流體力學(xué)課件-ch2

1、流體力學(xué)主講：孟祥鎧 第二章第二章 流體靜力學(xué)流體靜力學(xué)引言引言平衡（靜止）平衡（靜止）絕對(duì)平衡絕對(duì)平衡 流體整體對(duì)于地球無(wú)相流體整體對(duì)于地球無(wú)相對(duì)運(yùn)動(dòng)。對(duì)運(yùn)動(dòng)。 相對(duì)平衡相對(duì)平衡 流體整體對(duì)于地球有相流體整體對(duì)于地球有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，但流體質(zhì)點(diǎn)間無(wú)相對(duì)運(yùn)動(dòng)。對(duì)運(yùn)動(dòng)，但流體質(zhì)點(diǎn)間無(wú)相對(duì)運(yùn)動(dòng)。平衡流體內(nèi)不顯示粘性，所以不存在切應(yīng)力平衡流體內(nèi)不顯示粘性，所以不存在切應(yīng)力 。式中，式中， 單位質(zhì)量力（數(shù)值等于流體加速度）。單位質(zhì)量力（數(shù)值等于流體加速度）。2-1 平衡流體的作用力平衡流體的作用力一、質(zhì)量力一、質(zhì)量力質(zhì)量力質(zhì)量力 與流體的質(zhì)量有關(guān)，作用在某一體積與流體的質(zhì)量有關(guān)，作用在某一體積 流體的流體的

2、所有質(zhì)點(diǎn)上的力。（如重力、慣性力）所有質(zhì)點(diǎn)上的力。（如重力、慣性力）makfjfifmamFzyxmm fx 、fy、fz 單位質(zhì)量力在直角坐標(biāo)系中單位質(zhì)量力在直角坐標(biāo)系中 x、y、z 軸上的軸上的投影。投影。 單位質(zhì)量力單位質(zhì)量力 單位質(zhì)量流體所受到的質(zhì)量力。單位質(zhì)量流體所受到的質(zhì)量力。對(duì)應(yīng)的微分形式為對(duì)應(yīng)的微分形式為kfjfifmamFzyxmm 2-1 平衡流體的作用力平衡流體的作用力二、表面力二、表面力 取出圖中的流體微團(tuán)作為分離取出圖中的流體微團(tuán)作為分離體時(shí)，須將周圍流體或固體對(duì)它的體時(shí)，須將周圍流體或固體對(duì)它的作用以力的形式加于分離體微團(tuán)表作用以力的形式加于分離體微團(tuán)表面上，才能維

3、持微團(tuán)原來(lái)的平衡狀面上，才能維持微團(tuán)原來(lái)的平衡狀態(tài)。態(tài)。2-1 平衡流體的作用力平衡流體的作用力表面力表面力 由于由于 V 流體與四周包流體與四周包圍它的物體相接觸而產(chǎn)生，分布作圍它的物體相接觸而產(chǎn)生，分布作用在該體積流體的表面。用在該體積流體的表面。沿表面沿表面內(nèi)法線內(nèi)法線方向的壓力方向的壓力沿表面切向的摩擦力沿表面切向的摩擦力 流體幾乎不能承受拉力流體幾乎不能承受拉力。 在靜止流體內(nèi)部，切應(yīng)力為零。在靜止流體內(nèi)部，切應(yīng)力為零。 只有沿作用面內(nèi)法線方向的應(yīng)只有沿作用面內(nèi)法線方向的應(yīng)力，即壓強(qiáng)。力，即壓強(qiáng)。 在流體微團(tuán)上取微元面積在流體微團(tuán)上取微元面積 ，作用在作用在 表面上的總壓力大小為表面

