貝塞爾公式精品課件

1、樣本標準差的表示公式數(shù)學表達式： · s標準偏差（） · n試樣總數(shù)或測量次數(shù)，一般n值不應少于2030個 · i物料中某成分的各次測量值，1n； 編輯標準偏差的使用方法· 在價格變化劇烈時,該指標值通常很高。 · 如果價格保持平穩(wěn),這個指標值不高。 · 在價格發(fā)生劇烈的上漲/下降之前,該指標值總是很低. 編輯標準偏差的計算步驟 標準偏差的計算步驟是： 步驟一、（每個樣本數(shù)據(jù) 樣本全部數(shù)據(jù)之平均值)2。 步驟二、把步驟一所得的各個數(shù)值相加。 步驟三、把步驟二的結果除以 (n 1)（“n”指樣本數(shù)目）。 步驟四、從步驟三所得的數(shù)值之平方

2、根就是抽樣的標準偏差。 編輯六個計算標準偏差的公式1編輯標準偏差的理論計算公式設對真值為x的某量進行一組等精度測量, 其測得值為l1、l2、ln。令測得值l與該量真值x之差為真差占， 則有1 = li x .。.。文檔交流2 = l2 x n = ln x 我們定義標準偏差（也稱標準差）為 （1） 由于真值x都是不可知的， 因此真差占也就無法求得, 故式只有理論意義而無實用價值。 編輯標準偏差的常用估計貝塞爾公式由于真值是不可知的， 在實際應用中, 我們常用n次測量的算術平均值來代表真值。理論上也證明, 隨著測量次數(shù)的增多， 算術平均值最接近真值， 當時， 算術平均值就是真值。 。.。.文檔交

3、流于是我們用測得值li與算術平均值之差剩余誤差(也叫殘差）vi來代替真差 ， 即 設一組等精度測量值為l1、l2、ln 則 通過數(shù)學推導可得真差與剩余誤差v的關系為 將上式代入式(1)有 (2) 式(2)就是著名的貝塞爾公式（bessel). 它用于有限次測量次數(shù)時標準偏差的計算.由于當時，,可見貝塞爾公式與的定義式（1）是完全一致的。 應該指出, 在n有限時, 用貝塞爾公式所得到的是標準偏差的一個估計值。它不是總體標準偏差。因此, 我們稱式(2)為標準偏差的常用估計。為了強調(diào)這一點， 我們將的估計值用“s ” 表示。于是, 將式（2)改寫為 .。文檔交流（2） 在求s時， 為免去求算術平均值

4、的麻煩， 經(jīng)數(shù)學推導(過程從略)有 于是， 式(2）可寫為 （2") 按式(2”)求s時， 只需求出各測得值的平方和和各測得值之和的平方藝 , 即可。 編輯標準偏差的無偏估計數(shù)理統(tǒng)計中定義s2為樣本方差 數(shù)學上已經(jīng)證明s2是總體方差2的無偏估計。即在大量重復試驗中， s2圍繞2散布， 它們之間沒有系統(tǒng)誤差.而式（2')在n有限時,s并不是總體標準偏差的無偏估計， 也就是說s和之間存在系統(tǒng)誤差。概率統(tǒng)計告訴我們, 對于服從正態(tài)分布的正態(tài)總體, 總體標準偏差的無偏估計值為 。.。.。文檔交流（3) 令 則 即s1和s僅相差一個系數(shù)k,k是與樣本個數(shù)測量次數(shù)有關的一個系數(shù), k值見

5、表。 計算k時用到 （n + 1) = n(n） （1) = 1 由表1知, 當n>30時, 。因此， 當n>30時， 式(3）和式(2)之間的差異可略而不計。在n=3050時， 最宜用貝塞爾公式求標準偏差。當n<10時， 由于k值的影響已不可忽略， 宜用式（3), 求標準偏差。這時再用貝塞爾公式顯然是不妥的。 .。.文檔交流編輯標準偏差的最大似然估計將的定義式（1）中的真值x用算術平均值代替且當n有限時就得到 （4） 式（4)適用于n50時的情況, 當n50時，n和(n1)對計算結果的影響就很小了。 2。5標準偏差的極差估計由于以上幾個標準偏差的計算公式計算量較大， 不宜現(xiàn)

6、場采用， 而極差估計的方法則有運算簡便， 計算量小宜于現(xiàn)場采用的特點。 。.。文檔交流極差用”r"表示。所謂極差就是從正態(tài)總體中隨機抽取的n個樣本測得值中的最大值與最小值之差. 若對某量作次等精度測量測得l1、，且它們服從正態(tài)分布, 則 r = lmax lmin 概率統(tǒng)計告訴我們用極差來估計總體標準偏差的計算公式為 (5) s3稱為標準偏差的無偏極差估計, d2為與樣本個數(shù)n（測得值個數(shù))有關的無偏極差系數(shù)， 其值見表2 由表2知, 當n15時，, 因此, 標準偏差更粗略的估計值為 （5'） 還可以看出, 當200n1000時，因而又有 (5”） 顯然, 不需查表利用式(5

