凸函數(shù)判定方法的研究

1、 凸函數(shù)判定方法的研究 凸函數(shù)判定方法的研究雞冠山九年一貫制學(xué)校張巖2013年12月15日目 錄摘要ii關(guān)鍵詞 iiAbstractiiKey wordsii前言 iii一、凸函數(shù)的基本理論1 1、預(yù)備知識1 2、凸函數(shù)的概念及性質(zhì)2二、凸函數(shù)的判定方法4 （一）一元函數(shù)凸性的判定方法41、利用作圖判斷函數(shù)凸性42、其它判定方法5 （二）多元函數(shù)凸性的判定方法81、多元凸函數(shù)的有關(guān)概念82、多元函數(shù)凸性的判定方法9 三、凸函數(shù)幾個其他判定方法12四、總結(jié)14 參考文獻(xiàn)14致謝15凸函數(shù)判定方法的研究摘要:凸函數(shù)是一類非常重要的函數(shù)，借助它的凸性可以科學(xué)準(zhǔn)確地描述函數(shù)圖像，而且可以用于不等式的證

2、明。同時，凸函數(shù)也是優(yōu)化問題中重要的研究對象，研究的內(nèi)容非常豐富，研究的結(jié)果已在許多領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用，因此凸函數(shù)及其性質(zhì)以及凸性判定的充要條件的研究就顯得尤為重要。本文首先給出了凸函數(shù)的一些基 本概念和結(jié)論，然后針對一元和多元函數(shù)，對凸函數(shù)的判定做了研究和討論，本文最后也給出幾種新的判定凸函數(shù)的方法。關(guān)鍵詞：凸函數(shù)；梯度；Hesse 矩陣；泰勒定理 Abstract: Convex function is a kind of very important functions, with the help of its convexity we can accurately describe

3、the graph of functions and it can also be used to prove the inequalities. As the significant object in optimization problems, the contents about convex functions we study are very abundant, the results obtained so far has been applied to many fields. Therefore, the topic we concern about is deserved

4、 to be discussed. In this paper, we firstly present some basic definitions and properties of convex functions, then aiming at the univariate function and multi-variable functions we give several criterions for determining the convexity of functions. Finally, some new principles are also given. Key w

5、ords：Convex function; Gradient; Hesse matrix; Taylor Theorem 前言提起凸函數(shù),人們都會想起它的許多良好性質(zhì)和在數(shù)學(xué)中的重要作用。的確,凸函數(shù)是一個十分重要的數(shù)學(xué)概念,它在純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的眾多領(lǐng)域中具有廣泛的應(yīng)用。在數(shù)學(xué)分析和高等數(shù)學(xué)教材中,函數(shù)的凹性和凸性一直都占據(jù)著重要的位置,關(guān)于這兩個性質(zhì)的考查也常常見諸于練習(xí)和考試中.凸函數(shù)是一類非常重要的函數(shù)，廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)規(guī)劃，控制論等領(lǐng)域，函數(shù)凸性是數(shù)學(xué)分析專攻的一個重要概念，它在判定函數(shù)的極值、研究函數(shù)的圖象以及證明不等式諸方面都有廣泛的應(yīng)用。凸分析作為數(shù)學(xué)的一個比較年輕的分支，是在

6、50年代以后隨著數(shù)學(xué)規(guī)劃，最優(yōu)控制理論、數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)等應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科的興起而發(fā)展起來的。運籌學(xué)是在二十世紀(jì)四十年代才開始興起的一門分支。運籌學(xué)的創(chuàng)始人定義運籌學(xué)是：“管理系統(tǒng)的人為了獲得關(guān)于系統(tǒng)運行的最優(yōu)解而必須使用的一種科學(xué)方法?！彼褂迷S多數(shù)學(xué)工具（包括概率統(tǒng)計、數(shù)理分析、線性代數(shù)等）和邏輯判斷方法，來研究系統(tǒng)中的人、財、物的組織管理、籌劃調(diào)度等問題，以期發(fā)揮最大的效益。隨著科學(xué)技術(shù)和生產(chǎn)的發(fā)展，運籌學(xué)已滲入很多領(lǐng)域里，發(fā)揮了越來越重要的作用。但是,凸分析的局限性也是很明顯的,實際問題中的大量函數(shù)是非凸的,因此,各種廣義凸函數(shù)的定義相繼出現(xiàn),特別是近年來,“非凸分析”或更一般的“非光滑分析”已