4、上的總壓力大小為 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，流體微團(tuán)極限成為時(shí)，流體微團(tuán)極限成為某一個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)某一個(gè)坐標(biāo)點(diǎn) 上的流體質(zhì)點(diǎn)，上的流體質(zhì)點(diǎn)，則平均流體靜壓強(qiáng)的極限則平均流體靜壓強(qiáng)的極限 2-1 平衡流體的作用力平衡流體的作用力流體靜壓力的流體靜壓力的表達(dá)式表達(dá)式：AAF( , , )x y z0A 0limAFdFpAdA 稱為一點(diǎn)的流體靜壓強(qiáng)稱為一點(diǎn)的流體靜壓強(qiáng) 作用在某個(gè)有限表面作用在某個(gè)有限表面A上的流體靜壓力矢量為上的流體靜壓力矢量為AFpdAn 2-1 平衡流體的作用力平衡流體的作用力三、流體靜壓強(qiáng)的重要特性三、流體靜壓強(qiáng)的重要特性1、流體靜壓強(qiáng)的方向總是沿著作用面的內(nèi)法線方向。、流體靜壓強(qiáng)的方向總是沿著

5、作用面的內(nèi)法線方向。2、平衡流體內(nèi)任一點(diǎn)處的靜壓強(qiáng)的數(shù)值與其作用面的方、平衡流體內(nèi)任一點(diǎn)處的靜壓強(qiáng)的數(shù)值與其作用面的方向無(wú)關(guān)，它只是該點(diǎn)空間坐標(biāo)的函數(shù)。向無(wú)關(guān)，它只是該點(diǎn)空間坐標(biāo)的函數(shù)。證明證明：在平衡流體中取出一微：在平衡流體中取出一微小四面體小四面體ABOC，考察其在外，考察其在外力作用下的平衡條件。力作用下的平衡條件。yxCzpzpxpypnBADdzdydx2-1 平衡流體的作用力平衡流體的作用力三、流體靜壓強(qiáng)的重要特性三、流體靜壓強(qiáng)的重要特性 表面力表面力 ABC 斜面面積斜面面積dydzpFxx21dxdzpFyy21dxdypFzz21ABCpFnn 質(zhì)量力質(zhì)量力若若dxdydz

6、V61dxdydzm62-1 平衡流體的作用力平衡流體的作用力則：則：質(zhì)量力在三個(gè)坐標(biāo)質(zhì)量力在三個(gè)坐標(biāo)方向上的投影方向上的投影xmxfdxdydzF6zmzfdxdydzF6ymyfdxdydzF6 x方向上的力平衡方向上的力平衡方程式方程式 Fx= 0 px1/2dydz pn ABCcos(n,x) + 1/6dxdydz fx = 02-1 平衡流體的作用力平衡流體的作用力因因 ABCcos(n,x) = 1/2dydz ( ABC在在yoz平面上的投影平面上的投影) 則：則： 1/2dydz ( px pn ) + /6dxdydz fx = 0 略去三階微量略去三階微量 dxdydz

7、，可得：可得： px = pn同理：同理： 在在 y 方向上有方向上有 py = pn 在在 z 方向上有方向上有 pz = pn2-1 平衡流體的作用力平衡流體的作用力則有：則有： px = py = pz = pn即：平衡流體中某點(diǎn)處所受的靜壓強(qiáng)是即：平衡流體中某點(diǎn)處所受的靜壓強(qiáng)是各向同性各向同性的。的。 靜壓強(qiáng)是標(biāo)量，其大小由該點(diǎn)所處的空間位置決定。靜壓強(qiáng)是標(biāo)量，其大小由該點(diǎn)所處的空間位置決定。 p = p ( x、y、z )2-2 流體平衡的微分方程式流體平衡的微分方程式一、歐拉平衡方程式一、歐拉平衡方程式平衡規(guī)律：平衡規(guī)律：在靜止條件下，流體受到在靜止條件下，流體受到的靜壓力與質(zhì)量力

