00專題14排列組合真題匯編與預(yù)賽典型例題(解析版)

1、全國高中數(shù)學(xué)歷屆（2009-20 佃）聯(lián)賽與各省市預(yù)賽試題匯編 專題14排列組合真題匯編與預(yù)賽典型例題 1. 【2019 年全國聯(lián)賽】 將 6 個(gè)數(shù) 2, 0，1, 9, 20，19 按任意次序排成一行， 拼成一個(gè) 8 位數(shù)（首位不為 0）, 則產(chǎn)生的不同的 8 位數(shù)的個(gè)數(shù)為 【答案】498 【解析】所有首位非 0 的 8 位數(shù)：6!-5 ! 0 相鄰的不同 8 位數(shù): 0 與 1、9 均相鄰的不同 8 位數(shù)： 迦 2 .【2011 年全國聯(lián)賽】現(xiàn)安排 7 名同學(xué)去參加 5 個(gè)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，要求甲、乙兩同學(xué)不能參加同一個(gè)項(xiàng)目，每 個(gè)項(xiàng)目都有人參加，每人只參加一個(gè)項(xiàng)目 則滿足上述要求的不同安排方案數(shù)

2、為 _ （用數(shù)字作答） 【答案】15000 【解析】 由題意知滿足條件的方案有兩種情形： 1. 有一個(gè)項(xiàng)目有 3 人參加，共有 二 一 - 一丄一種方案； 2. 有兩個(gè)項(xiàng)目各有 2 人參加，共有 拡 Q；眩叫洛二二孤 種方案 故所求的方案數(shù)為 圖賂jj撫一間加. 故答案為：15000 3. 【2017 年全國聯(lián)賽】將 3333 的方格表中毎個(gè)格染三種顏色之一 ，使得每種顏色的格的個(gè)數(shù)相等 若相鄰兩 格的顏色不同，則稱其公共邊為分隔邊試求分隔邊條數(shù)的最小值。 【答案】56 1、 5M! 9 相鄰的不同 8 位數(shù)： 故所求的 8 位數(shù)個(gè)數(shù)為: 【解析】 記分隔邊的條數(shù)為 L。首先，將方格表按圖分成

3、三個(gè)區(qū)域，分別染成三種顏色，粗線上均為分隔邊。 此時(shí),共有 56 條分隔邊，即 L=56。 其次證明：L 56。 將方格表的行從上至下依次記為 J. A-：，列從左至右依次記為：,.；仁.：。行中方格出現(xiàn)的顏色數(shù) 記為礙琲,列血中方格出現(xiàn)的顏色個(gè)數(shù)記為 三種顏色分別記為 ，對(duì)于一種顏色 為含 J J 有奇色方格的行數(shù)與列數(shù)之和。 類似地定義空爲(wèi).片； 53 3 I S=1 =1 匸 由于染色的格有 ,設(shè)含有與色方格的行有 a 個(gè)、列有 b 個(gè)，則與色的方格一定在這 a 行和 b 列的交叉方格中。 從而，也 所以.：.=.- . .:- - ： = 44 + 39+39 - 66 = 56 （2

4、）沒有一行也沒有一列的所有方格同色 . 則対任意 1（2n（Bi）2 從而，由式知； is L 工 + 1 -56 33 x4 66 = 66 56 i=i 綜上，分割邊條數(shù)的最小值為 56. 4. 【2016 年全國聯(lián)賽】 給定空間中十個(gè)點(diǎn)，其中任意四點(diǎn)不在一個(gè)平面上，將某些點(diǎn)之間用線段相連，若 得到的圖形中沒有三角形也沒有空間四邊形，試確定所連線段數(shù)目的最大值 . 【答案】15 【解析】 以這十個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)、所連線段為邊得一個(gè)十階簡(jiǎn)單圖 G. F 面證明：圖 G 的邊數(shù)不超過 15. 設(shè)圖 G 的頂點(diǎn)為共有 k 條邊，用表示頂點(diǎn)為的度. 若囂疏.：；乳-二 I均成立，則 ft=-EldBgf