7、成為引人注目的熱門課題,它們是凸分析的拓廣和發(fā)展。本文主要從凸函數(shù)出發(fā)給出凸函數(shù)的一些簡單性質(zhì)及一些重要的性質(zhì)，然后給出了凸函數(shù)的幾個等價定義并加以說明，然后利用函數(shù)圖象判定函數(shù)的凸性，接下來給出了一些一元函數(shù)的判定方法并結(jié)合實例給出了判定函數(shù)凸性的一些等價條件，接著給出多元函數(shù)的判定方法及其應(yīng)用，最后，又介紹了判定函數(shù)凸性的幾個其他的方法。v 凸函數(shù)判定方法的研究 一、凸函數(shù)的基本理論（一）預(yù)備知識1.梯度：若元函數(shù)對自變量的各分量的偏導(dǎo)數(shù)都存在，則稱函數(shù)在處一階可導(dǎo)，并稱向量為函數(shù)在處的梯度或一階導(dǎo)數(shù)。2 . Hesse 矩陣：若元函數(shù)具有二階偏導(dǎo)數(shù)，即都存在，則稱矩陣為在處的Hesse矩

8、陣（海色矩陣）。3. 泰勒展式 （1）一階泰勒展式：設(shè)在點處具有一階連續(xù)偏導(dǎo)，則在點處的泰勒展開式 其中為變量的高階無窮小量，或者，其中。 （2）二階泰勒展式：設(shè)在點處二階連續(xù)可微（或具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)），則在點處的二階泰勒展開式為或者 ，其中 。（二）凸函數(shù)的概念及性質(zhì)定義 1.1 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義, 若,總有 （1.1）則稱為上的凸函數(shù). 若在定義1.1中當(dāng)且不等式嚴(yán)格成立, 則稱為上的嚴(yán)格凸函數(shù).定義 1.2 設(shè)為定義在區(qū)間I上的函數(shù), 若對I上的任意兩點和任意的總有 （1.2）則稱為上的凸函數(shù).若（1.2）改為嚴(yán)格不等式，則稱為嚴(yán)恪凸函數(shù)定義 1.3 設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上有定義,若，總

9、有 (1.3)則稱為上的凸函數(shù).1凸函數(shù)的一些基本性質(zhì)（1）若、均為上的凸函數(shù)，則也是上的凸函數(shù)。 （2）設(shè)為上的凸函數(shù)，為正常數(shù)，則也為上的凸函數(shù)。 （3）設(shè)為上的凸函數(shù)，在上單調(diào)遞增，且也為上的凸函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)也是上的凸函數(shù)。 （4）若是奇函數(shù)，且當(dāng)時，是凸函數(shù)，則當(dāng)時，是凹函數(shù)。 （5）若是偶函數(shù)，且當(dāng)時，是凸函數(shù)，則當(dāng)時，是凸函數(shù)。 （6）若是上的連續(xù)遞增的凸函數(shù)，則是遞增的凹函數(shù)。 （7）若是定義在區(qū)間上的凸函數(shù)，則在上連續(xù)。（8）若是上的凸函數(shù)且不恒為常數(shù)，則存在一點使得在上遞減，在上遞增。2凸函數(shù)的一些重要性質(zhì)性質(zhì)1.1 設(shè)函數(shù)在上連續(xù),若是上Jensen意義下的凸函數(shù),則及都

10、有(1.2)成立。性質(zhì) 1.2 (性質(zhì)1的逆命題)設(shè)是定義在區(qū)間I上的, 若對 , 都有，則在內(nèi)連續(xù)。性質(zhì) 1.3 若在區(qū)間上連續(xù),且滿足 其中,則是上的凸函數(shù)。性質(zhì) 1.4 若是閉區(qū)間a,b上有界的凸函數(shù),在a,b內(nèi)必連續(xù)。性質(zhì) 1.5 若函數(shù)是區(qū)間I上的連續(xù)凸函數(shù), 則有1) 函數(shù)在I內(nèi)處處存在左、右導(dǎo)數(shù)與 , 且；2) 與都是x的不減函數(shù).二、凸函數(shù)的判定方法（一）一元函數(shù)凸性的判定方法1.利用作圖判斷函數(shù)凸性 圖1-1上圖是一個凸函數(shù)的幾何圖像，其中，。若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有定義，如果對于，連接和兩點的弦都在介于這兩點的弧段之下，則可以判定（由定義1.1）該函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是凸函數(shù)。定義1.1是