8、相平衡。的靜壓力與質(zhì)量力相平衡。平衡微分方程的平衡微分方程的推導(dǎo)推導(dǎo)： 從平衡流體中取出一微小正平從平衡流體中取出一微小正平行六面體微團(tuán)，設(shè)行六面體微團(tuán)，設(shè)ABdx、ACdy、ADdz dxdydzdV 體積體積:2-2 流體平衡的微分方程式流體平衡的微分方程式分析微小正平行六面體微團(tuán)受力：分析微小正平行六面體微團(tuán)受力： 質(zhì)量力質(zhì)量力 dFmx = dxdydz fx dFmy = dxdydz fy dFmz = dxdydz fz 表面力表面力 先討論沿先討論沿 x 軸方向的表面力。軸方向的表面力。 形心形心O( x、y、z ) 處的靜壓強(qiáng)為處的靜壓強(qiáng)為pO( x、y、z )，距，距O點(diǎn)點(diǎn)

9、 x 軸方向上軸方向上 1/2dx 處的前、后兩個(gè)面上的表面力分別為：處的前、后兩個(gè)面上的表面力分別為：2-2 流體平衡的微分方程式流體平衡的微分方程式,21dydzdxxppOdydzdxxppO21 平衡微分方程平衡微分方程 沿沿 x 軸方向有軸方向有 Fx = 0即：即：02121xAAfdxdydzdydzdxxppdydzdxxpp 化簡(jiǎn)整理后，將方程兩邊同除以微小六面體的質(zhì)量化簡(jiǎn)整理后，將方程兩邊同除以微小六面體的質(zhì)量 dxdydz得：得：2-2 流體平衡的微分方程式流體平衡的微分方程式靜止流體的平衡微分方程靜止流體的平衡微分方程 (歐拉平衡微分方程）歐拉平衡微分方程） 方程的方程

10、的物理意義物理意義 : 在靜止流體中，作用在單位質(zhì)量流體上的質(zhì)量力與作用在靜止流體中，作用在單位質(zhì)量流體上的質(zhì)量力與作用在該流體表面上的壓力相平衡在該流體表面上的壓力相平衡。 同理同理：01 xpfx 01 ypfy 01 zpfz 2-2 流體平衡的微分方程式流體平衡的微分方程式二、質(zhì)量力的勢(shì)函數(shù)二、質(zhì)量力的勢(shì)函數(shù) 將平衡微分方程的三個(gè)表達(dá)式分別乘以將平衡微分方程的三個(gè)表達(dá)式分別乘以dx、dy、dz 然然后相加得后相加得：靜壓強(qiáng)的全微分靜壓強(qiáng)的全微分 dzzpdyypdxxpdzfdyfdxfzyx dzfdyfdxfdpzyx 則：則： 歐拉平衡微分方程的綜合表達(dá)式歐拉平衡微分方程的綜合表

11、達(dá)式2-2 流體平衡的微分方程式流體平衡的微分方程式 此式便于積分。對(duì)于各種不同質(zhì)量力作用下流體內(nèi)的此式便于積分。對(duì)于各種不同質(zhì)量力作用下流體內(nèi)的壓強(qiáng)分布規(guī)律，均可由它積分得到。壓強(qiáng)分布規(guī)律，均可由它積分得到。 對(duì)于不可壓縮流體，對(duì)于不可壓縮流體， =常數(shù)。常數(shù)。 令令p/ = -w，因，因 p = p ( x, y, z )，則，則: w = w ( x, y, z ) 由綜合式有：由綜合式有： d (p/ ) = fxdx + fydy + fzdz = dw =- ( w/ x)dx - ( w/ y)dy - ( w/ z)dz2-2 流體平衡的微分方程式流體平衡的微分方程式則有則有

