九年級數(shù)學(xué)培優(yōu)講義與測試

1、 第1講 一次函數(shù)和反比例函數(shù)知識(shí)點(diǎn)、重點(diǎn)、難點(diǎn)函數(shù)稱為一次函數(shù)，其函數(shù)圖像是一條直線。若時(shí)，則稱函數(shù)為正比例函數(shù)，故正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特殊情況。當(dāng)時(shí)，函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，即函數(shù)值隨增大（減小）而增大（減?。?；當(dāng)，是遞減函數(shù)，即函數(shù)值隨增大（減?。┒鴾p?。ㄔ龃螅?。函數(shù)稱為反比例函數(shù)，其函數(shù)圖像是雙曲線。當(dāng)且時(shí)，函數(shù)值隨增大（減?。┒鴾p小（增大）；當(dāng)且，函數(shù)值隨增大（減?。┒鴾p?。ㄔ龃螅?，也就是說：當(dāng)時(shí)，反比例函數(shù)分別在第一或第三象限內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)分別在第二或第四象限內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)。若當(dāng)時(shí)，時(shí)，兩面直線平行。當(dāng)時(shí)，時(shí)，兩面直線重合。當(dāng)時(shí)，兩直線相交。當(dāng)時(shí)，兩直線互相垂直。 求

2、一次函數(shù)、反比例函數(shù)解析式，關(guān)鍵是要待定解析式中的未知數(shù)的系數(shù)；其次，在解題過程中要重視數(shù)形相結(jié)合。例題精講例1：在直角坐標(biāo)平面上有點(diǎn)、，求為何值時(shí)取最小值。 解 顯然，當(dāng)點(diǎn)在線段內(nèi)時(shí)，最短。 設(shè)直線方程為，代入、得解得所以線段為代入，得例2：求證：一次函數(shù)的圖像對一切有意義的恒過一定點(diǎn)，并求這個(gè)定點(diǎn)。解 由一次函數(shù)得整理得 。因?yàn)榈仁綄σ磺杏幸饬x的成立，所以得解得當(dāng)，時(shí)，一次函數(shù)解析式變?yōu)楹愕仁剑院瘮?shù)圖像過定點(diǎn).例3：已知、為常數(shù)，并且求。 解 用代換原方程中的，得 用代換原方程中的，得 得因?yàn)椋?，所?例4:如圖，設(shè)因?yàn)楫?dāng)時(shí)，為遞增函數(shù)，在上的最小值為 所以因此在上為遞減函數(shù)；在上

3、為遞增函數(shù)，故的最大值為例5：畫函數(shù)的圖像。 解 ，將整個(gè)數(shù)軸分為四段討論（見圖）并定義域?yàn)榈囊磺袑?shí)數(shù)。 例6：一次函數(shù)圖像交軸于A點(diǎn)，將此直線沿直線翻折交軸于B點(diǎn)，這兩條直線相交于P點(diǎn)，且四邊形OAP B的面積為3，求k的值。 解 設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為又與是翻折而成，所以面積是四邊形OAPB的一半等于。設(shè)代入得點(diǎn)為由得即點(diǎn)因點(diǎn)在上，代入得 A卷一、填空題1.設(shè)是反比例函數(shù)，則 ；其圖像經(jīng)過第 象限時(shí)；當(dāng)時(shí)，隨增大而 。2.兩個(gè)一次函數(shù)的圖像與軸所圍成的三角形面積是 。3.等腰三角形一個(gè)底角的度數(shù)記作，頂角的度數(shù)記作，將表示成的函數(shù)是 ，其中的取值范圍是 。4.如果函數(shù)的圖像與直線平行，則 。5.已知

4、四條直線、所圍成的車邊形的面積是12，則 。6.一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)且與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)。若則線段的長為 。7.已知一次函數(shù)中，若的值每增加4，的值也相應(yīng)增加8，則 。8.如果把函數(shù)的圖像向下平移兩個(gè)單位，再向左平移一個(gè)單位，那么得到的是 的圖像。9.已知一次函數(shù)則的值為 。10.若直線不經(jīng)過第二象限，則的取值范圍是 。二、解答題11.求證：不論為何值，一次函數(shù)的圖像恒過一定點(diǎn)。12.某商人將進(jìn)貨單價(jià)為8元的商品按每件10元售出時(shí)，每天可以銷售100件，現(xiàn)在他想采用提高售出價(jià)的辦法來增加利潤已知這種商品每提高價(jià)1元（每件），日銷售量就要減少10件，那么他要使每天獲利最大應(yīng)把售出價(jià)定為多少元

