數(shù)學建模論文中高考閱卷中的問題

1、中高考閱卷中的問題摘要本文主要討論的是中高考中試卷的優(yōu)化分配、成績預處理和對教師評閱效果的定量評價問題，在充分理解題意的基礎上，建立了合理的模型，并設計了相應的算法，從而有效地解決了上述問題，為考試提供了一個良好的閱卷環(huán)境。其中大致包括以下幾個方面。1、試卷的分發(fā)問題。根據(jù)題意要求，首先設計了一種隨機分配算法，使其在滿足基本條件的前提下實現(xiàn)較好的均勻性。在算法設計時，采用計算機軟件隨機編號、排列組合和移位搜索相結合的思想，即對1000份試卷進行隨機編號，并將其分成25個數(shù)據(jù)包組合，每個數(shù)據(jù)包含40份不同編號的試卷，然后將25個數(shù)據(jù)包重復3次分給40個閱卷教師，每次進行移位搜索以避免重復以及達到

2、較好的均勻性。然后，為了對隨機分配結果進行均勻性評價，又設計了兩兩逐一比對的評價算法，計算出任意兩位閱卷教師評閱同一份試卷的次數(shù)，從而得出本次任務單的均勻性。2、評分的預處理問題。首先選取一份均勻性好的任務分配單，任務單中包含了教師的編號i及其需要評閱的75個試卷編號n。然后，利用matlab軟件自帶的庫函數(shù)隨機產(chǎn)生一組均值為70、方差為15并服從正態(tài)分布的數(shù)據(jù)作為評分成績的模擬數(shù)據(jù)s，并將數(shù)據(jù)s通過計算搜索教師編號i與試卷編號n對應，從而得出1000份試卷的初始成績。為了使合成的試卷分數(shù)更加公正合理，采用歸一化算法對不同閱卷教師的初始成績進行標準化處理。這里的歸一化處理是對編號為i的教師的7

3、5個成績的歸一化。然后再對編號為n的試卷的三個標準化成績求幾何平均得到該份試卷的標準成績。3、教師評閱效果的評價。經(jīng)過評分的預處理后可得教師i評閱試卷n的標準化成績以及試卷n的標準成績，然后求取方差，通過方差的大小來評判教師的評閱效果。以獲得公平、公正的閱卷效果。關鍵詞：排列組合； 移位搜索； 計算搜索； 歸一化； 方差目 錄一 問題重述3二 問題分析4三 模型假設4四 符號說明5五 模型建立與求解5六 模型的評價14七 模型的推廣與改進14參考文獻15附 錄16一問題重述近些年來，越來越多的考試已經(jīng)采用標準的“電子閱卷”，尤其像中考、高考這樣正規(guī)的大型考試。對于廣大考生來說，不僅僅要答對卷面

4、上的題目，更要確保答案順利通過“電子閱卷”的“法眼”，最終才能拿到理想的分數(shù)。這對考生的書寫規(guī)范和答題習慣就有了更多的要求?？荚囍蠖家?jīng)過閱卷的過程，除了幾百名教師參與繁重的評閱試卷的工作外，許多管理工作都有很強的技術性。比如試卷的分發(fā)、教師評分的預處理、對每位教師評閱效果的評價等。這些做得好壞，直接影響著評閱的合理性和公正性，我們追求最優(yōu)、最準確的評閱效果。一次中考或高考通常試卷有好多份，評閱前已將試卷打亂編號。對于每份試卷，評閱教師需要綜合考慮各方面情況（標準答案，主觀、客觀試題等）給出一個成績。而每份試卷應有三名不同的教師評閱，所給出的三個成績合成該試卷的最后成績。試卷的隨機分發(fā) 考慮

5、有1000份試卷由40名閱卷教師評閱的情況。每份三人評閱就共需要3000人次，每人閱卷75份。提前編寫程序（可先給出處理方法或思路），讓試卷隨機地分發(fā)到教師的任務單中。注意讓每份試卷分給每位教師等可能，另外任何兩位教師交叉共同評閱一份試卷的情況也盡量均勻，即盡量不要出現(xiàn)交叉次數(shù)過多或過少的情況。再編寫一個程序，對一次分發(fā)的任務單進行均勻性的評價。然后可以在多次生成的任務單中選出一個評價比較好的來使用。請給出兩個程序的算法或框圖，并選出一個好的分配任務單供使用及對它的評價。評分的預處理 全部閱完之后，就要進行成績的合成了。但是，每個人見到的卷子不同，實際評分標準也不完全相同（盡管評閱前已經(jīng)集體開