12、: fx=- ( w/ x)， fy= -( w/ y), fz= -( w/ z) 由于坐標(biāo)函數(shù)由于坐標(biāo)函數(shù) w ( x, y, z )與質(zhì)量力之間存在著上述關(guān)系，與質(zhì)量力之間存在著上述關(guān)系，則稱函數(shù)則稱函數(shù) w 為質(zhì)量力的勢(shì)函數(shù)，這樣的質(zhì)量力稱為為質(zhì)量力的勢(shì)函數(shù)，這樣的質(zhì)量力稱為有勢(shì)質(zhì)有勢(shì)質(zhì)量力量力。三、等壓面微分方程式三、等壓面微分方程式0pCdp流體中壓強(qiáng)相等各點(diǎn)所組成的平面或曲面叫作等壓面流體中壓強(qiáng)相等各點(diǎn)所組成的平面或曲面叫作等壓面 等壓面的微分方程式等壓面的微分方程式 0 xyzf dxf dyf dz2-2 流體平衡的微分方程式流體平衡的微分方程式等壓面有下面等壓面有下面三個(gè)性

13、質(zhì)三個(gè)性質(zhì)： 等壓面也是等勢(shì)面等壓面也是等勢(shì)面 等壓面與單位質(zhì)量力矢量垂直等壓面與單位質(zhì)量力矢量垂直 兩種不相混合平衡液體的交界面兩種不相混合平衡液體的交界面必然是等壓面必然是等壓面 0dWWC0mads等壓面上任意微元線段等壓面上任意微元線段2-2 流體平衡的微分方程式流體平衡的微分方程式2-2 流體平衡的微分方程式流體平衡的微分方程式2-2 流體平衡的微分方程式流體平衡的微分方程式將上述結(jié)果代入歐拉平衡微分方程的綜合表達(dá)式得：將上述結(jié)果代入歐拉平衡微分方程的綜合表達(dá)式得： 移項(xiàng)后得：移項(xiàng)后得： 2-3 重力場(chǎng)中的平衡流體重力場(chǎng)中的平衡流體一、不可壓縮流體的靜壓強(qiáng)基本公式一、不可壓縮流體的靜

14、壓強(qiáng)基本公式重力場(chǎng)中的不可壓縮流體：重力場(chǎng)中的不可壓縮流體：gmmgf,f,fzyx 00,gdzdp 0 gdpdz 或：或：0 gpzd 對(duì)于均質(zhì)的不可壓縮流體，對(duì)于均質(zhì)的不可壓縮流體， = 常數(shù)，積分上式，則：常數(shù)，積分上式，則： 式中：式中：C為積分常數(shù)為積分常數(shù)2-3 重力場(chǎng)中的平衡流體重力場(chǎng)中的平衡流體Cgpz 在靜止液體鉛直坐標(biāo)為在靜止液體鉛直坐標(biāo)為z的的A點(diǎn)處連點(diǎn)處連接一個(gè)頂部抽成完全真空的玻璃閉口測(cè)壓接一個(gè)頂部抽成完全真空的玻璃閉口測(cè)壓管，管，對(duì)于連續(xù)均質(zhì)平衡流體中的對(duì)于連續(xù)均質(zhì)平衡流體中的A、B兩點(diǎn)兩點(diǎn)列靜壓強(qiáng)基本公式，可得列靜壓強(qiáng)基本公式，可得1. 靜壓強(qiáng)基本公式的物理意

15、義靜壓強(qiáng)基本公式的物理意義2-3 重力場(chǎng)中的平衡流體重力場(chǎng)中的平衡流體所以所以:0 )(phzgpz gphp z 單位重力流體對(duì)某一基準(zhǔn)面的位單位重力流體對(duì)某一基準(zhǔn)面的位置勢(shì)能置勢(shì)能(位置水頭位置水頭)gp 單位重力流體的壓強(qiáng)勢(shì)能（壓強(qiáng)單位重力流體的壓強(qiáng)勢(shì)能（壓強(qiáng)水頭）水頭）物理意義：物理意義：重力作用下，靜止流體中任意點(diǎn)處單位重力流重力作用下，靜止流體中任意點(diǎn)處單位重力流體的位置勢(shì)能與壓強(qiáng)勢(shì)能之和（總勢(shì)能）為一常數(shù)。體的位置勢(shì)能與壓強(qiáng)勢(shì)能之和（總勢(shì)能）為一常數(shù)。2-3 重力場(chǎng)中的平衡流體重力場(chǎng)中的平衡流體如圖左部的閉口測(cè)壓管所示，如圖左部的閉口測(cè)壓管所示，1212,ppzzgg但但1212