7、')和(5”)了即可對標準偏差值作出快速估計， 用以對用貝塞爾公式及其他公式的計算結果進行校核。 .。.文檔交流應指出,式（5）的準確度比用其他公式的準確度要低， 但當5n15時，式（5)不僅大大提高了計算速度, 而且還頗為準確。當n10時, 由于舍去數(shù)據(jù)信息較多， 因此誤差較大， 為了提高準確度， 這時應將測得值分成四個或五個一組, 先求出各組的極差r1、， 再由各組極差求出極差平均值. .。.。.文檔交流 極差平均值和總體標準偏差的關系為 需指出, 此時d2大小要用每組的數(shù)據(jù)個數(shù)n而不是用數(shù)據(jù)總數(shù)n(=nk)去查表2。再則, 分組時一定要按測得值的先后順序排列,不能打亂或顛倒。 .

8、。.文檔交流編輯標準偏差的平均誤差估計平均誤差的定義為 誤差理論給出 （a) 可以證明與的關系為 (證明從略） 于是（b） 由式（a）和式（b）得 從而有 式（6）就是佩特斯（c.a.f.peters.1856)公式。用該公式估計值, 由于rightvright|不需平方,故計算較為簡便。但該式的準確度不如貝塞爾公式。該式使用條件與貝塞爾公式相似。 .。.。文檔交流編輯標準偏差的應用實例1對標稱值ra = 0.160 math > m math > 的一塊粗糙度樣塊進行檢定, 順次測得以下15個數(shù)據(jù):1。45，1.65,1.60,1.67，1。52，1.46,1。72,1.69,1

9、。77，1。64,4。56，1.50,1。64,1。74和1.63m， 試求該樣塊rn的平均值和標準偏差并判斷其合格否。 .。.。.文檔交流解：1)先求平均值 2)再求標準偏差s 若用無偏極差估計公式式(5）計算， 首先將測得的， 15個數(shù)據(jù)按原順序分為三組, 每組五個, 見表3。 .。.。.文檔交流表3 組號l_1l_5r 11。481.651.601.671。520。19 21。461。721。691.771。640.31 31。561。501.641.741.630。24 因每組為5個數(shù)據(jù)， 按n=5由表2查得 故 若按常用估計即貝塞爾公式式(2) , 則 若按無偏估計公式即式(3

10、9;)計算, 因n=15，由表1查得k = 1。018, 則 若按最大似然估計公式即式（4)計算, 則 = 0.09296（ math > m math ) 若按平均誤差估計公式即式(6）, 則 現(xiàn)在用式（5')對以上計算進行校核 可見以上算得的s、s1、s2、s3和s4沒有粗大誤差。 由以上計算結果可知0。092960。0962<0。09790。1017<0.1062 即s2 s s1 s4 < s3 可見, 最大似然估計值最小, 常用估計值s稍大, 無偏估計值s1又大， 平均誤差估計值s4再大， 極差估計值s3最大?？v觀這幾個值, 它們相當接近, 最大差值僅

11、為0。01324m。從理論上講， 用無偏估計值和常用估計比較合適， 在本例中, 它們僅相差0。0017m?？梢韵嘈?， 隨著的增大, s、s1、s2、s3和s4之間的差別會越來越小。 .。.。.文檔交流就本例而言， 無偏極差估計值s3和無偏估計值s1僅相差0.0083m, 這說明無偏極差估計是既可以保證一定準確度計算又簡便的一種好方法。 。.。文檔交流jjg10289表面粗糙度比較樣塊規(guī)定ra的平均值對其標稱值的偏離不應超過+12%17, 標準偏差應在標稱值的4%12之間。已得本樣塊二產(chǎn)，產(chǎn)均在規(guī)定范圍之內(nèi)， 故該樣塊合格. 。.。.。文檔交流編輯標準偏差與標準差的區(qū)別標準差(standard deviation)各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的距離（離均差）的平均數(shù)，它是離差平方和平均后的方根。用表示.因此,標準差也是一種平均數(shù)。標準差是方差的算術平方根。標準差能反映一個數(shù)據(jù)集的離散程度。平均數(shù)相同的，標準差未必相同。 .文檔交流例如，a、b兩組各有6位學生參加同一次語文測驗，a組的分數(shù)為95、85、75、65、55、45，b組的分數(shù)為73、72、71、69、68、67.這兩組的平均數(shù)都是70，但a組的標準差為17。08分，b組的標準差為2.16分，說明a組學生之間的差距要比