6、會、討論，統(tǒng)一評卷標準），大家的分數(shù)沒有直接的可比性，所以不能簡單地合成，需要預處理。比如，可能出現(xiàn)一份試卷的兩位評閱教師都給出70分的評價，但是其中一個70分是他給出的最高分，另一個則是他的最低分，能認為這個試卷就應該是70分嗎？請設計一個成績預處理的算法把教師給出的成績算得標準化成績，然后用三個標準化成績直接合成，使得合成的成績盡量地公平合理并且為后面對教師評閱效果的評價提供方便。教師評閱效果的評價 閱卷全部結束之后，組織者要對所聘請的教師有一個宏觀的評價，哪些教師比較認真，對評分標準掌握得也好，看論文又快又準，因此給出的成績比較準確，是這次閱卷的主力。下次再有類似的事情一定還請他們來，甚

7、至于在下一次閱卷后合成成績的時候給他們以更大的權值。這些除了在日常的生活工作中會有所感覺外，大家給出的成績也會說明一些問題。請制定一個方法，利用每人給出的成績，反過來給教師的評閱效果給出評價。二問題分析2.1問題一的分析針對問題一，首先設計一個隨機分配算法，將試卷進行隨機編號，均勻的分配給40位閱卷教師。在算法設計時，采用了計算機軟件隨機編號以保證任一份試卷分配給各個老師的概率是相等的，使用排列組合的方法使得每個教師分配到任一份的概率相等。同時為了使得任務單有較好的均勻性，即任意兩個教師交叉評閱一份試卷的數(shù)量不能過多也不能過少。本文采用隊1000份試卷的三次分配進行移位搜索的算法以已達到良好的

8、均勻性。2.2問題二的分析對于問題二，由于不同的教師有不同的評判標準，無疑會對學生的成績產(chǎn)生較大的影響。因此教師的評分對成績的公正性和合理性造成一定的影響。為了避免這種情況的出現(xiàn)，需要對成績進行預處理，本文采用歸一化方法對成績進行標準化處理，可以得出試卷的標準化成績。一份試卷由3位不同的閱卷老師共同評閱，因此對于任意一份試卷的標準成績可以由這份試卷所對應的三位評委標準化成績的幾何平均求得。通過對成績的標準化處理，在很大程度上解決了試卷成績的公正性與合理性問題。 2.3問題三的分析 對于問題三，假設所有閱卷老師對任意一份試卷的評閱時間相等且不受其他外界因素的影響，則可根據(jù)教師對試卷的評閱成績對教

9、師的評閱效果進行反評測。本文設計的算法計算出了教師評閱的標準化成績與標準成績的偏離程度，并采用方差之和來表示某位閱卷教師本次閱卷的整體偏離程度，從而可以對閱卷教師的評閱效果做出一個合理的評判。從而為之后的試卷評判選擇較公平、公正的閱卷候選人。三 模型假設1.隨機性：認為計算機產(chǎn)生的偽隨機數(shù)完全隨機。2.等概率性：即每份試卷分發(fā)給每個閱卷老師的概率是相等的，不存在某閱卷老師一直評閱優(yōu)秀答卷，另一個閱卷老師一直評閱較差答卷的情況。3.獨立性：每位評委對試卷的評閱不受任何外界因素的影響。比如其余評委所給出的成績，評委繁榮疲勞程度等。4.所給出的成績服從正態(tài)分布。四 符號說明i 閱卷老師編號n 試卷編

10、號xij 老師i對第j份試卷的評閱成績xijmax 老師i75次評閱成績的最大值xijmin 老師i75次評閱成績的最小值sij 編號為i的老師對第j份試卷的標準化成績 sj 第j份試卷的標準成績yi 第i位老師評閱成績相對于標準成績的方差之和開平方a(m,n+1) 老師m與老師n的交叉數(shù)（m,n值為140）五 模型建立與求解5.1 試卷的隨機分發(fā) 根據(jù)題意要求，需首先給出一種試卷的隨機分配方式，使得在每位閱卷老師評閱75 份試卷且每份試卷需有三位不同的老師評閱的基礎上，任意兩位教師共同評閱一份試卷的情況盡量均勻。因此，本文設計了一種隨機分配算法，使其在滿足基本條件的前提下實現(xiàn)較好的均勻性。在

