一元二次方程的概念及其解法

1、一元二次方程的概念及解法和講義知識(shí)點(diǎn)一：一元二次方程的概念(1) 定義： 只含有一個(gè)未知數(shù) ，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是 2，這樣的整式方程就 是一元二次方程。(2) 一般表達(dá)式： ax 2 bx c 0(a 0)(3) 四個(gè)特點(diǎn)：(1) 只含有一個(gè)未知數(shù)；(2) 且未知數(shù)次數(shù)最高次數(shù)是 2；(3) 是整式方程要判斷一個(gè)方程是否為一元二次方程，先看它是否為整式 方程，若是，再對(duì)它進(jìn)行整理如果能整理為 ax2 bx c 0(a 0) 的形式， 則這個(gè)方程就為一元二次方程( 4)將方程化為一般形式： ax2 bx c 0 時(shí)，應(yīng)滿足( a 0)例 1：下列方程 x2+1=0； 2y(3y-5)=6y

2、2+4； ax2 +bx+c=0 ； 1 5x 3 0 ，x 其中是一元二次方程的有 。變式: 方程： 2x2 已知 x 2是一元二次方程 x2 mx 2 0的一個(gè)解，則 m 的值是() 1 2x2 5xy y2 0 7x2 1 0 y 0中一元 3x 2 二次程的是 。例 2：一元二次方程 (1 3x)(x 3) 2x2 1化為一般形式為：，二次項(xiàng)系數(shù)為： ，一次項(xiàng)系數(shù)為： ，常數(shù)項(xiàng)為： 。變式 1：一元二次方 程 3(x2)25x1 的一般形式 是 ，二次項(xiàng)系數(shù)是 ，一次項(xiàng)系數(shù) 是 ，常數(shù)項(xiàng)是 。變式 2：有一個(gè)一元二次方程，未知數(shù)為 y，二次項(xiàng)的系數(shù)為 1，一次項(xiàng)的系數(shù)為 3 ，常數(shù)項(xiàng)為

3、 6 ，請(qǐng)你寫出它的一般形式 。例 3：在關(guān)于 x 的方程 (m-5)x m-7+(m+3)x-3=0 中 : 當(dāng) m=時(shí)，它是一元二次方程；當(dāng) m=時(shí)，它是一元一次方程。變式 1：已知關(guān)于 x 的方程 (m+1)x2mx+1=0，它是()A一元二次方程B 一元一次方程C一元一次方程或一元二次方程 D 以上答案都不對(duì)2變式 2：當(dāng) m時(shí)，關(guān)于 x 的方程 (m 3)xm 7 x 5 是一元二次方程知識(shí)點(diǎn)二：一元二次方程的解(1) 概念：使方程兩邊相等的未知數(shù)的值，就是方程的解。(2) 應(yīng)用：利用根的概念求代數(shù)式的值；【典型例題】A 3B3C0D0或32. 已知2y2 y 3的值為 2，則 4y

4、2 2y 1的值為。3. 若 x=a 是 方程 x 2-x-2015=0 的根 ，則 代數(shù) 式 2a2-2a-2015 值 為。4. 關(guān)于 x 的一元二次方程 a 2 x2 x a2 4 0的一個(gè)根為 0，則 a 的值 為。5. 已知關(guān)于 x 的一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的系數(shù)滿足 a b c 0 ，則 此方程必有一根為 ?！九e一反三】1. 已知關(guān)于 x的方程 x2 kx 6 0的一個(gè)根為 x 3，則實(shí)數(shù) k的值為（ ）A1B 1C2D 22.3.4.若 m2-5m+2=0 ，則 2m2-10m+2016=若關(guān) 于 x 的方 程 （a+3） x 2-2x+a 2-9=0 有一

5、 個(gè)根 為 0，則 a=元 二次 方程 ax 2+bx+c=0 ，若 4a-2b+c=0 ，則它 的一 個(gè)根 是5. 若 x=1 是關(guān)于 x 的一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 一個(gè)根 ,求代數(shù)式 2007（a+b+c） 的值 知識(shí)點(diǎn)三：解一元二次方程 一元二次方程的解法：直接開(kāi)平方法、配方法、公式法、因式分解法：直接開(kāi)平方法利用平方根的定義直接開(kāi)平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開(kāi)平方法。直接開(kāi)平方法適用于解形如 （x m）2 n 的一元二次方程。 根據(jù)平方根的定義可知， x m是 n 的平方根，當(dāng) n 0時(shí)， x mn，x m n ，當(dāng) n<0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。 用直接

6、開(kāi)平方法解一元二次方程的理論根據(jù)是平方根的定 義，達(dá)到降次轉(zhuǎn)化之目的。（1）形如 x p（p 0）的方程的解是 x= p。當(dāng) p=0時(shí)， x1 x2 0（ 2）形如 mx n p p 0 的方程的解為 x= p n 。m形如 m x a n 0 的方程可先化成 x a n 的形式，再用直接開(kāi) m平方法解?！纠}講解】1、方程（ x-2 ） 2=9的解是（）Ax1=5，x2=-1 B x1=-5 ，x2=1 C x1=11，x2=-7 D x1=-11 ，x2=72、若方程 x2=m的解是有理數(shù)，則實(shí)數(shù) m不能取下列四個(gè)數(shù)中的（）11 A1B 4C D 423、對(duì) 于 形如 x2 p 的一 元

