本科畢業(yè)論文對角占優(yōu)矩陣的性質(zhì)

1、唐山師范學(xué)院本科畢業(yè)論文題 目 對角占優(yōu)矩陣的性質(zhì)學(xué) 生 指導(dǎo)教師 年 級 2010級數(shù)本2班專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)系 別 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系 唐山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系2014年5月鄭重聲明 本人的畢業(yè)論文（設(shè)計）是在指導(dǎo)教師王朝霞的指導(dǎo)下獨立撰寫完成的。如有剽竊、抄襲、造假等違反學(xué)術(shù)道德、學(xué)術(shù)規(guī)范和侵權(quán)的行為，本人愿意承擔由此產(chǎn)生的各種后果，直至法律責任，并愿意通過網(wǎng)絡(luò)接受公眾的監(jiān)督.特此鄭重聲明。畢業(yè)論文（設(shè)計）作者（簽名）： 年 月 日 目 錄標題1中文摘要11 預(yù)備知識12 對角占優(yōu)矩陣的性質(zhì)33 對角占優(yōu)矩陣奇異性判定定理54 （廣義）對角占優(yōu)矩陣的判別條件85 結(jié)束語13參考文獻

2、14致謝15外文頁16對角占優(yōu)矩陣的性質(zhì)劉萌摘 要 對角占優(yōu)矩陣具有廣泛的應(yīng)用，本文以高等代數(shù)中的矩陣知識為基礎(chǔ)，研究特殊的矩陣對角占優(yōu)矩陣，將給出對角占優(yōu)矩陣的定義、研究對角占優(yōu)矩陣的性質(zhì)以及判別條件，并進而推廣到廣義對角占優(yōu)矩陣，從而得出一些重要結(jié)論.關(guān)鍵詞 對角占優(yōu)矩陣 廣義對角占優(yōu)矩陣 不可約矩陣 非奇異矩陣 對角均勢主子陣在高等代數(shù)教材中，已經(jīng)對對角占優(yōu)矩陣的定義有所了解，但是教材并沒有進行進一步研究.對角占優(yōu)矩陣有非常廣泛的實際背景，在信息論、系統(tǒng)論、程序設(shè)計、數(shù)學(xué)物理和控制論等領(lǐng)域中有很多重要的應(yīng)用.但是一些比較實用的判別條件并不多，這就給具體應(yīng)用帶來諸多不便.這就促使筆者研究對

3、角占優(yōu)矩陣的性質(zhì)和簡捷實用的判別條件.1、預(yù)備知識定義1 設(shè)，若對任意都有，則稱為對角占優(yōu)矩陣，記；若對任意都有，則稱為嚴格對角占優(yōu)矩陣，記.定義2 設(shè)，若存在正對角矩陣，使得，則稱為廣義對角占優(yōu)矩陣（廣義嚴格對角占優(yōu)矩陣），記.定義3 設(shè)是一個的矩陣，如果且，則稱是一個的置換矩陣，其中是階單位方陣.引理1 當時，一個的矩陣為置換矩陣的充要條件是的每一行恰有一個，每一列至多一個.定義4 設(shè)，如果存在置換矩陣，使得=其中和分別是階的方陣， ，則稱為可約矩陣；否則稱為不可約矩陣.定義5 設(shè)滿足條件：為對角占優(yōu)矩陣；為不可約矩陣；嚴格不等式至少對一行標成立,則稱為不可約對角占優(yōu)矩陣.定義6 設(shè)不可約

4、，若存在正數(shù)，使得，且上式中至少有一嚴格不等式成立，則稱為不可約廣義對角占優(yōu)矩陣.定義7 設(shè)，矩陣中滿足的行稱為對角占優(yōu)行；而的行稱為非對角占優(yōu)行.定義8 設(shè)，若對任意，如果成立，則稱為行對角均勢矩陣；如果成立，則稱為行對角占優(yōu)矩陣.同理，可定義列對角均勢矩陣.本文中對角均勢矩陣一般指的是行對角均勢矩陣.定義9 設(shè)，如果的階主子陣為對角均勢矩陣，則稱為的對角均勢主子陣，稱其行列式為的對角均勢主子式.引理2 若齊次線性方程組的系數(shù)矩陣，那么方程組有非零解，即系數(shù)矩陣奇異.定義10 設(shè)，若的各階順序主子式全為正數(shù)，則稱為矩陣.定義11 對任意，表示的比較矩陣，其中引理3 設(shè)，則是廣義嚴格對角占優(yōu)矩