5、？ B卷一、填空題1.函數(shù)的最小值為 。2.如圖，正比例函數(shù)和的圖像與反比例函數(shù)的圖像分別交于點(diǎn)和點(diǎn)。若直角三角形和直角三角形的面積分別為和，則與的大小關(guān)系是 。3.點(diǎn)、是平面直角坐標(biāo)系中的兩定點(diǎn)，是圖像上的動(dòng)點(diǎn)，則滿足上述條件的直角三角形或畫出 個(gè)。4.直線經(jīng)過 象限。5.一個(gè)三角形以、及為三個(gè)頂點(diǎn)，一條與軸相垂直的直線將該三角形劃分成面積相等的兩部分，則此直線的解析式為 。6.已知函數(shù)及則以這兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積為 。7.雙曲線與一次函數(shù)的圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則的取值范圍是 。8.已知反比例函數(shù)，當(dāng)時(shí)隨的增大而增大，則一次函數(shù)的圖像經(jīng)過 象限。9.已知實(shí)數(shù)、滿

6、足則的取值范圍是 。10.一次函數(shù)與的圖像在第四象限內(nèi)交于一點(diǎn)，則整數(shù) 。二、解答題11.設(shè)直線與直線相交于點(diǎn)A，它們與x軸的交點(diǎn)為，求中BC邊上的中線所在的直線方程。12.已知函數(shù)，(1) 求證：無論取何實(shí)數(shù)，此函數(shù)圖像恒過某一定點(diǎn)；(2)當(dāng)在內(nèi)變化時(shí)，在內(nèi)，求實(shí)數(shù)的值。13.若對于滿足的一切實(shí)數(shù)，函數(shù)的值恒大于0，求實(shí)數(shù)的取值范圍。14A、B兩廠生產(chǎn)某商品的產(chǎn)量分別為60噸與100噸，供應(yīng)三個(gè)商店。甲店需45噸，乙店需75噸，丙店需40噸。從A廠到三商店每噸運(yùn)費(fèi)分別為10元、5元、6元，從B廠到三商店每噸運(yùn)費(fèi)分別為4元、8元、15元，如何分配使總運(yùn)費(fèi)最省？C卷一、填空題1函數(shù)與的圖像關(guān)于直

7、線對稱則 ， 。 2三個(gè)一次函數(shù)、在同一直角坐標(biāo)系中的圖像如圖所示，分別為直線、，則、的大小關(guān)系是 。3.已知函數(shù)當(dāng)自變量的取值范圍為時(shí)，有既能取到大于5的值，又能取到小于3的值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 。4已知，則函數(shù)的最小值是 。5一次函數(shù)滿足，則 。6已知并且則一次函數(shù)的圖像一定通過 象限。7.已知一次函數(shù) (為整數(shù)）的圖像經(jīng)過點(diǎn)(98，19)，它與軸的交點(diǎn)為(p，0)，與y軸的交點(diǎn)為(0，q).若P為質(zhì)數(shù)，q為正整數(shù)，則適合上述條件的一次函數(shù)的個(gè)數(shù)是 個(gè)。 8.把函數(shù)的圖像沿軸向 平移 個(gè)單位，再沿y軸向 平移個(gè)單位，得到的圖像。9.方程表示成兩個(gè)一次函數(shù)是 。10.一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(

8、10，13），它在軸上的截距是一個(gè)質(zhì)數(shù)，在y軸上的截距是一個(gè)正整數(shù)，則這樣的函數(shù)有 個(gè)。二、解答題11.如圖，設(shè)直線與坐標(biāo)軸所構(gòu)成的直角三角形的面積是，求 12.在直角坐標(biāo)系中有一個(gè)矩形，點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，在軸的正半軸上，在軸的正半軸上，點(diǎn)在邊上，直線經(jīng)過點(diǎn)，且與軸交于點(diǎn)。若，的面積是的5倍，求直線的解析式。13.在相距為L的兩個(gè)車庫里，分別有、輛汽車，擬在A、B兩個(gè)車庫之間設(shè)修理站以檢修車輛。若每輛車的運(yùn)費(fèi)與距離成正比例，要使全部汽車都檢修一次所需要的總運(yùn)費(fèi)最小，修理站應(yīng)設(shè)在何處？14.已知直線和點(diǎn)，在直線上求一點(diǎn)Q，使過PQ的直線與直線以及軸在第一象限內(nèi)圍成的三角形的面積最小。第二講 一元

9、二次方程的解法知識(shí)點(diǎn)、重點(diǎn)、難點(diǎn)例題精講例1：解方程例2：解方程例3：解關(guān)于的方程例4：已知首項(xiàng)系數(shù)不相等的兩個(gè)關(guān)于的二次方程及（是正整數(shù)）有一個(gè)公共根，求的值。例5：若二次方程有實(shí)根，其中、為奇數(shù)。證明：此方程的根是無理數(shù)。例6：解關(guān)于的方程：習(xí)題A卷一、填空題1. 設(shè)方程，當(dāng) 時(shí)，是一元一次方程；當(dāng) 時(shí)，是一元二次方程。2. 方程，用 方法較簡捷，其根是 。3. 用公式法解，其根是 。4. 將方程化成的形式，可得 。5. 若是方程的一個(gè)根，則 。6. 若方程有一個(gè)根為0，則 。7. 關(guān)于的方程，則 。8. 若是方程的根，則 。9.已知，則的值是 。10.如果對于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)、，定義，解方程