16、ppzzgg所以兩閉口測(cè)壓管中的液面是水平的。所以兩閉口測(cè)壓管中的液面是水平的。取流體中任意一點(diǎn)取流體中任意一點(diǎn) A，考察該點(diǎn)處?kù)o壓強(qiáng)。，考察該點(diǎn)處?kù)o壓強(qiáng)。對(duì)對(duì)A點(diǎn)和液面上的一點(diǎn)點(diǎn)和液面上的一點(diǎn)C列寫(xiě)出靜壓強(qiáng)基本公式：列寫(xiě)出靜壓強(qiáng)基本公式：2. 靜壓強(qiáng)分布規(guī)律靜壓強(qiáng)分布規(guī)律 或或 gz + p = gz0 + p0 整理得：整理得： p = p0 + g( z0 z ) = p0 + gh 式中：式中：h A點(diǎn)處的液深點(diǎn)處的液深 。 上式表示了不可壓縮均質(zhì)流體在重力作用下的壓強(qiáng)分布上式表示了不可壓縮均質(zhì)流體在重力作用下的壓強(qiáng)分布規(guī)律，是流體靜力學(xué)中規(guī)律，是流體靜力學(xué)中最常用的最常用的公式。公式

17、。靜壓強(qiáng)分布規(guī)律靜壓強(qiáng)分布規(guī)律gpzgpz 00 2-3 重力場(chǎng)中的平衡流體重力場(chǎng)中的平衡流體2-3 重力場(chǎng)中的平衡流體重力場(chǎng)中的平衡流體對(duì)公式的幾點(diǎn)說(shuō)明：對(duì)公式的幾點(diǎn)說(shuō)明：1、任意一點(diǎn)的靜壓強(qiáng)由兩部分組成：液面壓強(qiáng)、任意一點(diǎn)的靜壓強(qiáng)由兩部分組成：液面壓強(qiáng) p0 和和液重產(chǎn)生的壓強(qiáng)液重產(chǎn)生的壓強(qiáng) gh；2、任意點(diǎn)處的壓強(qiáng)都包含了液面壓強(qiáng)（帕斯卡原理）；、任意點(diǎn)處的壓強(qiáng)都包含了液面壓強(qiáng)（帕斯卡原理）；3、h p , 呈直線規(guī)律分布；呈直線規(guī)律分布；4、距液面深度相同各點(diǎn)處的壓強(qiáng)均相等。等壓面為一、距液面深度相同各點(diǎn)處的壓強(qiáng)均相等。等壓面為一簇水平面。簇水平面。2-4 靜壓強(qiáng)的計(jì)算與測(cè)量靜壓強(qiáng)的計(jì)

18、算與測(cè)量一、靜壓強(qiáng)的計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)一、靜壓強(qiáng)的計(jì)算標(biāo)準(zhǔn) 絕對(duì)絕對(duì)壓強(qiáng)壓強(qiáng) 以絕對(duì)零值（絕對(duì)真空）為計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)，所表示的壓強(qiáng)。以絕對(duì)零值（絕對(duì)真空）為計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)，所表示的壓強(qiáng)。 計(jì)示計(jì)示壓強(qiáng)（相對(duì)壓強(qiáng)、表壓強(qiáng)）壓強(qiáng)（相對(duì)壓強(qiáng)、表壓強(qiáng)） 以當(dāng)?shù)卮髿鈮簽橛?jì)算標(biāo)準(zhǔn)，所表示的壓強(qiáng)。以當(dāng)?shù)卮髿鈮簽橛?jì)算標(biāo)準(zhǔn)，所表示的壓強(qiáng)。 真空度真空度 以當(dāng)?shù)卮髿鈮簽橛?jì)算基準(zhǔn)，小于大氣壓的部分。以當(dāng)?shù)卮髿鈮簽橛?jì)算基準(zhǔn)，小于大氣壓的部分。絕對(duì)壓強(qiáng)絕對(duì)壓強(qiáng)=大氣壓強(qiáng)大氣壓強(qiáng) + 計(jì)示壓強(qiáng)計(jì)示壓強(qiáng)計(jì)示壓強(qiáng)計(jì)示壓強(qiáng)= 絕對(duì)壓強(qiáng)絕對(duì)壓強(qiáng) 大氣壓強(qiáng)大氣壓強(qiáng) 真空度真空度=大氣壓強(qiáng)大氣壓強(qiáng) 絕對(duì)壓強(qiáng)絕對(duì)壓強(qiáng)2-4 靜壓強(qiáng)的計(jì)算與測(cè)量靜壓強(qiáng)的計(jì)算與