5、陣當且僅當是非奇異矩陣.引理4 設(shè)，為廣義嚴格對角占優(yōu)矩陣，如果中有個正數(shù)，個負數(shù)，且.則的全部特征值中恰有個為正，個為負.定義12 表示矩陣的列向量所生成的子空間. 2、對角占優(yōu)矩陣的性質(zhì) 性質(zhì)1 若為廣義嚴格對角占優(yōu)矩陣，則必存在對角占優(yōu)行.證明 （反證法）假設(shè)中不存在對角占優(yōu)行，則，對任何，設(shè)，則.根據(jù)定義2知不存在正對角矩陣使得為嚴格對角占優(yōu)矩陣.因此這與為廣義嚴格對角占優(yōu)矩陣相矛盾，所以必存在對角占優(yōu)行.性質(zhì)2 若為廣義嚴格對角占優(yōu)矩陣，則只有零解.證明 因為為廣義嚴格對角占優(yōu)矩陣，根據(jù)定義2知存在正對角矩陣使成立.設(shè)為的一非零解，其中至少有一個，令 ，則至少有一所以 設(shè)|，由知，即

6、，所以 這與為嚴格對角占優(yōu)矩陣矛盾，所以只有零解.性質(zhì)3 設(shè)且為對角占優(yōu)矩陣，如果有如下的分塊形式:，為階方陣則,.證明 下證.記，為列向量.只需證 可由 線性表示即可.如果中的，則. 如果，則在中第一個元素為.如果 則中的第一、二兩個元素為零.否則在和中的第一、二兩個元素為零.一直進行下去可將列全部變?yōu)榱?這就意味著存在數(shù)，使得即可由線性表示.性質(zhì)4 設(shè)=，則對于矩陣其中， 若為對角占優(yōu)矩陣，那么也為對角占優(yōu)矩陣.證明 設(shè)為對角占優(yōu)矩陣，則： 故為對角占優(yōu)矩陣.3、對角占優(yōu)矩陣奇異性判定定理定理3.1 設(shè)=，則對于矩陣， 則有相同的奇異性.即若為對角占優(yōu)矩陣，那么也為對角占優(yōu)矩陣，且在中為嚴

7、格對角占優(yōu)的行，在中相應(yīng)的行仍為嚴格對角占優(yōu)行.證明 由性質(zhì)4得有相同的奇異性.設(shè)的第、行行為嚴格對角占優(yōu)行，則證畢.定理3.2 若為不可約廣義對角占優(yōu)矩陣，則是非奇異的.證明 因為是不可約廣義對角占優(yōu)矩陣，由定義6知，存在正數(shù),使得，即 所以存在正對角矩陣()使得為對角占優(yōu)矩陣.由不可約知也不可約，因而為不可約對角占優(yōu)矩陣，故非奇異，即非奇異.定理3.3 設(shè)為對角占優(yōu)矩陣，如果不存在對角均勢主子陣，則非奇異.證明 因為為對角占優(yōu)矩陣，故有 又因中不存在對角均勢主子陣，所以中至少有一嚴格不等式成立. 如果是不可約的，則是不可約對角占優(yōu)矩陣.所以是非奇異的. 如果是可約矩陣，根據(jù)定義，則存在置換

8、矩陣，使，其中 為的階不可約主子陣，其中；.由假設(shè)知，不是對角均勢主子陣且不可約.根據(jù)定義5知是不可約對角占優(yōu)矩陣，故它是非奇異的，即，所以.即是非奇異的.定理3.4 設(shè)為對角占優(yōu)矩陣，如果的每個對角均勢主子陣都是非奇異的，則是非奇異的.證明 記的最大階（設(shè)為）的非奇異對角均勢主子陣為，于是存在置換矩陣，使得 其中不存在對角均勢主子陣（否則就不是的最大階對角均勢主子陣）.由定理3.3證明知它是非奇異的，即.因是對角占優(yōu)矩陣，故也是對角占優(yōu)且是它的對角均勢主子陣.于是由對角占優(yōu)矩陣、對角均勢矩陣的定義和知，即是塊下三角矩陣.所以，.故是非奇異的.定理3.5 設(shè)為對角占優(yōu)矩陣，如果存在奇異的對角均

9、勢主子陣，則是奇異的.證明 記的最大階（設(shè)為）的奇異對角均勢主子陣為，則有.又因為是的主子陣，故存在置換矩陣，使得 其中不存在對角均勢主子陣（否則就不是的最大階對角均勢主子陣）.由定理3.3證明知它是非奇異的，即.因為是對角占優(yōu)矩陣，故是以為對角均勢主子陣的對角占優(yōu)矩陣，由對角占優(yōu)矩陣的定義、對角均勢矩陣的定義和式知.所以，故是奇異的.定理3.6 設(shè)為對角占優(yōu)矩陣，則奇異當且僅當存在奇異的對角均勢主子陣. 證明 （1）充分性 由定理3.6直接可得 （2）必要性 設(shè)是奇異的對角占優(yōu)矩陣，則由定理3.3知，存在對角均勢主子陣.再由定理3.4知，存在奇異的對角均勢主子陣 由定理3.6直接得到定理3.