10、：，可得 。二、解答題11.用公式法解12.若方程與方程至少有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的值。B卷一、填空題1. 解方程，則 。2. 解方程，則 。3. 當(dāng) 時(shí)，方程有一個(gè)根是1。4. 已知，則 。5. 已知、為方程的兩個(gè)根，且，則 ， 。6. 若 是方程的一個(gè)根，其中、為有理數(shù)，則 。7. 若1、是一元二次方程的兩個(gè)根，則 。8. 若是方程的一個(gè)根，則這個(gè)方程的另一個(gè)根是 。9. 已知二次方程有根0與1，則 。10. 已知關(guān)于的方程恰有一個(gè)實(shí)根，則應(yīng)取值為 。二、解答題11.已知方程的一個(gè)正根為，求+的值。12.若，在一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根中，求較大的實(shí)數(shù)根。13.證明：若是方程的一個(gè)根，則

11、也是它的一個(gè)根。C卷一、填空題1. 已知是正整數(shù)，且表示兩個(gè)相鄰正整數(shù)之和，則的值有 個(gè)。2. 方程的實(shí)根個(gè)數(shù)是 個(gè)。3. 方程的解是 。4. 已知，則 。5. 已知關(guān)于的方程無實(shí)根，甲因看錯(cuò)了二次項(xiàng)系數(shù)解的根為2、4；乙因看錯(cuò)了某項(xiàng)的符號解的根為1、4，則的 值是 。6.設(shè)則的結(jié)果是 。7. 方程，各根的和是 。8. 已知、是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為 。9. 設(shè)等腰三角形的一腰與底邊的長分別是方程的兩根，當(dāng)這樣的三解形只有一個(gè)時(shí)，的范圍是 。10. 已知是正整數(shù)，方程，當(dāng)時(shí)，兩根為、；當(dāng)時(shí)，兩根為、；當(dāng)時(shí)，兩根為、，則代數(shù)式的值等于 。二、解答題11. 若三個(gè)整數(shù)、 使得方程的兩個(gè)根為、，

12、求的值。12.已知、是非零實(shí)數(shù)，、是方程的兩根；、是方程的兩根，求的值。13. 已知，且求的值。14. 已知是方程的根，求的值。第三講 一元二次方程根的判別式知識(shí)點(diǎn)、重點(diǎn)、難點(diǎn)例題精講例1：如、為實(shí)數(shù)，證明：方程有兩相異實(shí)數(shù)根。例2：如果x的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，證明：例3：設(shè)a、b、c為正數(shù)，證明：方程和，至少有一個(gè)方程有實(shí)根。例4：已知二次方程有兩個(gè)異號的實(shí)數(shù)根和，且，試判斷二次方程根的情況。例5：解方程組 例6：如圖，ABC中，AB>AC，AD為角平分線，AD的垂直平分線交BC延長線于E，設(shè)CE=a，DE=b，BE=c.求證：二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。習(xí)題 A卷一、填空

13、題1. 方程的判別式是 。2. 關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么的取值范圍是 。3. 當(dāng)不小于時(shí)，方程的根的情況是 。4. 方程一定 實(shí)數(shù)根。5. 已知，當(dāng) ，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。6. 方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則= 。 7. 關(guān)于的方程沒有實(shí)數(shù)根，則的最小值為 。8. 關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根且、是的三條邊，則是 三角形。9. 方程的根的判別式的值是4，則這個(gè)方程的根是 。10. 已知為實(shí)數(shù)且使關(guān)于的二次方程有實(shí)根，則該方程根所能取得的最小值是 。二、解答題11. 證明：當(dāng)取任何值時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。12. 已知、為整數(shù)，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；沒有

14、實(shí)數(shù)根，求、的值。B卷一、填空題1. 已知方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則可以是 。2. 如果關(guān)于的方程沒有實(shí)數(shù)根，那么關(guān)于的方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為 。3. 是 時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。4. 是 時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。5. 已知方程無實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是 。6. 是有理數(shù)，當(dāng) 時(shí)，方程的根為有理數(shù)。7.關(guān)于的一元二次方程的兩根相等，則、的關(guān)系式是 （填“<” “=” 或“>”）。8. 已知方程有實(shí)數(shù)根，則方程的根為 。9. 對于方程，如果方程實(shí)根的個(gè)數(shù)恰為三個(gè)，則 。10. 已知關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且這兩個(gè)根的平方和等于1，那么的值為 。二、解答題11.判別方程的實(shí)根個(gè)