11、算法設計時，采用計算機軟件隨機編號、排列組合和移位搜索相結合的思想，即對1000份試卷進行隨機編號，并將其隨機分成25個數(shù)據(jù)包組合，每個數(shù)據(jù)包含40份不同編號的試卷，40份試卷對應分配給40位閱卷老師，然后將25個數(shù)據(jù)包重復三次分給40個閱卷老師，每次進行移位搜索以避免分配給同一個老師并使其達到較好的均勻性。隨機分配示意圖如圖所示：125265051751nn40nn數(shù)據(jù)包的分配順序（1-75）圖5.1隨機分配模型示意圖 注：在隨機分配示意圖中，第一列存放教師編號，共40行，表示40位教師。第一行表示對數(shù)據(jù)包進行175次順序分配，每25次完成對1000份試卷的一次完全分配。n表示不同的試卷編號

12、，即對應不同的試卷。雖然教師編號沒有隨機排列，但1000份試卷中的試卷編號是隨機排列的，因此每一份試卷分到每個教師的概率是等可能的，且概率p如式（5-1）： p=1/c11000 (5-1)根據(jù)模型示意圖，可得編程的具體算法實現(xiàn)框圖，如圖所示：分配開始隨機數(shù)循環(huán)平移p位產(chǎn)生1-1000的隨機數(shù)隨機數(shù)循環(huán)平移q位分到40*76矩陣52-76列分到40*76矩陣的2-26列分到40*76矩陣的27-51列儲存結束（該矩陣的第一列為教師編號1-40）輸出教師隨機試卷編號矩陣圖5.2試卷隨機分配算法框圖通過隨機隨機分配算法求得一次的任務單如下表；其中表中的編號表示老師所分配的試卷的編號，由于數(shù)據(jù)太多上

13、述表格僅給出任務單的前四列和后四列。 根據(jù)隨機分配算法可以生成多個任務單，但是我們需要從中選出均勻性較好的任務單，所以試卷分配完后選擇一個算法對它進行均勻性的分析，在算法設計時需對任意的兩個老師（m n）的75份試卷進行對比判斷，如果試卷相等一次則教師m,n交叉一次，將其交叉的數(shù)據(jù)存放在a（m,n+1）中。交叉矩陣a的第一列存教師編號，最后兩列存交叉次數(shù)的最大值和最小值，以便于對所取分配任務單進行均勻性評價，除去第一列和最后兩列得到的對角矩陣其算法的流程圖，如下圖所示；輸出交叉次數(shù)矩陣a，第一次存儲教師編號，最后兩列分別存儲教師i所分配的試卷交叉次數(shù)最大值和最小值yesnoyesno第m位老師

14、與第n位老師所分配試卷編號比較是否相等（m不等于n）教師i隨機分配的第j份試卷編號為number（i j）i= 1-40,j =1-76存儲數(shù)據(jù)a(m,n+1)+1,m=140,n=140a(m,n+1)表示第m位教師與第n位教師分配試卷相同的數(shù)目判斷開始判斷比較分配試卷編號是否相等： 圖5.3均勻性評價算法流程圖 5.2 評分的預處理本節(jié)首先需要利用matlab軟件自帶的庫函數(shù)normrnd對40位教師隨機產(chǎn)生一組均值為75，方差為15的正態(tài)分布的隨機數(shù)，即40位教師對應每份試卷的分數(shù)（這里采用百分制）。但是在matlab中的庫函數(shù)normrnd是一個連續(xù)性函數(shù)，其產(chǎn)生的數(shù)值為小數(shù)，且根據(jù)均

15、值與方差的不同，其部分數(shù)值有可能會大于100，所以首先需要對產(chǎn)生的隨機數(shù)進行整數(shù)化處理，然后對于有可能大于100的數(shù)值，直接用100進行替換。其具體算法框圖如圖： 產(chǎn)生服從均值為75，方差為15的正態(tài)分布的隨機數(shù)（分數(shù)）（20*75）開始隨機數(shù)整數(shù)化數(shù)據(jù)處理（大于100的用100替換）輸出存儲score矩陣（20*76）（第一列為教師編號）圖5.4正態(tài)分布隨機數(shù)產(chǎn)生框圖隨機產(chǎn)生服從正態(tài)分布的成績表 178689110076767891298667482757647693367573917571677748375945459776365575575863.75867655650708066628

16、576247636883865761767987579666652826566910086738186736167101008753395762617611505753656752834912100717258.5280425913815281466665678714695310078227174791581706074545860511667937371494777371768586950557369611892764187676956731991676375658872842091874366998266712180548370618664532252705766.665959752381

17、7872444656715224948762666351425625779375585077646026867161557010062522781487753.83815666286559816276588057297454964059835966305810067844653786331836138789249856432538157701008168623354679069725874883458835458557580793526598485889169713692497268617678483775499259.638451463859774190834687413991676767.

