第11講-一般索羅模型

1、The McGraw-Hill Companies, 2005第11講技術(shù)進步和增長：一般的索羅模型 宏觀經(jīng)濟學(xué)The McGraw-Hill Companies, 2005一般的索羅模型 回到封閉經(jīng)濟. 在基本的索羅模型中: 在穩(wěn)態(tài)，人均 GDP 沒有增長. 這和西方世界的現(xiàn)實相違背. 在一般的索羅模型中: 全要素生產(chǎn)率, , 假定以固定的、外生速率增長 (唯一的變化). 這意味著存在平衡增長的穩(wěn)態(tài)，同時人均 GDP 以一個正的常數(shù)增長率增長。 在這個模型中，人均 GDP 長期增長的源泉是外生外生 技術(shù)進步. 不是很深刻，但是: 在穩(wěn)態(tài)時候產(chǎn)生平衡增長平衡增長，并不是一個顯然的結(jié)果, 因為模

2、型符合了實證規(guī)律，所以保證了應(yīng)用. 我們的關(guān)注點仍然是:什么創(chuàng)造了經(jīng)濟進步和繁榮什么創(chuàng)造了經(jīng)濟進步和繁榮tBThe McGraw-Hill Companies, 2005索羅模型的微觀世界 和基本索羅模型的微觀世界相同, 例如: 同樣的對象對象 (一個封閉經(jīng)濟). 同樣的商品商品和市場市場. 同樣, 市場是競爭的，實際價格分別為1, 和 . 只有一種產(chǎn)出 (單部門模型). 同樣的參與人參與人: 消費者和廠商 (還有政府), 其微觀行為也是一樣的: 一個利潤最大化的代表性企業(yè)決定 和 ，給定 和 . 一點差別: 生產(chǎn)函數(shù)生產(chǎn)函數(shù). 現(xiàn)在存在技術(shù)進步的可能性: 序列 是外生的，對于所有的 ，都有

3、. 特使情況是 (基本索羅模型).trtwtrtwdtLdtK101ttttYB K L,.tB0tB ttBBThe McGraw-Hill Companies, 2005具有技術(shù)進步的生產(chǎn)函數(shù) 給定技術(shù)進步的序列, 伴隨著給定的序列, 在柯布道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)中，我們將技術(shù)進步描述為一個序列， ，代表TFP 或者是對應(yīng)的序列, , 代表勞動調(diào)整的生產(chǎn)率是沒有差別的. 在我們的例子中，后者更方便. 外生序列, , 如下所示: 技術(shù)進步來自 ”天上掉餡餅” (不需要生產(chǎn)投入).tB1ttttYB K L11/tttA , AB.1ttttYKALtBtAtA111ttAg A , g 011tt

4、AgA , g The McGraw-Hill Companies, 2005 回憶定義: 和 . 兩邊同時除以 得到人均生產(chǎn)函數(shù): 這意味著: 的增長來自于兩個源泉， 是 和 的加權(quán)平均值，權(quán)重為 和 。 如果, 類似于平衡增長, 是常數(shù), 那么 !tttyY / LtttkK / LtL1ttttYKAL1tttyk A. 111lnlnlnln1lnlnttttttyykkAA11ykAkttttggggg.tyytgktgg1ttk / yytggThe McGraw-Hill Companies, 2005完整索羅模型 參數(shù): . 令 . 狀態(tài)變量: 和 . 完整模型? 是的, 給定

5、 和 模型決定了序列： 101ttLn L , L給定1ttttYKAL111tttttttKrKALAL111ttttttttKwK LAAALttSsY10ttttKKSK , K給定101ttAg A , A給定,s, ,n,g0g ttK ,LtA00K ,L0A tttttttK, L , A , Y , r , w , S .The McGraw-Hill Companies, 2005 注意注意: 也就是: 資本份額 , 勞動份額 , 凈利潤 . 我們的 就應(yīng)該大約還是 . 另外另外: 定義 ”有效勞動投入” 為 :這個模型在數(shù)學(xué)上等價于基本索羅模型，其中 代替了 , 同時， 代