7、二 次 方 程 ， 能直 接 開(kāi) 平方 的 條 件是4、方程 x2 16 0的根是 。5、用直接開(kāi)平方法解下列方程：2 2 2（1）16x2 81（2） 2m2 2422（ 3） 9x2 25 0（4）4 2x 1 36 0【同步訓(xùn)練】得方程的根為（ ）x1=3+2 2 ，x2=3-2 2 x1=3+2 3 ， x2=3-2 3 x1=x2=3 D x1=3，x2=-31、用直接開(kāi)平方法解方程（ x-3 ）2=8，Ax=3+2 3BCx=3-2 2D2、方程 1 （x-3 ）2=0 的根是（）2A x=3B x=0C23、方程 2x 6 900的根是 24、方程 t 2 2 169 的根是 。

8、5、用直接開(kāi)平方法解下列方程：2 1 2（1） x 7 0（2） 12 y 1 128（3）4（3x 1）2 9 0（4） 4x2 16x 16 9二：配方法配方法：將形如 ax2 bx c 0（a 0） 的一類方程，化為 （mx n）2 p 形 式求解的方法叫做配方法。一般步驟： （1）把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊；（2）方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)，化二次項(xiàng)系數(shù)為 1；（3）方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方； （4）原方程變形為 （x m）2 n 的形式；5）如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以直接開(kāi)平方求出方程的解，如 果右邊是負(fù)數(shù)，則一元二次方程無(wú)解例題講解】1、用配方法解關(guān)于 x 的一元二次方程 x2-2

9、x-3=0 ，配方后的方程可以是（）A（ x-1 ）2=4 B （x+1）2=4 C （x-1 ）2=16 D （x+1）2=16 2、若一元二次方程式 x2-2x-3599=0 的兩根為 a、b，且 a>b，則 2a-b 之值為何？ （）A-57B63C 179D1813、用適當(dāng)?shù)臄?shù)填空：、x2+6x+= (x+）2、x25x+= （x ）2；、 x2+ x+= (x+）2 、x29x+= ( x ）24、5、6、將二次三項(xiàng)式 2x2-3x-5 進(jìn)行配方，其結(jié)果為 _22，?所以方程的根已知 4x2-ax+1 可變?yōu)椋?2x-b ）2的形式，則 ab=_ 將 x2-2x-4=0 用配方

10、法化成（ x+a） 2=b 的形式為為7、若 x2+6x+m2 是一個(gè)完全平方式，則 m的值是8、用配方法解下列方程：1)x2 12x 15 022)x2 8x 923)3x2 5x 212（ 4）1 x2 4x 4 0（ 5）49、用配方法求解下列問(wèn)題2（ 1）求 2x2-7x+2 的最小值 ；【舉一反三】1把方程 x+3=4x 配方，得（ ） A（x-2 ）2=7 B （x+2）2=21 C 2用配方法解方程 x2+4x=10 的根為（2x2 4x 3 06)2x2 4 7x22）求-3x 2+5x+1的最大值。x-2 )2=1 D (x+2)2=2 )A2± 10 B -2 &

11、#177; 14 C -2+ 10 D 2- 103. 用配方法解下列一元二次方程（1） x2 4x 96（2） x2 4x 5 0（3） 2x2 3x 1 0（4） 3x2 2x 7 0三：公式法（1）公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的 一般方法。由配方法得 x 2baca 2ba ，化簡(jiǎn)： x 2baca 4ba24ac2 b224a2 4a2b2 4ac4a2x bb2 4ac2a 2ab b2 4ac2a元二次方程 ax 2 bx c 0（a 0） 的求根公式：4ac 0)bb 2 4ac 2x (b 2ab b2 4ac x12ab b2 4ac x22

12、a公式法的步驟：就把一元二次方程的各系數(shù)分別代入，這里 a 為一次項(xiàng)系數(shù)， b 為二次項(xiàng)系數(shù)， c 為常數(shù)項(xiàng)?！镜湫屠}】例 1：一般地，對(duì)于一元二次方程 ax2+bx+c=0（ a 0），當(dāng) b2-4ac 0 時(shí)，它的根 是，當(dāng) b-4ac<0 時(shí)，方程 例 2：用公式法解方程 x 2=-8x-15 ，其中 b2-4ac=，x1=，x2=例 3：一元二次方程 x2-2x-m=0 可以用公式法解，則 m=（ ）A0 B 1 C -1 D ± 1例 4：不解方程，判斷所給方程： x2+3x+7=0； x2+4=0；x2+x-1=0 中，有實(shí) 數(shù)根的方程有（ ）A0個(gè) B 1 個(gè)