10、7定理3.7 設(shè)為對角占優(yōu)矩陣，則非奇異的充分必要條件為的對角均勢主子矩陣( 如果有的話) 都非奇異推論 設(shè)為對角占優(yōu)矩陣，則非奇異的充分必要條件為的階數(shù)最大的對角均勢主子矩陣( 如果有的話) 非奇異定理3.8 設(shè)為對角占優(yōu)矩陣，則奇異的充分必要條件為存在奇異的順序主子陣.證明 (1)必要性 若奇異，則顯然的順序主子陣奇異.(2)充分性 若為對角占優(yōu)矩陣且有主對角元為零，則由式知，至少有一行其元素全為零，顯然，此時奇異.故以下設(shè)為主對角元都不為零的對角占優(yōu)矩陣且存在奇異的順序主子陣，即，于是由定理3.3和定理3.4知，一定存在奇異的對角均勢主子陣，從而也存在奇異的對角均勢主子陣，再由定理3.5

11、知，矩陣是奇異的.定理3.9 設(shè)為對角占優(yōu)矩陣，則奇異的充分必要條件為存在奇異的主子陣.證明 必要性 顯然.充分性 設(shè)的主子陣奇異，即，則存在置換矩陣，使得的這一主子矩陣為的階順序主子陣，由于置換相似變換不改變矩陣的對角占優(yōu)性，故仍為對角占優(yōu)矩陣且其階順序主子陣奇異，再由定理3.8的充分性知，是奇異的，從而是奇異的 由定理3.9可直接得到關(guān)于對角占優(yōu)矩陣非奇異性的另一定理定理3.10 設(shè)為對角占優(yōu)矩陣，則非奇異的充分必要條件為的每個主子陣非奇異.4、（廣義）對角占優(yōu)矩陣的判別條件定理4.1 設(shè)是階實方陣，則為嚴格對角占優(yōu)矩陣的必要條件是當時使得 成立.證明 對矩陣階數(shù)用數(shù)學(xué)歸納法.（1）當時，

12、方程組的形式為：將第一個方程兩端乘以，第二個方程兩端乘以相加得：由于,所以，從而.將代入第一個方程得，命題得證.（2）假設(shè)階數(shù)為時命題為真，下面證明階數(shù)為時命題也為真. 在式中，將第個方程兩端乘以加上第一個方程的倍，得元一次方程組：在上式中，第個方程得系數(shù)有如下關(guān)系： 所以式系數(shù)矩陣仍為嚴格對角占優(yōu)矩陣，而且由于，由歸納假設(shè)知，將，代入中第一個方程得，從而，.定理4.2 設(shè)=，為階實方陣，則為廣義對角占優(yōu)矩陣的充要條件是當時，使得成立.證明 必要性 若矩陣為廣義對角占優(yōu)矩陣，則存在正對角矩陣，使得為嚴格對角占優(yōu)矩陣.由定理4.1可知，當時，使得 成立.令，則上式可化為：故結(jié)論成立，必要性得證.

13、充分性 若由于所以由成立，則有：即 故有 ，所以，為廣義對角占優(yōu)矩陣，充分性得證.證畢.注：此結(jié)論中為實方陣，對于為復(fù)方陣結(jié)論不一定成立.定理4.3 若為不可約廣義對角占優(yōu)矩陣，則為廣義嚴格對角占優(yōu)矩陣.證明 因為為不可約廣義對角占優(yōu)矩陣，由定理3.2的證明知存在正對角矩陣，使得為不可約對角占優(yōu)矩陣，又因為不可約對角占優(yōu)矩陣必為廣義嚴格對角占優(yōu)矩陣，所以，為廣義嚴格對角占優(yōu)矩陣.記，其中， 由引理3知為矩陣.而，所以由引理4得（為的任一特征值）.又顯然，故，所以為矩陣，又由引理3得為廣義嚴格對角占優(yōu)矩陣.設(shè)為單點集，定理4.4 設(shè)=，非空集，若則為廣義對角占優(yōu)矩陣.其中 當時，記；當，記（注意