19、測(cè)量一、靜壓強(qiáng)的計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)一、靜壓強(qiáng)的計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)用不同介質(zhì)的液柱高表示壓強(qiáng)時(shí)的換算關(guān)系：用不同介質(zhì)的液柱高表示壓強(qiáng)時(shí)的換算關(guān)系：2-4 靜壓強(qiáng)的計(jì)算與測(cè)量靜壓強(qiáng)的計(jì)算與測(cè)量二、靜壓強(qiáng)的計(jì)量單位二、靜壓強(qiáng)的計(jì)量單位1、應(yīng)力單位：、應(yīng)力單位：Pa (N/m2), KPa, MPa（法定計(jì)量單位）（法定計(jì)量單位） 1212hh 2、液柱高單位、液柱高單位 ：國(guó)外：國(guó)外：bar (巴巴) 1 bar = 105 Pa psi (巴斯巴斯) 1 psi = 6.89 KPagphm H2O , mm Hg 等等3、大氣壓?jiǎn)挝?、大氣壓?jiǎn)挝?： 1標(biāo)準(zhǔn)大氣壓標(biāo)準(zhǔn)大氣壓(atm)760mmHg=1.01325ba

20、r=51.01325 10 Pa 【例題例題2-2】2-4 靜壓強(qiáng)的計(jì)算與測(cè)量靜壓強(qiáng)的計(jì)算與測(cè)量三、靜壓強(qiáng)的測(cè)量三、靜壓強(qiáng)的測(cè)量2-4 靜壓強(qiáng)的計(jì)算與測(cè)量靜壓強(qiáng)的計(jì)算與測(cè)量三、靜壓強(qiáng)的測(cè)量三、靜壓強(qiáng)的測(cè)量液柱式測(cè)壓計(jì)液柱式測(cè)壓計(jì) 基于以靜壓強(qiáng)基本公式基于以靜壓強(qiáng)基本公式1. 測(cè)壓管測(cè)壓管 如圖如圖211(1)可測(cè)水中大于可測(cè)水中大于大氣壓的計(jì)示壓強(qiáng)；大氣壓的計(jì)示壓強(qiáng)； 圖圖211(2)可測(cè)空氣中小于可測(cè)空氣中小于大氣壓的真空度大氣壓的真空度在左支管中在左支管中 2-4 靜壓強(qiáng)的計(jì)算與測(cè)量靜壓強(qiáng)的計(jì)算與測(cè)量2. U型測(cè)壓計(jì)型測(cè)壓計(jì)11ppgh12apghpgh21()appghh在右支管中在右支

