sin4312 24cos1431x x4cos8385 ).24cos(483)( nxynn第13頁/共22頁高階導(dǎo)數(shù)的定義及物理意義;高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則(萊布尼茲公

8、式);n階導(dǎo)數(shù)的求法;1.直接法;2.間接法.三、小結(jié)三、小結(jié)第14頁/共22頁思考題思考題設(shè) 連續(xù)，且 ，)(xg )()()(2xgaxxf 求 .)(af 第15頁/共22頁思考題解答思考題解答)(xg可導(dǎo))()()()(2)(2xgaxxgaxxf )(xg 不一定存在故用定義求)(af )(af axafxfax )()(lim0)( afaxxfax )(lim)()()(2limxgaxxgax )(2ag 第16頁/共22頁一、一、 填空題：填空題： 1 1、 設(shè)設(shè)tetysin 則則y =_.=_. 2 2、 設(shè)設(shè)xytan , ,則則y = =_._. 3 3、 設(shè)設(shè)xxy

9、arctan)1(2 ，則，則y = =_._. 4 4、 設(shè)設(shè)2xxey , ,則則y = =_._. 5 5、 設(shè)設(shè))(2xfy , ,)(xf 存在，則存在，則y = =_. . 6 6、 設(shè)設(shè)6)10()( xxf, ,則則)2(f =_.=_. 7 7、 設(shè)設(shè)nnnnnaxaxaxax 12211 ( (naaa,21都是常數(shù)都是常數(shù)) )，則，則)(ny= =_. . 8 8、設(shè)、設(shè))()2)(1()(nxxxxxf , , 則則)()1(xfn = =_._. 練練 習(xí)習(xí) 題題第17頁/共22頁二、二、求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)： 1 1、 xxxy423 ； 2

10、 2、 xxylncos2 ； 3 3、 )1ln(2xxy . . 三、三、試從試從ydydx 1，導(dǎo)出：，導(dǎo)出： 1 1、 322)(yydyxd ； 2 2、 5233)()(3yyyydyxd . . 四、驗(yàn)證函數(shù)四、驗(yàn)證函數(shù)xxececy 21 ( ( , ,1c , ,2c是常數(shù)）是常數(shù)） 滿足關(guān)系式滿足關(guān)系式02 yy . . 第18頁/共22頁五五、求求下列函數(shù)的下列函數(shù)的 n n 階導(dǎo)數(shù)：階導(dǎo)數(shù)： 1 1、xeyxcos ； 2 2、 xxy 11； 3 3、 2323 xxxy; ; 4 4、 xxxy3sin2sinsin . . 第19頁/共22頁一、一、1 1、tetcos2 ； 2 2、xxtansec22； 3 3、212arctan2xxx ； 4 4、)23(222xxex ； 5 5、)(4)(2222xfxxf ； 6 6、207360207360； 7 7、!n； 8 8、)!1( n. .二、二、1 1、3258434 xx；2 2、22cos2sin2ln2cos2xxxxxx ；3 3、232)1(xx . .練習(xí)題