第六章對(duì)流換熱基本方程高等教學(xué)

1、第六章第六章 對(duì)流換熱基本方程對(duì)流換熱基本方程 1高級(jí)教育第六章第六章 對(duì)流換熱基本方程對(duì)流換熱基本方程 2高級(jí)教育6-1 質(zhì)量守恒與連續(xù)性方程質(zhì)量守恒與連續(xù)性方程 4如果研究對(duì)象取控制體，則有4 (6-1-1)4假設(shè)流場(chǎng)是二維的，如圖6-1所示?？刂企w為xy，點(diǎn)(x，y)處的速度為u和v，控制體內(nèi)的質(zhì)量為xy。方程(6-1-1)應(yīng)用于該控制體中，得到4 (6-1-2) cvmminoutmqqt()()()uvx yu yv xuxyvyxxy 3高級(jí)教育6-1 質(zhì)量守恒與連續(xù)性方程質(zhì)量守恒與連續(xù)性方程 4通過(guò)消去控制體體積xy，得到4 (6-1-3)4對(duì)于三維流動(dòng)，類(lèi)似地可以得到4 (6-

2、1-4)4這就是流體的連續(xù)性方程，用矢量形式表示，則為4 (6-1-5)4式中div表示散度，即4 (6-1-6) ()()0uvxy()()()0uvwxyz()0divv()()()uvwdivvxyz）4高級(jí)教育4局部的質(zhì)量守恒表達(dá)式也可以寫(xiě)為4 (6-1-7)4即 4其中 為全導(dǎo)數(shù)，即4 (6-1-8)4 為當(dāng)?shù)刈兓?。v即速度矢量v的散度divv，因而方程形式變?yōu)?6-1 質(zhì)量守恒與連續(xù)性方程質(zhì)量守恒與連續(xù)性方程 ()0uvwuvwxyzxyz0dvd ddduvwdxyz5高級(jí)教育4 (6-1-9)4也可以用張量形式寫(xiě)出連續(xù)性方程，即4 (6-1-10)4其中i1，2，3。4對(duì)于不

3、可壓流體，密度為常量， 0，則連續(xù)性方程為4 (6-1-11) 6-1 質(zhì)量守恒與連續(xù)性方程質(zhì)量守恒與連續(xù)性方程 0ddivvd()0ivxdd0uvwdivvxyz6高級(jí)教育4將動(dòng)量守恒定律應(yīng)用于運(yùn)動(dòng)的流體(控制體)中，可以得到動(dòng)量方程。控制體上的外作用力分為表面力(與表面積成正比，如壓力和粘性應(yīng)力等)和體積力(與體積成正比，如重力和離心力等)。4考慮作用于控制體上的力平衡，有4 (6-2-1)4式中，n表示所討論的方向。4有關(guān)動(dòng)量方程的推導(dǎo)，只扼要討論其二維情況。4圖6-2給出了二維有限控制體的動(dòng)量變化和作用力分析，將式(6-2-1)應(yīng)用于x方向，得到4 (6-2-2) 6-2 動(dòng)量方程動(dòng)

4、量方程 ()()()ncvmnmninoutmvq vq v222()()()()()0 xyxxxxyxyxu x yuyuuxyuv xuvuvyxxyyxyxyfx yxy 7高級(jí)教育6-2 動(dòng)量方程動(dòng)量方程 圖6-2 二維控制體在x方向上的力平衡 8高級(jí)教育4等式兩邊同除以，得到4 (6-2-3)4考慮前面得到的連續(xù)性方程(6-1-4)，有4 (6-2-4)4式(6-2-4)中的法向應(yīng)力 和切向應(yīng)力 由下式給出：4 (6-2-5) 4 (6-2-6) 6-2 動(dòng)量方程動(dòng)量方程 ()xyxxduduvufddxyxy xyxxdufdxy yxy22()3xuuvpxxy()xyuvyx

5、9高級(jí)教育4將應(yīng)力關(guān)系式代式(6-2-5)、(6-2-6)，即得到x方向的納維-斯托克斯方程：4 (6-2-7)4如果流體是常物性和不可壓縮的，則上式簡(jiǎn)化為4 (6-2-8)4下面給出了直角坐標(biāo)系下的三維、常物性、不可壓縮流體的納維-斯托克斯(n-s)方程：4 (6-2-9)4 (6-2-10) 6-2 動(dòng)量方程動(dòng)量方程 22()()3xdupuuvuvfdxxxxyyyx 2222()()xuuupuuuvfxyxxy 222222()()xuuuupuuuuvwfxyzxxyz 222222222222()()()()yzvvvvpvvvuvwfxyzyxyzwwwwpwwwuvwfxyz