11、對凸函數(shù)的幾何特性的直觀描述，可以通過作圖判斷函數(shù)的凸性。2.其它判定方法引理 2.1 為I上的凸函數(shù)的的充要條件是：對I上的任意三點，總有 （2.1）定理 2.1 設(shè)函數(shù)在區(qū)間可導(dǎo),在區(qū)間內(nèi)是凸函數(shù),且,有。證明：必要性 若在區(qū)間I上式凸函數(shù)，且且，由（2.1）式有已知函數(shù)在與皆連續(xù)可導(dǎo)，根據(jù)極限保號性定理有 于是 充分性：，且，根據(jù)微分中值定理，有與。已知即 由引理（2.1）知函數(shù)在I上是凸的。定理 2.2 設(shè)函數(shù)在區(qū)間可導(dǎo), 在區(qū)間I內(nèi)是凸函數(shù)曲線位于它們的任意一點切線的上方。證明：必要性 ，曲線在點的切線方程，從而=，其中在與之間，若函數(shù)在I上是凸的，由定理1，則與同號，于是，有。即曲

12、線在其上任意點的切線上方。充分性 若，有，于是，且，有由引理1，在I上是凸函數(shù)。定理 2.3 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上存在二階導(dǎo)數(shù), 在區(qū)間內(nèi)是凸函數(shù),有。證明：必要性 ，且，已知在區(qū)間I上是凸函數(shù)，根據(jù)定理 2有 與 從而 即函數(shù)在區(qū)間I上單調(diào)增加，于是又 有。充分性 ，由泰勒公式，其中在與之間，已知有，則，即在區(qū)間I上是凸函數(shù)。定理 2.4 設(shè)在區(qū)間上有定義, 則在區(qū)間內(nèi)為凸函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)，且有證明：必要性 已知在區(qū)間I上為凸函數(shù)，有定義，設(shè)，有 （2.2）將乘以移項變形可知： （2.3）可見，令時，則，從而由（2.2）式可推到（2.3）式。同理類推，由（1.2）得。充分性 且，有若，令，則，從而由（

13、2.3）式可推到（2.2）式。同理類推，由推得（2.2）式。定理 2.5 若在區(qū)間上連續(xù),且滿足其中,則是上的凸函數(shù)。下面舉幾個例題說明這些判別方法的使用。例 2.1 求證，有 證明：，不妨設(shè)，考察函數(shù)，因為，故是上的凸函數(shù)。令，由定理2.5知， 即 ，故 ，故 ，所以 ，因此 。例 2.2 證明不等式成立。證明： 取函數(shù) 當(dāng)時， 因此，在內(nèi)是凸函數(shù)， 故對任何，恒有，即不等式成立（二）多元函數(shù)凸性的判定方法1.多元凸函數(shù)的有關(guān)概念定義 2.1 設(shè),對,數(shù), 及為n維向量,若均有,則稱為凸集,即如果中的任意兩點,的連線也在內(nèi),則稱為中的一個凸集。多元凸函數(shù)的定義可由一元凸函數(shù)的定義推廣得到。定

14、義 2.2 設(shè)為非空凸集, ,若有,則為上的凸函數(shù)；若上述為嚴(yán)格不等式,則是上的嚴(yán)格凸函數(shù)。我們可以利用函數(shù)的梯度和二階偏導(dǎo)數(shù)矩陣(Hesse矩陣)來判斷多元函數(shù)的凸性。2.多元函數(shù)凸性的判定方法定理 2.6 設(shè)為凸集內(nèi)可微函數(shù)，則為內(nèi)的凸函數(shù)的充要條件是：對，其中 證明： 必要性 設(shè)為D內(nèi)的凸函數(shù)，對，恒有 令從正趨向于0，則，所以 充分性 設(shè)，有成立。設(shè)，令，則 （2.6） （2.7）×（2.6）+×（2.7）式得：或 即所以，是內(nèi)的凸函數(shù)。定理 2.7 是定義在凸集內(nèi)的二次可微函數(shù),則為內(nèi)的凸函數(shù)的充要條件為的二階偏導(dǎo)數(shù)矩陣處處半正定。類似的，為內(nèi)嚴(yán)格凸函數(shù)的充要條件