6、替了 , 此時 !我們可以在理論上完全采用基本索羅模型的分析, 但是我們不會1ttttttrKKALY111ttttttw LKALY .1 01 3/=tttLAL%1= 111tttLng Ln L ,%tLtL nn 1B The McGraw-Hill Companies, 2005分析一般索羅模型 如果如果 如果模型意味著收斂到平衡增長的穩(wěn)態(tài),那么 在穩(wěn)態(tài)，變量 和 的增長率必須相同 (再次回憶 在平衡增長時是常數(shù)). 回憶: 因此，如果 , 那么 . 如果如果 存在向平衡增長穩(wěn)態(tài)的收斂, 那么那么 在穩(wěn)態(tài) 和 增長率相同，為 ，因此 和 將是常數(shù). 進一步進一步: 從上述提到的與基

7、本索羅模型的等價性, 和 收斂到常數(shù)穩(wěn)態(tài)值. 上面的每一個觀察都提示如何分析這個模型，可以根據(jù):tkty1ykAtttggg .ykttggtktytA ,ttk / Atty / A=tttttttK / LK / ALk / A%=tttttttY / LY / ALy / A%ttk / yykAtttgggThe McGraw-Hill Companies, 2005 和 從 我們得到從 和 我們得到 兩邊除以 得到代入 得到 轉(zhuǎn)移方程轉(zhuǎn)移方程:兩邊減去 ，得到索羅方程索羅方程:=ttttttkKkAAL%1ttttYKAL=ttyk .%=ttttttyYy.AAL%ttSsY1tt

8、ttKKSK11tttKsYK1111ttttA Lgn AL11=111tttksyk.ng%11=111tttkskk .ng%=ttyk%tk 11=11ttttkkskngng k .ng%The McGraw-Hill Companies, 2005收斂向穩(wěn)態(tài):轉(zhuǎn)移圖 轉(zhuǎn)移方程是: 這是遞增的，通過 (0,0). 在任意一個 的斜率為: 可以看到: . 進而, . 我們假設(shè)后面這個穩(wěn)定條件穩(wěn)定條件可以滿足.11111tttkskk.ng%tk%11111ttts kdk.ngdk%1lim1+0tttkdk/ dkngng %10lim=tttkdk/ dk%The McGraw-H

9、ill Companies, 2005 轉(zhuǎn)移方程如圖所示:The McGraw-Hill Companies, 2005 向點 的收斂如圖所示. 相應(yīng)地: .一些初步的結(jié)論: 在長期中, 和 收斂到常數(shù),分別是 和 . 這些水平值定義了穩(wěn)態(tài). 在穩(wěn)態(tài), 和 共同的增長率為 , 也就是, 速率為 ，同時資本產(chǎn)出比 一定是常數(shù).*k *tyyk tttkk / A tttyy / A tkty*k *y tAgttttK / Yk / ytk The McGraw-Hill Companies, 2005穩(wěn)態(tài) 索羅方程伴隨著 得到: 利用 和 我們得到穩(wěn)態(tài)增長路徑:11=11ttttkkskngn

10、g kng%1=*ttkkk%11=*skngng%1=*sy.ngng%tttkk / A%tttyy / A%11*ttskA,ngng1*ttsyA.ngngThe McGraw-Hill Companies, 2005 因為 , 利用得到 在穩(wěn)態(tài)存在平衡增長在穩(wěn)態(tài)存在平衡增長: 和 以常數(shù)增長率增長, , 此時， 是常數(shù). 在穩(wěn)態(tài)，人均在穩(wěn)態(tài)，人均 GDP 存在正增長存在正增長 (如果 ). 11*ttscAs.ngng1ttcs y 1=ttrk%和11*ttswA.ngng1*srngng和 1tttwA k=%ttk ,ytwtrg0g The McGraw-Hill Compa