6、zxyz 10高級(jí)教育4為簡(jiǎn)潔，可以表示為向量形式：4 (6-2-12)4由熱力學(xué)知 (6-2-13)4一般 ， 不為零，但dp、dt較小時(shí)可以認(rèn)為d0, =常數(shù)。 6-2 動(dòng)量方程動(dòng)量方程 2dvfpvd ( , )f p t()()tpddpdtpt()tp()pt11高級(jí)教育4 6 -3 能量方程能量方程 convconddqdqdwde12高級(jí)教育6 -3 能量方程能量方程 圖6-3 控制體能量平衡 13高級(jí)教育46-3 -1 熱對(duì)流攜的凈能量熱對(duì)流攜的凈能量 4單位質(zhì)量流體的總能量e 由熱力學(xué)能與宏觀動(dòng)能組成，稱為總能：4 (6-3-2) 4x 方向流體攜入控制體的凈能量為uedyd

7、z與 之差，即 4類(lèi)似地可以得到y(tǒng) 、z方向流體凈攜入的能量為4 和 4因而，單位時(shí)間內(nèi)流體通過(guò)界面凈攜入控制體的能量為de或6 -3 能量方程能量方程 12eu222（u +v +w ）dxdydz( ue)uedydz+xdxdydz( ue)xvdxdydzy(e)wdxdydzz(e)convuvwdqdxdydzxyz (e)(e)(e)14高級(jí)教育46 -3 -2 通過(guò)導(dǎo)熱在界面導(dǎo)的凈能通過(guò)導(dǎo)熱在界面導(dǎo)的凈能4x方向凈導(dǎo)能量為4 與 之差，即4 由傅里葉定律6 -3 能量方程能量方程 xq dydz()xxqqdx dydzxxqdxdydzxxtqx 15高級(jí)教育6 -3 能量方

8、程能量方程 4因而x方向凈導(dǎo)的能量可寫(xiě)為：4 類(lèi)似的，y、z方向的凈導(dǎo)的能量為：4 和 ()tdxdydzxx()tdxdydzyy()tdxdydzzz16高級(jí)教育6 -3 能量方程能量方程 46-3-3 控制體內(nèi)總能控制體內(nèi)總能t 隨時(shí)間的變化率隨時(shí)間的變化率4控制體內(nèi)總能量隨時(shí)間的變化率為4能量守恒方程4 (6-3-5) 4dw 將在后面詳細(xì)討論。引入連續(xù)性方程，上式整理為4 (6-3-6) 4也可以將總能量分為熱力學(xué)能和動(dòng)能即4 (6-3-7) () ededxdydz()()()()()()()uevewetttdxdydzdxdydzdwxyzxxyyzzedxdydz()()()

9、detttdxdydzdxdydzdwdxxyyzz12eu222（u +v +w ）17高級(jí)教育6 -3 能量方程能量方程 46-3-4 界面上作用力對(duì)流體作的功界面上作用力對(duì)流體作的功4作用力由表面力(粘性力和靜壓力)和體積力組成。x方向的凈功為4類(lèi)似地，y、z方向作用力的凈功為4三項(xiàng)之和為總功dw。 xpf u dxdydzxyzxyxxxzx（u）（u）（u）（ u）ypvf v dxdydzxyzyxyyyzy（v）（v）（w）（）zpwf w dxdydzxyzzyzzyxz（w）（w）（w）（）18高級(jí)教育6 -3 能量方程能量方程 4dw 減去x、y 和z方向的動(dòng)量方程分別乘以

10、u、v、w和dxdydz 的積，可以得到 4 (6-3-8) 4定義上式等號(hào)右邊方括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)為，則方程簡(jiǎn)化為4 (6-3-9) 2221()2()()()()xxyxzxxyyyzyxzyzzzddwuvwdxdydzduuuvvvwwwdxdydzxyzxyzxyzuvwpdxdydzxyz2221()()2duvwdwuvw dxdydzdxdydzpdxdydzdxyz19高級(jí)教育6 -3 能量方程能量方程 4即，體積力和表面力所作的功等于流體動(dòng)能的變化、體積變形時(shí)壓力作的功和耗散之和。整理可得4 (6-3-10) 4稱為能量耗散函數(shù)它是單位時(shí)間作用在控制體上的(法向和切向)粘性力由于摩

11、擦而作的功轉(zhuǎn)變?yōu)闊崮艿牟糠郑梢员硎? (6-3-11) 4對(duì)于不可壓縮流體，divv = 0 ，有關(guān)項(xiàng)可以略去。低速流動(dòng)時(shí)，耗散項(xiàng)很小，可以不計(jì)。能量方程也可以通過(guò)焓的形式變換，得到溫度形式的能量方程。熱力學(xué)定義焓為4 (6-3-12) ()()()()dutttuvwpdxxyyzzxyz22222222()()()()3vwuvuwvwyzyxzxzyy222uuvw（） （） （）xxzphu20高級(jí)教育6 -3 能量方程能量方程 4 (6-3-13) 4焓是熱力學(xué)狀態(tài)函數(shù)，可以寫(xiě)為h = h( t , p )。則4 (6-3-14) 4由熱力學(xué)微分關(guān)系式，得4 (6-3-15) 4定