15、為處處正定。證明： 必要性 設(shè)，對任意的，由泰勒公式得： 由題意知，所以，即處處半正定。 充分性 由泰勒公式得若處處半正定，對任意，恒有，則由定理 2.6 知，為內(nèi)的凸函數(shù)。例 2.3 求證：二元函數(shù)為上的凸函數(shù)。（證法一）證明：因為，令，其中，。任取，則利用一元函數(shù)為上的凸函數(shù)可知因此二元函數(shù)為上的凸函數(shù)。（證法二）證明：，因為，則為半正定，所以二元函數(shù)為上的凸函數(shù)。例 2.4 求函數(shù)的極小值。解： 首先討論的凸性，求出它的Hesse矩陣因為，當(dāng)時，為正定，即是為嚴(yán)格凸函數(shù)的條件。令，即，而滿足不等式，所以有唯一極小值，。三、凸函數(shù)幾個其他判定方法定義3. 1 令是一個非空集， 稱集合是的上

16、圖像。定理 3.1 令是一個非空凸集, 在上是凸的當(dāng)且僅當(dāng)?shù)纳蠄D像是凸集。證明：充分性 因為在上是凸的，對有 由于是凸集，故，則即是凸的。必要性 因為是凸的，對，有即 得證。定理 3.2 設(shè)為一非空凸集合, 為凸的當(dāng)且僅當(dāng)對,函數(shù), 在上是凸的。定理 3.3 設(shè)為一非空開凸集合, 在S上可微,則f為凸的當(dāng)且僅當(dāng)對。定義 3.2 令, 。 稱f在上是單調(diào)的,若對,有成立。定理 3.4 設(shè)為一非空開凸集合, 在S 上可微,則f在上為凸的當(dāng)且僅當(dāng)f 單調(diào),即對,有。例 3.1 函數(shù)，其中為半正定的對稱陣，為給定的常向量，為常數(shù)，則為凸函數(shù)。證明：利用定理3.4來驗證。 有 ， 則， 于是，由于為半正

17、定的對稱陣，于是，即，所以為凸函數(shù)。四、總結(jié)凸函數(shù)在整個優(yōu)化問題的研究，以至于在工程和金融管理方面都發(fā)揮著重要的作用，因為許多提煉出來的數(shù)學(xué)模型歸根結(jié)底是優(yōu)化問題的求解，而凸規(guī)劃又是優(yōu)化問題的一個重要分支，凸函數(shù)的判定又是這一切研究工作的基礎(chǔ)。本文主要研究判定函數(shù)凸性的一系列充分必要條件。首先，回顧一些對判定函數(shù)凸性有用的概念，如梯度、Hesse 矩陣及泰勒展式等。其次，給出凸函數(shù)的幾個等價定義，并討論它們的等價性。接下來對凸函數(shù)的性質(zhì)做一個簡單的介紹，然后提出幾個有利用價值的重要的性質(zhì)，為后文判斷函數(shù)的凸性提供了研究的理論基礎(chǔ)。再次，給出本文的重點，既，凸函數(shù)的判定方法，第一部分說明利用函數(shù)

18、的圖像可以判斷函數(shù)的凸性，這里只是做了簡單介紹，而不是本文重點，第二部分給出一元函數(shù)凸性的判定方法，給出了五種不同的判定方法，其中每種方法都有其優(yōu)點，相應(yīng)的給出例題說明遇到不同問題時，使用的判定方法也不盡相同。接下來，介紹了多元凸函數(shù)的有關(guān)概念，并且研究了多元函數(shù)凸性的判定方法及其應(yīng)用。最后，給出了凸函數(shù)的幾個其他的判定方法，并且給出實例加以應(yīng)用和驗證。參考文獻(xiàn)1宋方. 關(guān)于凸函數(shù)的定義和性質(zhì). 數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識，2007（4）：189-194.2羅馳.凸函數(shù)的幾個新判定方法.樂山師范學(xué)院學(xué)報，2007（5）：11-12.3曾明，范周田.關(guān)于凸函數(shù)定義的幾點思考.高等數(shù)學(xué)研究，2010（7）：94-96.4馮艷青.多元函數(shù)凸性的判斷及應(yīng)用.西南民族學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2001（11）：474-475.5陳曉東.關(guān)于凸函數(shù)的問題注記.渝西學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2003（12）：37-40.6陳太道.凸函數(shù)判定及其應(yīng)用.臨沂師范學(xué)院學(xué)報，2002（6）：90-92.7華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析第三版（上）.高等教育出版社，2008（4）：148-153.8華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析第三版（下）.高等教育出版社，2008（4）：124-140.9袁亞湘，孫文瑜.最優(yōu)化理論與