14、：由知，于是由條件知)證明 由假設(shè)有，于是存在數(shù)p滿足.構(gòu)造正對角矩陣其中記，則因而，有 有 于是，為對角占優(yōu)矩陣，即為廣義對角占優(yōu)矩陣.例1 設(shè)因此，取，則 即滿足定理4.4的條件，故為廣義對角占優(yōu)矩陣. 定理4.5 設(shè)=不可約，非空集，滿足且至少成立一個嚴格不等式，則為廣義對角占優(yōu)矩陣.其中的定義同上.證明 由假設(shè)知，及取，構(gòu)造正對角陣其中記，則于是， 有 因而.又由已知條件，至少有一使，再因不可約知也不可約，故為不可約對角占優(yōu)矩陣，即存在正對角陣使為嚴格對角占優(yōu)矩陣，又仍為正對角陣，故為廣義對角占優(yōu)矩陣.例2 設(shè)因此，取，.可見，所以為廣義對角占優(yōu)矩陣.5、結(jié)束語對角占優(yōu)矩陣在矩陣理論和

15、數(shù)值代數(shù)中具有重要的作用和意義.本文主要探討了對角占優(yōu)矩陣的性質(zhì),給出了一系列新的判別對角占優(yōu)矩陣奇異性和（廣義）對角占優(yōu)矩陣的條件，改進和推廣了已有的一些研究結(jié)果.本文首先介紹了對角占優(yōu)矩陣、廣義（嚴格）對角占優(yōu)矩陣的定義.接著給出了對角占優(yōu)矩陣的三個性質(zhì)以及對角占優(yōu)矩陣的判定定理，最后給出（廣義）對角占優(yōu)矩陣的判別條件并給出相應(yīng)的數(shù)值實例，并討論了廣義嚴格對角占優(yōu)矩陣和m矩陣的關(guān)系.對角占優(yōu)陣、m矩陣等特殊矩陣有很強的理論和應(yīng)用價值，本文討論了廣義對角占優(yōu)矩陣的一部分判別條件，而其更多的充分條件、充要條件、數(shù)值判定及算法設(shè)計皆是矩陣理論及數(shù)值計算的重要研究課題，還值得我們進一步去研究和探討

16、.參考文獻：1 吳曉溪.矩陣對角占優(yōu)性相關(guān)問題研究d.電子科技大學(xué).2012.4.1215.2 田素霞.對角占優(yōu)矩陣m.中國農(nóng)業(yè)科學(xué)技術(shù)出版社.2007.6.1324.3 逢明賢.廣義對角占優(yōu)矩陣的判定及應(yīng)用j.數(shù)學(xué)年刊.1985.16.4 張成毅.對角占優(yōu)矩陣非奇異的充分必要條件j.西安工程大學(xué)學(xué)報.2012.2.14.5 黃廷祝.廣義對角占優(yōu)矩陣的充分條件j.電子科技大學(xué)學(xué)報.1995.10.14.6 樊啟毅,周驚雷.廣義對角占優(yōu)矩陣非奇異的判別條件j.首都師范大學(xué)學(xué)報.2004.12.12.7 徐屹.廣義嚴格對角占優(yōu)矩陣判定的研究d.吉林大學(xué).2006.4.1222. 致 謝這篇論文的完

17、成，得到了指導(dǎo)老師、同學(xué)以及朋友們無微不至的關(guān)心和幫助在這里，我要向他們表示衷心的感謝指導(dǎo)老師王朝霞從本文的選題、開題到寫作、修改以及審閱定稿都給予了我悉心的指導(dǎo).特別是論文的內(nèi)容和格式方面，王老師根據(jù)她撰寫論文的經(jīng)驗，一絲不茍地校正論文中的錯誤這種嚴謹?shù)闹螌W(xué)作風使我深受感染.在王老師的耐心指導(dǎo)下，我不僅順利地完成了畢業(yè)論文，而且學(xué)到了許多專業(yè)方面的知識，并對論文撰寫的整個過程有了一個較為清楚的認識這為我今后的學(xué)習奠定了一定的基礎(chǔ)在這里，我要向王老師表達最誠摯的謝意 最后我要感謝我慈愛樸實的父母及親人.這么多年來，他們對我傾注了無限的關(guān)愛和支持，他們的寬厚博愛是我順利完成學(xué)業(yè)的巨大動力，并將繼

18、續(xù)激勵我去迎接人生中新一輪的挑戰(zhàn).the nature of diagonally dominant matrixliu meng directed by prof . wang zhaoxiaabstract diagonally dominant matrices has wide application, in this paper, based on the matrix of higher algebra knowledge, study the special matrix - diagonally dominant matrices, and will give the definition of diagonally dominant matrix and study the properties of diagonally