12、義體脹系數(shù) ，得到 21dhdudpp ddddd()()()ptpthhhdhdtdpc dtdptpp1()1()tphtpt1()vpt 21高級(jí)教育6 -3 能量方程能量方程 4 (6-3-16) 4將式(6-3-13 )、(6-3 -16 )代入式(6 -3 -10 ) ，經(jīng)整理得到能量方程4 (6-3-17)4對(duì)于理想氣體， ，上式簡(jiǎn)化為1(1)pvdhc dtt dp()()()pvdttttdpctdxxyyzzd1vt()()()pdttttdpcdxxyyzzd22高級(jí)教育6 -3 能量方程能量方程4對(duì)于不可壓縮流體，v = 0，若忽略耗散函數(shù)，式(6-3-17 )變?yōu)椋?

13、 其向量形式為4 (6-3-20) 4熱物性是常數(shù)時(shí)，可以寫(xiě)為4 (6-3-2 1) ()()()tttxxyyzzpdtcd （t）2pdtctd 23高級(jí)教育6-4 熵方程熵方程 4與連續(xù)性方程的推導(dǎo)類(lèi)似，可以得到控制體的熵方程4 (6-4-1) 4式中：s 是比墑；divs是單位時(shí)間控制體內(nèi)的熵流； 是熵產(chǎn)。4對(duì)于可逆過(guò)程，由熱力學(xué)知 4 (6-4-2) dsdivssd s1()tdsdupd24高級(jí)教育6-4 熵方程熵方程 4實(shí)際熱力過(guò)程都是不平衡過(guò)程，但分析是基于局部熱力學(xué)平衡假設(shè)，式(6-4-2 )仍然適用。將式(6-3-10 )代上式，得到4 (6-4-3 ) 4因?yàn)?4得到

14、( 6-4-4 ) 4 dsdivqtd 221()qtdivdivqttt22()()dsqtdivdttt 25高級(jí)教育6-5 方程的封閉與求解方法方程的封閉與求解方法 26高級(jí)教育6-5 方程的封閉與求解方法方程的封閉與求解方法 27高級(jí)教育6-6 數(shù)量級(jí)分析數(shù)量級(jí)分析 4以一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱為例說(shuō)明數(shù)量級(jí)分析。假設(shè)厚度為2的平板，溫度為t0，放入溫度為t的流體中，若流體與固體的換熱很好，固體表而溫度立刻達(dá)到流體溫度t，試估計(jì)平板中心感受到外部影響所需的時(shí)間。 28高級(jí)教育6-6 數(shù)量級(jí)分析數(shù)量級(jí)分析 4考慮平板的對(duì)稱性，只需研究平板的一半，即厚度為。能量方程如下： 4 (6-6-l) 4估

15、計(jì)各項(xiàng)的數(shù)量級(jí)大小。左側(cè) 4 (6-6-2) 4右側(cè) 4 (6-6-3) 22pttcxppttcc222()ttttxxx 29高級(jí)教育6-6 數(shù)量級(jí)分析數(shù)量級(jí)分析 4考慮式(6-6-2)與式(6-6-3 )相等，得到 4 (6-6-4) 4式中， ，是熱擴(kuò)散率。4可見(jiàn)，通過(guò)數(shù)量級(jí)分析可以十分簡(jiǎn)單地獲得滲透時(shí)間的數(shù)量級(jí)，與傅里葉分析相比，兩者吻合得很好，但計(jì)算量則少得多。數(shù)量級(jí)分析的突出特點(diǎn)，是在眾多的影響因索中可以給出主導(dǎo)過(guò)程特性的物理量，這一點(diǎn)將在以后的分析中更清楚地表明。數(shù)量級(jí)分析法則如下：4( 1 ) 通常要確定數(shù)量級(jí)分析的區(qū)域空間，例如前面討論的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的，或邊界層流動(dòng)的。4( 2 ) 任何方程中至少有兩個(gè)數(shù)量級(jí)相等的主要控制項(xiàng)。2apac30高級(jí)教育6-6 數(shù)量級(jí)分析數(shù)量級(jí)分析 4( 3 ) 如果兩項(xiàng)之和4c = a+b (6-6-5) 4中一項(xiàng)遠(yuǎn)大于另一項(xiàng)，即4o(a) o(b) (6-6-6) 4則和的數(shù)量級(jí)大小由主要項(xiàng)決定：4o(c) o(a) (6-6-7)4c = a-b