5、e） ）-xldx3=15. 9 I 假設(shè)存在頂點(diǎn)趨滿足逐筠甌）；農(nóng).不妨設(shè)門.二一，且.二 .，均相鄰.于是，甌憑一11 丁碁述 之間沒有邊，否則，就形成三角形 .從而， - 之間恰有 n條邊. 對(duì)每個(gè) ：一 1至多與跆巒我卿中的一個(gè)頂點(diǎn)相鄰（否則，設(shè) tOsta +（相鄰，則 件矛盾）.從而】之間的邊數(shù)至多為 .C _ - 匚-: 在腫輪曲嚴(yán)“陽賽弘朋個(gè)頂點(diǎn)之間，由于沒有三角形，由托蘭定理，知至多有 的邊數(shù)為 就對(duì)應(yīng)了一個(gè)空間四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，這與題設(shè)條 條邊.因此, 如圖所示給出的圖共有 15 條邊，且滿足要求 綜上，所求邊數(shù)的最大值為 15. 5. 【2010 年全國聯(lián)賽】一種密碼鎖的

6、密碼設(shè)置是在正 邊形虬起廠熱的每個(gè)頂點(diǎn)處賦值 0 和 1 兩個(gè)數(shù)中的 一個(gè)，同時(shí)，在每個(gè)頂點(diǎn)處染紅、藍(lán)兩種顏色之一，使得任意相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的數(shù)字或顏色中至少有一個(gè) 相同.問：該種密碼鎖共有多少種不同的密碼設(shè)置？ 【答案】當(dāng) 為奇數(shù)時(shí)，有 誓種；當(dāng) 為偶數(shù)時(shí)，有 帶種. 【解析】 對(duì)于該種密碼鎖的一種密碼設(shè)置，若相鄰兩個(gè)頂點(diǎn)上所賦值的數(shù)字不同，則在它們所在的邊上標(biāo)上 ；若顏 色不同，則標(biāo)上 B；若數(shù)字和顏色都相同，則標(biāo)上 于是，對(duì)于給定的點(diǎn)幾上的設(shè)置（共有 4 種），按照邊 上的字母可以依次確定點(diǎn) 役如島上的設(shè)置.為了使得最終回到 臥時(shí)的設(shè)置與初始時(shí)相同，標(biāo)有*3 的邊 都是偶數(shù)條. 所以，這種

7、密碼鎖的所有不同的密碼設(shè)置方法數(shù)等于在邊上標(biāo)記 餌、館件使得標(biāo)有打 LL 的邊都是偶數(shù)條的方 法數(shù)的 4 倍. Is kl 設(shè)標(biāo)有 Q 的邊有 2i（0i -）條，標(biāo)有的邊有 沁勺孚）條. L I 選取寶條邊標(biāo)記 的有燈種方法，在余下的邊中取出 打條邊標(biāo)記 的有第 嗔;種方法，其余的邊標(biāo)記 . 由乘法原理知共有燈磴尿種標(biāo)記方法. 對(duì) 求和，密碼鎖的所有不同的密碼設(shè)置方法數(shù)為 這里，約定二二-. 當(dāng)孔為奇數(shù)時(shí)， 此時(shí)， . f(n)=4 他二戒b警2豐嚴(yán)譚 =九2呷+九2%4） ）驚=（?+爐+（! y=3B+l. Iff Iff 當(dāng)址為偶數(shù)時(shí)，若 ，則式仍然成立；若.二：則正融邊形的所有邊都標(biāo)

8、記 ，此時(shí)，只有一種標(biāo)記方 法.于是，所有不同的密碼設(shè)置的方法數(shù)為 f迪迪=4|j-CA = 2+4 即二摯+ 3 綜上，這種密碼鎖的所有不同的密碼設(shè)置方法數(shù)是： 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，有竽十i種；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，有辭忙種. 各省預(yù)賽典型題 1.【2018 年廣西】把 16 本相同的書全部分給 4 名學(xué)生，每名學(xué)生至少有一本書且所得書的數(shù)量互不相同, 則不同的分配方法種數(shù)為 _ .（用數(shù)字作答） 【答案】216. 【解析】 將 16 分解成四個(gè)互不相同的正整數(shù)的和有 9 種不同的方式: 16=1+2+3+10 , 16=1+2+4+9 , 16=1+2+5+8 , 16=1+2+6+7 , 16=1+3+4