18、4980551004044675261411004385特別說明：由于數(shù)據(jù)量大，只給出了前四列與后四列的數(shù)據(jù)。以上完成正態(tài)分布隨機分數(shù)的產(chǎn)生。然而在評閱試卷時，不同的教師對待同一份試卷的態(tài)度可能不同，因此會出現(xiàn)不同的分數(shù)。例如，對于同一份試卷，一位教師可能會給出他所評閱的75份試卷中的最高分數(shù)，而另外一位教師卻給出他所評閱的75份試卷中的中等或最低成績。因此需要給出一種針對教師評閱成績的預處理方法。即對每位教師給出的實際成績進行標準化處理進而計算出每份試卷的標準成績。用表示第i位教師對第j份試卷的評閱成績。i的取值范圍是140，即教師的編號，j表示教師所評閱的試卷編號。由于每位教師需評閱75份

19、試卷，所以j的編號是175。對于第i位教師，在其評閱的75份試卷中必將存在一個最高分與最低分，在算法找出最高分與最低分的同時，第i位教師對第j份試卷的標準化成績通過歸一化算法實現(xiàn)，算法采用式（5-2）： （5-2） 其中i的取值范圍：140，j的取值范圍：175，i、j均為整數(shù)。 任意一份試卷（設試卷編號為n）由3位不同的教師評閱，通過教師所分配試卷編號矩陣查找所對應試卷編號的標準化成績，采取幾何平均的方法得到第j份試卷的標準成績（其具體算法框圖如圖 5.5），數(shù)學表達式為公式（5-3）： （5.3） u、v、w是表示三個不同教師的編號，u、v、w的取值范圍：140處理開始讀入教師評閱成績矩陣

20、score(20*76)找出每位教師評閱成績最高分最低分maxmin將教師評閱成績標準化y=100(x-min)/max-min存儲教師標準化成績score(40*78)通過教師所分配試卷編號矩陣number(40*76),查找所對應試卷編號的標準化成績score(40*78)求每份試卷的平均成績輸出存儲每份試卷的標準成績矩陣（1000*3）輸出存儲每份試卷的標準成績矩陣（1000*3）圖5.5 1000份試卷標準成績算法框圖1000份試卷標準成績散點圖5.6結果如上圖5.6所示，可以看出，1000份試卷的標準成績集中分布在40-70之間（即均值大約為55），且服從正態(tài)分布，但是5.2節(jié)中隨機

21、產(chǎn)生的正態(tài)分布的成績均值是70。這里偏差產(chǎn)生的原因是在對教師所給試卷成績進行歸一化處理時，將教師所給試卷最低成績（大多數(shù)為大約為30，如圖 5.7所示）歸一化為0分，所以將所有試卷的成績均值拉低。 圖一（橫軸表示教師編號，縱軸表示評閱教師給出的最低分）40位評閱教師給出的最低分散點圖 圖二（橫軸表示教師編號，豎軸表示評閱教師給出的最高分）40位評閱教師給出的最高分散點圖 5.3 教師評閱效果的評價 閱卷全部結束之后，競賽組織者要對所聘請的教師給一個宏觀的評價，哪些教師比較認真，對評分標準掌握得也好，看論文又快又準，因此給出的成績比較準確，是這次閱卷的主力。對于這些，根據(jù)以上算法中得出的成績也會

22、說明一些問題。 假設所有閱卷教師對任意一份試卷的評閱時間相等且不受其它外界因素的影響，因此，只有根據(jù)教師對試卷的評閱成績來合理評價教師的評閱效果。設計的算法是計算教師評閱的標準化成績與標準成績之間的偏離程度，并采用方差之和來表示某個閱卷教師本次閱卷的整體偏離程度。另外，由于方差之和數(shù)值較大，因此算法實現(xiàn)時對其開平方處理（具體算法框圖如圖 5.7）。算法具體實現(xiàn)的數(shù)學表達式如式（5-4）： （5-4）、可由式（5-2）、（5-3）求得。 讀入試卷編號number（i，j+1）標準化成績score(i,j+1)查找第number(i,j+1)份試卷的標準成績將成績score(i,j+1)對應的試卷