13、C 2個(gè) D 3 個(gè) 例5：方程 （ x+1 ）（ x-3 ）=5的解是 （）Ax1=1，x2=-3 B x1=4，x2=-2 C x1=-1 ，x2=3 D x1=-4 ，x2=2 例 6：一元 二次 方程 x2 2 2x 6 0 的根 是（ ）A. x1 x2 2 B. x1 0,x2 2 2C. x1 2,x2 3 2 D. x12,x2 3 2例 7：一元 二次 方 程 x2-3x-1=0 的解 是 。例 8 ：用公式法解下列方2 2 2（1） 3x2 5x 2 0；（2）2x2 3x 3 0；（3） x2 2x 1 0；2 2 x例 9：若 x -xy-3y =0（y> 0），

14、求 x 的值y【舉一反三】1. 用公式法解方程 x2=-8x-15 ，其中 b2-4ac=， x1=，x2=2. 用公式法解方程 4y2=12y+3，得到（） 6 3 6 3 2 3 3 2 3 Ay=By=C y=D y=2 2 2 23. 不解方程，判斷所給方程： x2+3x+7=0；x2+4=0； x2+x-1=0 中，有實(shí)數(shù) 根的方程有（ ）A0個(gè)B1個(gè)C2個(gè)D3 個(gè)4. 用公式法解方程（1）x 2+15x=-3x;（2）x 2+x-6=0;（3）3x 2-6x-2=0; （4）4x2-6x=0四：因式分解法因式分解法的步驟是：（ 1）將方程右邊化為 0；（2）將方程左邊分解為兩個(gè)一次

15、因式的乘積：（ 3）令每個(gè)因式等于 0，得到兩個(gè)一元一次方程，解這兩個(gè)一元一次方程，它 們的解就是原一元二次方程的解 .例題講解：(1) x212x0；(2)4x210；（3）(x 2)2 2x 4 0 ；練習(xí)鞏固：(2) x24x 210；(3)(x1)( x3) 12；(3)3 x22x10；2(4)10 x2 x 3 0；(5)( x1)224（x1）210練習(xí)鞏固用適當(dāng)方法解下列方程(1) x24x3 0；(2)(x2） 2256；（3）2x23x10；(4) x22x3 0；（5）(2 t 3)23(2t 3)；(6)(3 y) 2y29；(7)7 2x2= 15(8) 2x22x

16、30 0 (9)2x28x7（10）5x2（5 2 1）x 100；（11）（x5）22（x5）80知識(shí)點(diǎn)四：判定根的情況（韋達(dá)定理）根的判別式及應(yīng)用（ =b2 4ac ）0 判定一元二次方程根的情況：>0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根； <0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根 . 確定字母的值或取值范圍：應(yīng)用根的判別式，其前提為二次項(xiàng)系數(shù)不為 0.韋達(dá)定理：實(shí)系數(shù)一元二次方程 ax2+bx+c=0（ a0）存在實(shí)數(shù)解 x1，x2，那 bc么 x1+x2=- b ， x1x2= c . 這是在初中時(shí)韋達(dá)定理的定義，但在高中時(shí)應(yīng)用就更為 aa廣闊. 由代數(shù)基本定理可推得：任何一

17、元 n 次方程在復(fù)數(shù)集中必有根，因此，該 方程的左端可以在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)分解成一次因式的乘積形式，兩端比較系數(shù)即得 韋達(dá)定理，所以韋達(dá)定理在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)同樣適用 .2元二次方程 ax2+bx+c= 0（ a0）在有解的情況下，兩個(gè)解為b b2 4ac x1=2ax2= b b 4ac ，通過(guò)計(jì)算得到結(jié)論 x1+x2=- b ， x1x2= c .2a a a 例 1 、 已知關(guān)于 x的一元二次方程 x2-2 x+k=0 （1）方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求 k 的取值范圍； （2）在（ 1）中當(dāng) k取最大整數(shù)時(shí)，求所得方程的實(shí)數(shù)根 .2、已知關(guān)于 x 的方程 kx2+ 1 k x-2=0 有兩個(gè)不相等

18、的實(shí)數(shù)根 ，求 k 的取值范圍 . 例 2 已知 x1，x2是方程 2x2+14x16=0的兩實(shí)數(shù)根，求 x2 x1的值.x1 x2練習(xí)： 1.已知 x1, x2是方程 3x2+ 2x-1 = 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求 x12 x22的值.2. 設(shè) ，是一元二次方程 x2+ 3x-7 = 0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求 2+ 4 +的值. 綜合練習(xí)1 、如果關(guān)于 x 的方程 x2+px+q= 0 的兩個(gè)根是 x1，x2，那么 x1+x2=-p，x1·x2=q請(qǐng) 根據(jù)以上結(jié)論，解決下列問(wèn)題：（ 1）已知關(guān)于 x 的方程 x2+mx+n= 0（n0），求出一個(gè)一元二次方程，使它的兩 根分別是已知方程兩根的倒數(shù)；（2）已知 a，b滿足a2- 15a- 5=0，b2- 15b- 5=0，求 a b的值； ba（3）已知 a，b，c均為實(shí)數(shù)，且 a+b+c= 0，abc=16，求正數(shù) c的最小值 2、 若 x1，x2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0