11、nies, 2005穩(wěn)態(tài)的結(jié)構(gòu)政策 穩(wěn)態(tài)的人均產(chǎn)出和消費為: 黃金規(guī)則: , 最大化路徑, . 再次為: . 對于 和 的彈性再次分別是 和 . 穩(wěn)態(tài)的政策含義與基本索羅模型一樣: 鼓勵儲蓄和控制人口增長. 不過不過 我們有一個新參數(shù), ( 對應(yīng)著 ). 我們想要大的 , 但是在我們的模型中難以推導(dǎo)政策技術(shù)進步的政策含義 ( 是外生的).101t*tsyAgngng和 1011t*tscAgs.ngngs*tc*s*tysng1/a1/ag0ABggThe McGraw-Hill Companies, 2005穩(wěn)態(tài)的實證 假設(shè)所有國家在 2000 處于穩(wěn)態(tài)! 很難獲得 的高質(zhì)量數(shù)據(jù), 為了簡單

12、，假設(shè) 對于2000年所有國家都是相同的. 設(shè)定(合理地) 如果 是國家i在2000年的人均 GDP, 上面的理論方程提示了下面的回歸方程:其中 和 利用1960-2000的平均值， 此時 1*ttsyAngnglnlnlnln1*ttyAsngng.00iy0001lnlnln0 075iiiysn.,isintAtA11/.0 075g.The McGraw-Hill Companies, 2005An OLS estimation across 86 countries gives:2000 14ln8 8121 47lnln0 075adj.0 55iiise.y.sn.,R.The

13、McGraw-Hill Companies, 2005 很高的顯著度! 巨大的 R2! 即使我們假設(shè) 在所有國家都是相同的! 但是永遠記住 相關(guān)相關(guān)vs. 因果因果. 進一步: 的估計值不符合理論值 . 或者: 結(jié)論并不清晰: 回歸曲線令人印象深刻, 但是比模型建議的更陡峭.00A1 2/1 470 601.The McGraw-Hill Companies, 2005接下來 索羅圖的比較分析. 收斂過程. 增長核算.The McGraw-Hill Companies, 2005索羅圖1111ttttkkskngng k.ngThe McGraw-Hill Companies, 2005修正索

14、羅圖 11111ttttkkskngng.ngk ktk - k1 0skt+1k*k0(1+n) (1+g) k0n+g+ +ng The McGraw-Hill Companies, 2005索羅圖的比較分析 最初經(jīng)濟位于穩(wěn)態(tài)，參數(shù)值為 和 . 儲蓄率永久性增加，從 到 . ,s, ,ngsssThe McGraw-Hill Companies, 2005The McGraw-Hill Companies, 2005 舊穩(wěn)態(tài)舊穩(wěn)態(tài): 和 , 同時 和 的增長率都是 , 下面的一條線: 新穩(wěn)態(tài)新穩(wěn)態(tài): 和 , 同時 和 的增長率都是 , 但是沿著一條更高的增長路徑, 上面的那條線.*tttk

15、k / Ak *tttyy / Ay g*tkkk *tyyy tktytktygThe McGraw-Hill Companies, 2005 轉(zhuǎn)移轉(zhuǎn)移: 從 增長到 . 增長率跳躍，然后逐漸回歸到零. 根據(jù) 得到 . 因此, 在轉(zhuǎn)移中, 的增長率大于 , 同時 向上跳躍，然后逐漸回歸到 . 增長率 也跳躍, 因為 . tttkk / A *k *k tk tttkAk kkAtttggg tkgktggty1ykAtttgggThe McGraw-Hill Companies, 2005索羅模型中的收斂修正的索羅圖:這符合 條件收斂條件收斂: 兩個國家有相同的參數(shù) 0,s, ,n,g,Ak