15、數(shù)，這里、是實(shí)數(shù)。12. 若正整數(shù)系數(shù)二次方程有兩個(gè)不相等的有理根、，且；又方程與方程有一個(gè)公共根，試求的另一個(gè)根。C卷一、填空題1. 方程的實(shí)數(shù)解是 。2. 已知實(shí)數(shù)、滿足，則的取值范圍是 。3. 設(shè)為整數(shù)，且，方程有有理根，則的值為 。4. 已知關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，其中為實(shí)數(shù)，則的值為 。5. 已知、是實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值是 。6. 設(shè)且，那么二次方程的實(shí)數(shù)根有 個(gè)。7. 已知對任何實(shí)數(shù)，二次方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則、之間的關(guān)系是 。8. 已知恰好有一個(gè)實(shí)數(shù)滿足方程，則的值為 。9. 已知關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則 ， 。10. 已知，則 （填“<” “=” 或“>

16、”）。二、解答題11. 已知實(shí)數(shù)、滿足求證：、都不大于12. 當(dāng)在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，方程有且只有相異的兩實(shí)數(shù)根？13. 已知三個(gè)關(guān)于的方程和，若其中至少有兩個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的范圍。14. 設(shè)是實(shí)數(shù)，使得關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根（1） 證明：；（2） 求的最小值。第四講 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）知識(shí)點(diǎn)、重點(diǎn)、難點(diǎn)例題精講例1：二次方程的根是正整數(shù)，證明：是合數(shù)。例2：設(shè)關(guān)于的一元二次方程的一根為另一根的倍，試求系數(shù)間的關(guān)系。例3：方程的兩根是（1）求的值；（2） 求作一個(gè)新的一元二次方程，使其兩根分別等于的倒數(shù)的立方。例4：二次方程的兩根為；的兩根為，證明：例5：均是實(shí)數(shù)

17、，且證明：中必有一個(gè)數(shù)大于例6：為正質(zhì)數(shù)，方程有整數(shù)根嗎？習(xí)題A卷一、填空題1. 如果方程的兩個(gè)根是，則 ， 。2. 若方程有兩個(gè)正的實(shí)數(shù)根，則其中系數(shù)應(yīng)滿足的條件是 。3. 關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根是6，另一根是 。4. 已知方程的兩根的絕對值相等，則這個(gè)方程的根是 。5.已知是關(guān)于的方程的兩個(gè)根，且，則的值是 。6. 關(guān)于的方程的兩實(shí)數(shù)根之積是兩實(shí)數(shù)根之和的2倍， 。7. 已知是關(guān)于的二次方程的兩個(gè)根，則的值是 。8. 設(shè)方程的一個(gè)根的3倍少7為另一個(gè)根，則 。9. 已知方程的一個(gè)根是另一個(gè)根的4倍，則所滿足的關(guān)系式是 。10. 設(shè)方程的兩根差為1，則的值為 。二、解答題11. 已知：關(guān)

18、于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根滿足，求的值。12. 設(shè)是方程的兩個(gè)根，利用韋達(dá)定理求下列各式的值：（1）；（2）；（3）B卷一、填空題1. 已知是方程的兩個(gè)根，那么 ， 。2. 已知是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且有，則的取值范圍是 。3. 設(shè)方程的兩根為，則代數(shù)式的值是 。4. 已知方程的根是正整數(shù)，則是 數(shù)。5. 已知，則 。6. 關(guān)于的方程有兩個(gè)正根，則的取值范圍是 。7. 方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且每根都大于5，則的取值范圍是 。8. 已知方程的兩根分別比方程的兩根多2，則為 ，= 。9. 若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)，則 。10. 已知是正整數(shù)，關(guān)于的方程有兩個(gè)小于1的正根，則的值是 ，的值是 。二、

19、解答題11. 當(dāng)為何值時(shí)，方程的兩根滿足：（1） 都為正根；（2）兩根異號，且負(fù)根的絕對值大于正根的絕對值；（3） 兩根都大于1；（4）兩根中一個(gè)大于1，另一個(gè)小于1。12. 已知實(shí)數(shù)滿足，比較的大小關(guān)系。C卷一、填空題1.已知方程的兩根為，那么方程的兩個(gè)根的平方和為 。2. 如果是方程的兩實(shí)數(shù)根，則的最小值是 。3. 已知方程的兩根之差為8，兩根的算術(shù)平均數(shù)是5，則方程的根是 。4. 已知為方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且是負(fù)整數(shù)，則的值是 。5. 已知方程的兩根之和為，兩根平方和為，兩根立方和為，則 。6. 已知方程的根是方程的根，則為 ，為 。7. 已知實(shí)系數(shù)方程有兩實(shí)根，設(shè)，且，則的取值范

20、圍是 。8. 已知且，則 。9. 關(guān)于的整系數(shù)一元二次方程，兩根異號且正根的絕對值小于負(fù)根的絕對值，則 。10. 設(shè)是實(shí)數(shù)且，則的范圍是 。二、解答題 11.關(guān)于的一元二次方程一個(gè)根為另一根的平方，求證：12. 已知方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)之和為，求的取值范圍。13. 已知實(shí)數(shù)滿足求證：中有且只有一個(gè)不小于14. 已知方程的兩根之比為3：4判別式為，解此方程。第五講 一元二次方程的整數(shù)根知識(shí)點(diǎn)、重點(diǎn)、難點(diǎn)例題精講例1：當(dāng)整數(shù)為值時(shí)，關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根均為整數(shù)。例2：已知關(guān)于的方程的根是整數(shù)，求實(shí)數(shù)的值。例3：已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)整數(shù)根，且，求整數(shù)的值，并求此兩個(gè)整數(shù)根。例4：求出