23、編號的標準成績求方差之和開平方，簡化大型數(shù)據(jù)，存儲矩陣效果評價開始 圖5.7教師評價算法框圖教師編號圖5.8 教師評價直方圖的數(shù)值直接體現(xiàn)了教師對試卷評分的一個合理程度和準確性。由圖5.8可以看出，編號為8和30的教師所評閱試卷給出的成績與標準成績的偏差最?。ㄖ翟叫。f明該教師評閱成績越合理），所以他們對他們所分配的75份試卷的評閱成績最合理。六 模型的評價本文充分考慮了試卷分配過程中可能出現(xiàn)的兩位教師重復評閱相同試卷所出現(xiàn)的交叉性問題，并提出了一種試卷能得以盡量均勻分配的方法。同時也充分考慮了評卷過程中由于評委的原因出現(xiàn)的“不公平”現(xiàn)象，引入了標準化算法，對每位評委給出的成績進行了標準化處理

24、。利用對每位教師所評閱試卷的成績進行了穩(wěn)定性分析，以此標準可以判定該教師的評閱效果。充分應用了matlab、excel等軟件對數(shù)據(jù)的運算及處理功能。七 模型的推廣與改進模型在建立時，主要運用了隨機分組分配的思想對數(shù)據(jù)進行處理，此模型的思想是好的。但是在實現(xiàn)過程中由于此模型的隨機程度太高，很難滿足均勻性條件。此模型在實際生活中有一定的用武之地。比如說，公交車每條線路上司機的分配問題，大型競賽評委評分公正性問題等。模型在運算過中計算量較大且均勻性欠佳，有待對模型進行進一步改進。參考文獻1 盧開澄，盧華明.組合數(shù)學m.北京：清華大學出版社，2002.2 蘇金明，王永利.matlab7.0使用指南m.

25、北京：電子工業(yè)出版社，2004.3 胡運權.運籌學（第五版）m.北京：清華大學出版社，2005.4 韓中庚.數(shù)學建模方法與應用m.北京;高等教育出版社，2006.5 姜啟源，謝金星.數(shù)學模型（第三版）m.北京：高等教育出版社，2003.6 卓金武.matlab在數(shù)學建模中的應用m.北京：北京航空航天附錄一：luan=randperm(1000)%1-1000打亂隨機排列number=zeros(40,76)%記錄老師及試卷編號p=zeros(1,1000)q=zeros(1,1000)for i=1:5 p(i)=luan(i+995)endfor i=6:1001 p(i)=luan(i-5

26、)endfor i=1:12 q(i)=luan(i+988)endfor i=13:1000 q(i)=luan(i-12)end for j=2:26 %前25*40分配 for i=1:40 number(i,1)=i%第一列為試卷編號 number(i,j)=luan(40*(j-2)+i)%20循環(huán) end end for j=27:51 for i=1:40 number(i,j)=p(40*(j-27)+i) end end for j=52:76 for i=1:40 number(i,j)=q(40*(j-52)+i) end end xlswrite('c:numb

27、er.xls',number)附錄二：number=xlsread('c:number.xls')%讀入第一列為教師編號，其余列為試卷號（75份試卷編號）20*76a=zeros(40,43)%a記錄均勻性數(shù)據(jù)，第一列為教師編號，a（i,j+1）表示教師i與教師j之間的交叉次數(shù)，對角for i=1:40 a(i,1)=number(i,1)%第一列教師編號存儲 for m=2:76 for n=1:40 for j=2:76if(number(i,m)=number(n,j)&i=n)%判斷不同教師所閱試卷號是否相同a(i,n+1)=a(i,n+1)+1else

28、a(i,n+1)=a(i,n+1)end end end end endfor i=1:40a(i,42)=min(a(i,2:41)%最小值a(i,43)=max(a(i,2:41)%最大值 endxlswrite('e:a22jiaocha.xls',a)附錄三：l=normrnd(70,15,40,75)%產(chǎn)生均值為75，方差為15的正態(tài)分布隨機數(shù)n=round(l)%將得到的隨機數(shù)整數(shù)化for i=1:40for j=1:75 if n(i,j)>100%隨機數(shù)中有大于100的數(shù)，用100進行代替 n(i,j)=100 endendendb=zeros(40,76)for j=2:76for i=1:40 b(i,1)=i b(i,j)=n(i,j-1)endendxlswrite('c:score.xls',b)%第一列存儲教師編號，其余75列存儲隨機數(shù)，即分數(shù)附錄四：score=x