16、tk - k1 0skt+1k*k0(1+n) (1+g) k0n+g+ +ng The McGraw-Hill Companies, 2005收斂過程的實證 模型對于收斂過程告訴了我們什么 , 即， 一個國家的增長如何依賴結(jié)構(gòu)參數(shù)和最初的位置? 利用轉(zhuǎn)移方程,我們推導(dǎo)出來增長率 的公式. 為了做到這點，我們在 穩(wěn)態(tài)穩(wěn)態(tài)附近線性化。附近線性化。 將 對于 微分，代入穩(wěn)態(tài)點很容易看到 . 11111ttttkskkG k,ng tG k tk 1111*G kngng.ng ty01*G k The McGraw-Hill Companies, 2005 數(shù)學(xué)注釋: 考慮一個可微函數(shù), 通過點

17、, 因此 . 那么: 如果進一步, 那么: 將(1)運用于 ，在 ，得到 這是索羅模型動態(tài)過程的近似, 同時這是一個線性方程! 線性差分方程意味著 的穩(wěn)定性，因為 . yf x ,x,y yf x yyf xxx . yf xx (1)yxf xxx . 1ttkG k*kG k1*ttkkG kkk.01*G k *k The McGraw-Hill Companies, 2005 再次利用 , 此時對于 : 利用這個方程重寫 : 利用如下形式 我們有 : 收斂性質(zhì)收斂性質(zhì): 在每一期, 剩余缺口的常數(shù)比例 得到彌補. 收斂速度為 f xf xf xxxlntk 1lnlnlnln*tttt

18、*kkkkkkkkk.k 1*ttkkG kkk 1lnlnlnln*ttkkG kkk.ttyk 1lnlnlnln*ttyyG yyy 1lnln1lnlnlnln*ttttyyG yyyyy . 1101*G yng,. lnlnttyk The McGraw-Hill Companies, 2005 我們現(xiàn)在推導(dǎo)這個差分方程的解: 特征多項式是 特征根是 . 齊次方程的通解是: . 非其次方程的一個特解是: , 意味著完整的解形式為: 對于常數(shù) 滿足初始條件: . 因此解為: 11lnlnlnlnln1lnln*tttttyyyyyyy . 1Q xx1x ln1ttyC lnln*t

19、yylnln1t*tyyC. 0lnln*CyyC0lnlnlnln1t*tyyyy0ln11ln1lntt*tyyy . The McGraw-Hill Companies, 2005 利用這個解，對于 . 得到: 將 代入 和 的表達式，獲得收斂方程收斂方程: 重寫一下:tT0ln11ln1lnTT*Tyyy 00lnln11lnlnT*Tyyyy 000011lnlnlnlnlnlnlnT*TTyyAAAyyTTT 0lnlnTAA/ T*y 00011lnlnlnlnlnln1TTyygAsngngyTT0001111lnlnlnln11lnln1TTTTyygAyTTTsngngTg

20、The McGraw-Hill Companies, 2005 假設(shè) 和 在所有國家都很小, 這意味著如下回歸方程: 1960-2000年90個國家的OLS估計為: 對 畫圖得到 g0A00102121lnlnln0 07511and 1iiiiT ,Tgysn.,T200 60600 0130 00150 00250 0630 006 ln0 020 lnln0 075adj.0 40iiii,se.se.se.g.y.sn.,R.00 600 00250 020 lnln0 075iii,se.g.sn.60lniyThe McGraw-Hill Companies, 2005The McGraw-Hill Companies, 2005好的方面: 顯著的參數(shù), 相對高的 R2 等. 這沒有和所有國家具有相同的 和 有本質(zhì)矛盾. 但是:我們有兩個估計的收斂速度:理論: 實證:結(jié)合 的估計值 和 ，意味著 模型嚴重高估了收斂速度模型嚴重高估了收斂速度!1. 與實證對比, 索羅模型相當(dāng)不錯, 這適用于其穩(wěn)態(tài)和收斂方面的預(yù)測. 不過, 在所有方面都存在著實證數(shù)量方面的問題. 可以做得更好, 不過已經(jīng)是一個不