21、所有這樣的正整數(shù)，使得關(guān)于的一元二次方程至少有一個(gè)整數(shù)根。例5：證明：不論取什么整數(shù)，二次方程沒有整數(shù)根。例6：已知整數(shù)是某直角三角形的兩條直角邊長，且滿足二次方程求的值及此直角三角形的三邊長。習(xí)題A卷1. （填：“有”或“沒有”）有理根。2. 關(guān)于的方程至少有一個(gè)整數(shù)根，則整數(shù)可取值的個(gè)數(shù)是 個(gè)。3. 已知為正整數(shù)，方程有一個(gè)整數(shù)根，則 。4. 滿足的整數(shù)對共有 對。5. 關(guān)于的方程有兩個(gè)整數(shù)根，則整數(shù)的值是 。6. 關(guān)于的方程有兩個(gè)整數(shù)根，則實(shí)數(shù)的值是 。7. 若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)正整數(shù)根，則的值是 ，方程的解是 。8. 設(shè)為質(zhì)數(shù)，且方程兩個(gè)根都是整數(shù)，則的值為 。9. 方程的正整數(shù)

22、解的組數(shù)是 。10. 求使關(guān)于的二次方程的兩根都是整數(shù)的所有正數(shù)的和是 。二、解答題11. 已知方程有兩個(gè)整數(shù)根，求證：（1）兩個(gè)根中，一個(gè)是奇數(shù)而另一個(gè)是偶數(shù)；（2）是負(fù)的偶數(shù)。12. 若關(guān)于的二次方程有實(shí)根，且都是奇數(shù)，求證：此方程必有兩個(gè)無理根。B卷一、填空題1. 關(guān)于的方程至少有一個(gè)整數(shù)根，則整數(shù)的值為 。2. 要使方程的根都是整數(shù)，的值應(yīng)等于 。3. 關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的整數(shù)根，則整數(shù)的值為 。4. 關(guān)于的方程至少有一個(gè)正整數(shù)根，正整數(shù)的值為 。5. 若都是正整數(shù)，方程的兩根都為質(zhì)數(shù)，則 。6. 設(shè)為正整數(shù)，且，若方程的兩根均為整數(shù)，則 。7. 關(guān)于的方程 與 若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根

23、的平方和等于方程的一個(gè)整數(shù)根，則 。8. 是正整數(shù)，且滿足，則的最大值是 。9. 如設(shè)，其中為正整數(shù)，在0、1之間，則的值是 。10. 關(guān)于的一元二次方程與方程的根都是整數(shù)，則的值為 。二、解答題11. 已知為整數(shù)，求證：關(guān)于的方程無整數(shù)根。 12. 已知關(guān)于的方程的兩個(gè)根都是正整數(shù)，求證：是合數(shù)。13. 一直角三角形的兩直角邊長均為整數(shù)，且滿足方程，試求的值及此直角三角形的三邊長。14. 是否存在這樣的二位質(zhì)數(shù)，它的十位數(shù)碼為，個(gè)位數(shù)碼為，而、使方程有整數(shù)根？若不存在，給出證明；若存在，請求出所有這樣的質(zhì)數(shù)。C卷一、填空題1. 關(guān)于的方程的兩根都是整數(shù)，則實(shí)數(shù)可以等于 。2. 關(guān)于的方程對于

24、任意有理數(shù)，均有有理根，則實(shí)數(shù)的值為 。3. 關(guān)于的方程至少有一個(gè)整數(shù)根，則整數(shù)可以是 。4. 若為整數(shù)，且關(guān)于的二次方程有兩個(gè)整數(shù)根，則的值為 。5. 設(shè)為整數(shù)，且方程的兩個(gè)不同的正整數(shù)根都小于1，則的最小值為 。6. 當(dāng)有理數(shù)為 時(shí)，代數(shù)式的值恰為兩個(gè)連續(xù)正偶數(shù)的乘積。7. 已知一元二次方程有兩個(gè)正整數(shù)根，且為整數(shù)，則的值為 。8. 已知為正整數(shù)，關(guān)于的一元二次方程的兩根為質(zhì)數(shù)，則此方程的根為 。9. 若都是整數(shù)，則方程 （填“有”或“沒有”）整數(shù)根。10. 如圖，正方形內(nèi)接于，設(shè)（是一個(gè)兩位數(shù)），三角形高已知是從小到大的四個(gè)連續(xù)正整數(shù)，則此的面積為 。二、解答題11. 是否存在這樣的質(zhì)數(shù)