9、+8 , 16=1+3+5+7 , 16=1+4+5+6 , 16=2+3+4+7 , 16=2+3+5+6. 故符合條件的不同分配方法數(shù)為 9 履；=216. 2. 【2018 年安徽】把 1, 2,， 按照順時(shí)針螺旋方式排成 n行 n列的表格，第一行是 1, 2,，n例 1231 如：二894 設(shè) 2018 在片叩的第 i 行第 j 列，則（i, j） = _ . besl 【答案】（34 , 95） 【解析】 設(shè)ik n 4.現(xiàn)從中任取兩球，若取出的兩個(gè)球是同色的概 率等于取出的兩個(gè)球是異色的概率，則滿足關(guān)系 皿+社40 的數(shù)組（m, n）的個(gè)數(shù)為 _ . 【答案】3 【解析】 記“取出

10、兩個(gè)紅球”為事件 A，“取出兩個(gè)白球”為事件 B，“取出一紅一白兩個(gè)球”為事件 C,則 二-二，廠.一丄，：: 依題意得鈔的十屜總網(wǎng)億,即一門二二門.所以猱十賞一伽 L 啜護(hù)，從而噤為完全平方數(shù)又由 : I； i ,得；） fi+n=3fi, . 解之得（m, n） = （6, 3）（舍去），或（10, 6），或（15, 10）,或（21, 15）. 故符合題意的數(shù)組（m, n）有 3 個(gè). 故答案為：3 若頂點(diǎn)在第一象限，則有 因此，這樣的二次函數(shù)有 故 . 芒弋二二個(gè) 若頂點(diǎn)在第三象限，則有 所以 -，所以其頂點(diǎn)坐標(biāo)是 la 因?yàn)?6. 【2018 年河南】將圓的一組等分點(diǎn)分別涂上紅色或藍(lán)

11、色，從任意一點(diǎn)開始，按逆時(shí)針方向依次記錄 頁沖;忙 i 個(gè)點(diǎn)的顏色，稱為該圓的一個(gè)“ 階色序”，當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè) 階色序?qū)?yīng)位置上的顏色至少有一個(gè) 不相同時(shí)，稱為不同的 階色序若某圓的任意兩個(gè)“3 階色序”均不相同，則該圓中等分點(diǎn)的個(gè)數(shù)最多可 有 個(gè). 【答案】8 【解析】 “3 階包序”中，每個(gè)點(diǎn)的顏色有兩種選擇，故“3 階色序”共有 2x2x2=8 種. 一方面， 個(gè)點(diǎn)可以構(gòu)成 個(gè)“3 階色序”，故該圓中等分點(diǎn)的個(gè)數(shù)不多于 8 個(gè). 另一方面，若詢呂令，則必須包含全部 8 個(gè)“3 階色序”，如按逆時(shí)針方向確定 8 個(gè)的顏色為“紅，紅，紅， 藍(lán)，藍(lán)，藍(lán)，紅，藍(lán)”符合條件. 故該圓中等分點(diǎn)的個(gè)數(shù)最多可有 8 個(gè). 7. 【2018 年浙江】在八個(gè)數(shù)字 2, 4, 6,乙 8, 11, 12, 13 中任取兩個(gè)組成分?jǐn)?shù)這些分?jǐn)?shù)中有 _ 個(gè) 既約分?jǐn)?shù) 【答案】36 【解析】 在 7, 11, 13 中任取一個(gè)整數(shù)與在 2, 4, 6, 8, 12 中任取一個(gè)整數(shù)構(gòu)成既約分?jǐn)?shù)，共有 種； 在 7, 11, 13 中任取兩個(gè)整數(shù)也構(gòu)成既約分?jǐn)?shù)，共有 一二二：中. 合計(jì)有 36 種不同的既約分?jǐn)?shù). 8. 【201