25、，使 方程有有理根？若不存在，給出證明；若存在，請求出所有這樣的的值。12. 關(guān)于的二次方程的兩根都是整數(shù)，求實(shí)數(shù)的值。13. 求所有的正整數(shù)，使得關(guān)于的方程的所有根均為正整數(shù)。14.已知關(guān)于的方程有兩個(gè)正整數(shù)根（是整數(shù)），的三邊滿足求：（1） 的值；（2） 的面積。第六講 可化為一元二次方程的分式方程和根式方程知識(shí)點(diǎn)、重點(diǎn)、難點(diǎn)例題精講例1：解方程例2：解方程例3：解方程例4：解方程例5：解方程例6：解方程A卷1. 如果那么 。2. 方程的解是 。3. 方程的解是 。4. 方程的解是 。5. 方程的解是 。6. 方程的解是 。7. 方程的解是 。8. 方程的解是 。9. 方程的解是 。10.

26、 如果關(guān)于的方程的解是正數(shù)，則的取值范圍是 。二、解答題11. 解方程12. 解方程B卷一、填空題1. 方程 的解是 。2. 方程的解是 。3. 方程的解是 。4. 方程的解是 。5. 方程的解是 。6. 方程的所有解的乘積等于 。7. 方程的一個(gè)根是5，則另一個(gè)根是 。8. 方程的解是 。9. 方程的解是 。10. 方程只有一個(gè)根，則的值為 。二、解答題11. 解方程12. 解方程C卷一、填空題1. 方程的所有根之積是 。2. 方程的解是 。3. 若是實(shí)數(shù)，則方程的解為 。4. 若方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 。5. 方程的解是 。6. 方程的解是 。7. 已知關(guān)于的方程有一個(gè)

27、增根，則該方程的根 ， 。8. 方程的解是 。9. 設(shè)實(shí)數(shù)滿足，則 ， ， 。10. 方程的解是 。二、解答題11. 解方程12. 解方程13. 若代數(shù)式的值是1，求的值。14.若關(guān)于的方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求的值和相對應(yīng)的原方程的根。第七講 可化為一元二次方程的方程組知識(shí)點(diǎn)、重點(diǎn)、難點(diǎn)例題精講例1：解方程組例2：解方程組 例3：解方程組 例4：解方程組例5：解方程組 例6：解方程組習(xí)題A卷一、填空題1. 方程組的解得則與的關(guān)系是 。 ，2. 方程組的解是 的解是 。 ，3. 方程組 的解是 。 ，4. 方程組 的解是 ， 。 ，5. 方程組 的解是 。 ，6. 方程組 的解是 。7某人用一架不

28、等臂天平稱一塊鐵塊的質(zhì)量，當(dāng)把鐵塊放在天平左盤時(shí)，稱得它的質(zhì)量為0.4千克；當(dāng)把鐵塊放在天平右盤時(shí)，稱得它的質(zhì)量為0.9千克，那么這一鐵塊的實(shí)際質(zhì)量是 千克。8若方程組的解是正數(shù)，則正整數(shù) 。 ，9. 方程組 的解是 。 ，4. 方程組 的解是 ， 。二、解答題 11. 解方程組12. 已知實(shí)數(shù)滿足 那么的取值范圍是什么？B卷一、填空題 ，1. 方程組 的解是 。 ，2. 方程組 的解是 。 ，3. 方程組 的解是 。4. 已知關(guān)于的方程組則代數(shù)式 。5. 已知，且，則 。6. 已知，則 。 ，7. 方程組 的解是 ， 。 ， 8. 方程組 的解是 。 ， 9. 方程組 的解是 。 ，10.

29、方程組 的解是 ， 。二、解答題11. 已知方程組當(dāng)為何值時(shí)，方程組只有一組解？12. 解方程組C卷一、填空題1. 關(guān)于的方程組的解為則關(guān)于的方程組 ， 的解是 。 2.當(dāng) 時(shí)，方程組有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)解。 ，3. 方程組 的解是 ， 。 ，4. 方程組 的解是 ， 。5. 若，則 。6. 已知是正整數(shù)，則 。7. 若，則 。 ，8. 方程組 的解是 ， 。9. 某工程可由若干臺(tái)機(jī)器在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)完成，如果增加2臺(tái)機(jī)器，則用規(guī)定時(shí)間的就可以完成；如果減少2臺(tái)機(jī)器，那么就要推遲小時(shí)完成如果用一臺(tái)機(jī)器完成這件工程需 小時(shí)。 10. 實(shí)數(shù)滿足 則 的值是 。二、解答題11. 解方程組 12. 解方程組

30、 13. 某校參加初一“迎春杯”競賽的甲、乙兩班學(xué)生共a人，其中甲班平均分為70分，乙班平均分為60分該?？偡譃?40分，問甲、乙兩班參賽各多少人？ 14. 實(shí)數(shù)滿足 其中是常數(shù)，且，則的大小順序是如何排列的？第九講 二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)、重點(diǎn)、難點(diǎn) 函數(shù) (a、b、c為常數(shù)并且a0)稱為二次函數(shù)，其圖像稱為拋物線，拋物線是軸對稱圖形。1.二次函數(shù)的形式（1）一般式：（a0）；（2）頂點(diǎn)式：（a0）；（3）交點(diǎn)式：，（a0，、是方程的兩根）。2.二次函數(shù)的性質(zhì)（a0）的對稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為當(dāng)時(shí)，在范圍內(nèi)，單調(diào)遞減，在范圍內(nèi)單調(diào)遞增。當(dāng)，有最小值， 當(dāng)時(shí)，在范圍內(nèi)，單調(diào)遞減，在范圍內(nèi)單調(diào)遞減，當(dāng)，有最

31、大值，3.二次函數(shù)與二次方程關(guān)系（a0） （a0） 圖像與x軸有二個(gè)交點(diǎn)； 方程有兩個(gè)不同根； 0；圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)； 方程有兩個(gè)相同根； 0；圖像與x軸沒有交點(diǎn) 方程沒有實(shí)數(shù)根 0.例題精講例1：已知拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，如果一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于2，另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)小于2，并且拋物線與y軸交點(diǎn)在，的下方，那么m的取值范圍是什么？解：設(shè)拋物線與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為、，那么，那么把、代入不等式得2m12(4m1)40，解得因拋物線與y軸交點(diǎn)在的下方，故，解得因?yàn)?，所以m為一切實(shí)數(shù)。所以m的取值范圍是例2：二次函數(shù)的大致圖像如圖所示。（1）確定a、b、c和的符號。（2）如果，求證： 解：拋物

32、線開口向上，則a>0；對稱軸在y軸右邊，則，故b0；拋物線與y軸交點(diǎn)在x軸下方，則c訊拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則=0. 因拋物線與y軸交于C點(diǎn)，即C(0，c)又因?yàn)镺A=OC，故A(c，0).將A點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式得，根據(jù)圖像得c0，則acb1=0.例3：關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，一個(gè)大于1，另一個(gè)小于1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解：設(shè).如圖，顯然此二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)分別在直線x=1的兩側(cè)，即1僅需(a1)0，得a的取值范圍是.例4：討論方 (m為實(shí)數(shù))的解的個(gè)數(shù)與m的關(guān)系。解：討論方程的解的個(gè)數(shù)與m的關(guān)系，實(shí)質(zhì)上就是討論與y=m1的圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題。 如圖所示，畫出其圖像。 當(dāng)m10

33、時(shí)，即m1，原方程無解； 當(dāng)m1=0或m19時(shí)，即m=1或m10時(shí)，原方程有兩個(gè)解； 當(dāng)m1=9時(shí)，即m=10時(shí)，原方程有三個(gè)解；當(dāng)0m19，即1m10時(shí)，原方程有四個(gè)解。例5：已知，求f(x)解：設(shè)，則，代入原式得所以. 另一種解法：設(shè)x=m1，所以.例6：已知對一切實(shí)數(shù)k二次函數(shù)都過一定點(diǎn)，求此定點(diǎn)坐標(biāo)。解：整理得，因?yàn)閷σ磺袑?shí)數(shù)k該式均成立，僅需解得所以二次函數(shù)圖像過定點(diǎn)（4，33）習(xí)題A卷一、填空題1.如果點(diǎn)M(a，7)在函數(shù)的圖像上，則a= 2.直線y=kx與拋物線有公共點(diǎn)，則k的取值范圍是 3.將函數(shù)的圖像繞y軸翻轉(zhuǎn)180°，再繞x軸轉(zhuǎn)180°，所得的函數(shù)圖像對

34、應(yīng)的解析式為 4.若拋物線的圖像全在x軸的上方，則a的取值范圍是 5.設(shè)拋物線的圖像與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則 a的值為 6.已知二次函數(shù)的圖像與x軸交于A、B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C.若ABC的面積為，則m= 7.將拋物線向 平移 個(gè)單位，再向 平移 個(gè)單位，就可以通過點(diǎn)(0，0)及(1，6).8.設(shè)t是實(shí)數(shù)，二次函數(shù)的最小值是 ，最大值是 9.已知、是拋物線上關(guān)于對稱軸對稱的兩個(gè)點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，y的值為 10.如圖，拋物線的對稱軸是x=2，與x軸的交點(diǎn)分別位于區(qū)間（1，0）及（4，6）內(nèi)，a0，則5b與4c的關(guān)系為 二、解答題11.已知函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是比1小的正數(shù)，求m的取值范圍。12.已

35、知二次函數(shù)的圖像與y軸交于Q(0，1)，與x軸交于M、N兩點(diǎn)，M、N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的平方和為6，圖像的頂點(diǎn)P在x軸上方，且=1：2，求此二次函數(shù)的解析式。B卷一、填空題1.拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)及其頂點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，則k的值的個(gè)數(shù)為 .2.設(shè)二次函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)為A，與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為B和C，則三角形ABC的面積的最小值為 .3.二次函數(shù)的圖像通過A(1，0)和B(5，0)兩點(diǎn)，但不通過直線y=2x上方的點(diǎn)，則其頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值與最小值的乘積為 .4.已知二次函數(shù)的圖像是由的圖像經(jīng)過平移而得到。若圖像與x軸交于A、C(1，0)兩點(diǎn)，與y軸交于D，頂點(diǎn)為B，則四邊形ABCD的面積為 .5.若

36、函數(shù)的最小值為3，則a的值為 .6.函數(shù)y=x(x1)(x2) (x3)的最小值為 .7.設(shè)有二次函數(shù)，當(dāng)x=3時(shí)取得最大值10，并且它的圖像在x軸上截得的線段長為4，則a、b、c的值分別為 .8.己知二次函數(shù)的圖像與x軸負(fù)半軸至少有一個(gè)交點(diǎn)，則m的取值范圍是 .9.已知函數(shù)對于任意實(shí)數(shù)x都有y0，且是三角形的內(nèi)角，則的取值范圍是 .10.函數(shù)f(x)對于一切實(shí)數(shù)x滿足f (4x) = f(4x)，若方程f (x)=0恰有四個(gè)不同的實(shí)根，則這些實(shí)根之和為 .二、解答題11.已知二次函數(shù)的圖像和x軸、y軸都只有一個(gè)交點(diǎn)，分別為P、Q，且PQ=，b2ac =0，一次函數(shù)y = xm的圖像過P點(diǎn)，并

37、和二次函數(shù)的圖像交于另一點(diǎn)R，求PQR的面積。12.若的圖像與x軸相交于A、B，與y軸相交于C.設(shè)原點(diǎn)為O，求（1）；(2) ABC的面積。C卷一、填空題1.已知二次函數(shù)的圖像如圖所示，則下列6個(gè)代數(shù)式、abc、abc、abc、2ab、9a4b中，其值為負(fù)的式子有 個(gè)。2.設(shè)二次函數(shù)的圖像與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、，并且，則的取值范圍是 .3.二次函數(shù)的圖像與x軸正半軸交于點(diǎn)A (，0)和B(，0)，與y軸正半軸交于C(0，)，并且 =，=2，則b= .4.已知二次函數(shù)（a為非零常數(shù)），并且至少存在一個(gè)整數(shù)，使0，則a= .5.對所有實(shí)數(shù)x、y，函數(shù)f(x)滿足f(x·y)=f(x

38、)·f(y)，并且f(0)0，則f(1999) .6.對于二次函數(shù)，當(dāng)x取值時(shí)，此函數(shù)的最大值為，則t的取值范圍是 .7.若，二次函數(shù).若關(guān)于x的二次方程有兩個(gè)大于2的不等實(shí)根，則的值與零的大小關(guān)系為 .8.若函數(shù)，則 .9.若的值為正，則m的取值范圍是 .10.已知函數(shù)的最大值為9，最小值為1，則a= ，b= .二、解答題11.若拋物線的頂點(diǎn)在直線上移動(dòng)，且拋物線與拋物線有公共點(diǎn)，求m的變化范圍12.已知a、b、c均為整數(shù)，且拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A、B.若A、B到原點(diǎn)的距離都小于1，求的最小值.13.設(shè)，證明：中至少有一個(gè)數(shù)不小于.14.已知二次函數(shù)，其中a、b、c為鈍角三

39、角形的三邊，且b為最大邊。（1）求證：此二次函數(shù)與x軸正半軸必有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）當(dāng)a=c時(shí)，求兩交點(diǎn)間距離的取值范圍。九、函數(shù)綜合問題知識(shí)點(diǎn)，重點(diǎn)，難點(diǎn) 函數(shù)的值域：在某個(gè)變化過程中有兩個(gè)變量x、y，如果對于x在某個(gè)范圍內(nèi)的每個(gè)可取值，y都有唯一確定的值與之對應(yīng)，那么y就叫做x的函數(shù)，用符號y= f (x)表示，x叫做自變量，x允許值的全體叫做函數(shù)的定義域，和x對應(yīng)的y的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的全體叫做函數(shù)的值域。函數(shù)的最大值與最小值是指函數(shù)在定義域范圍內(nèi)函數(shù)值能取到的最大和最小的數(shù)值。例題精講例1：已知二次函數(shù).（1）如圖，若f(x)滿足，畫出f(x)圖像的頂點(diǎn)的存在范圍；（2）證明：不是的解解：（1）設(shè)二次函數(shù)頂P(m，k)，則.由已知，所以又由，所以因此把m、k改寫成x、y，頂點(diǎn)坐標(biāo)存在的范圍是下圖的陰影部分（邊界除外）。（2）反證法：假設(shè)是的解，