21、管中 于是于是由此可得測(cè)點(diǎn)上的絕對(duì)壓強(qiáng)為由此可得測(cè)點(diǎn)上的絕對(duì)壓強(qiáng)為 其計(jì)示壓強(qiáng)為其計(jì)示壓強(qiáng)為 21()pghh 22appgh2-4 靜壓強(qiáng)的計(jì)算與測(cè)量靜壓強(qiáng)的計(jì)算與測(cè)量3. 壓差計(jì)壓差計(jì) 水管下部為水管下部為U形管式汞差壓計(jì)，形管式汞差壓計(jì)，計(jì)算公式為計(jì)算公式為 管道上部為倒管道上部為倒U形管式水柱差壓形管式水柱差壓計(jì)，忽略空氣密度，則其計(jì)算公式為計(jì)，忽略空氣密度，則其計(jì)算公式為12()ppgh12ppgH 右邊測(cè)管可以繞樞軸轉(zhuǎn)動(dòng)右邊測(cè)管可以繞樞軸轉(zhuǎn)動(dòng)從而傾斜成較小的銳角，當(dāng)待從而傾斜成較小的銳角，當(dāng)待測(cè)的氣體壓強(qiáng)測(cè)的氣體壓強(qiáng) 引入容器引入容器后，可使容器中液面下降后，可使容器中液面下降 ，

22、測(cè)管中液面上升測(cè)管中液面上升h，形成平衡，形成平衡，于是于是2-4 靜壓強(qiáng)的計(jì)算與測(cè)量靜壓強(qiáng)的計(jì)算與測(cè)量4. 微壓計(jì)微壓計(jì)()apph()appg hh2-4 靜壓強(qiáng)的計(jì)算與測(cè)量靜壓強(qiáng)的計(jì)算與測(cè)量4. 微壓計(jì)微壓計(jì) 從原始液面算起，上下從原始液面算起，上下變動(dòng)的液體體積應(yīng)該相等，變動(dòng)的液體體積應(yīng)該相等，得到待測(cè)的計(jì)示壓強(qiáng)得到待測(cè)的計(jì)示壓強(qiáng) 22() sin() adppg hlDdglD【例題例題2-3】2-5 平衡流體對(duì)壁面的作用力平衡流體對(duì)壁面的作用力一、任意空間壁面上的流體靜壓力一、任意空間壁面上的流體靜壓力 在與平衡液體相接觸的空間壁面在與平衡液體相接觸的空間壁面A上任上任取一個(gè)微元面

23、積取一個(gè)微元面積 ，假定它的淹沒(méi)深度是，假定它的淹沒(méi)深度是h ，則微元面積上的流體靜壓力為，則微元面積上的流體靜壓力為 A()dFpndA 整個(gè)受壓面積整個(gè)受壓面積A上的流體靜壓力為上的流體靜壓力為 ()()()AAAFpndAghndAgn hdA2-5 平衡流體對(duì)壁面的作用力平衡流體對(duì)壁面的作用力 將微元面積上的流體靜壓力將微元面積上的流體靜壓力dF投影在投影在x,y,z三個(gè)坐標(biāo)軸上，可得三個(gè)坐標(biāo)軸上，可得coscoscoscoscoscosxyzxyzdFdF idF jdF kdFidFjdFkpdAipdAjpdAkpdA ipdA jpdA k各坐標(biāo)軸上的分量為各坐標(biāo)軸上的分量為x

24、xyyxxxcxAAyyycyAAFpdAghdAgh AFpdAghdAgh A2-5 平衡流體對(duì)壁面的作用力平衡流體對(duì)壁面的作用力zzzzzFAAFpdAghdAgV壓力體液重 靜壓力的大小為靜壓力的大小為222xyzFFFF其矢量作用線與曲面其矢量作用線與曲面A的交點(diǎn)稱為壓力中心的交點(diǎn)稱為壓力中心D二、平面、柱面、封閉曲面上的流體靜壓力二、平面、柱面、封閉曲面上的流體靜壓力特例特例1 平面上的流體靜壓力平面上的流體靜壓力1. 平面上的作用力平面上的作用力 假定平面有一個(gè)對(duì)稱袖假定平面有一個(gè)對(duì)稱袖LL，面積的形心，面積的形心C及壓力中心及壓力中心D都在對(duì)稱軸上都在對(duì)稱軸上2-5 平衡流體對(duì)

25、壁面的作用力平衡流體對(duì)壁面的作用力 微元面積微元面積dA上的壓強(qiáng)：上的壓強(qiáng)： p = p0 + gh 微元面積微元面積dA上的微小作用力為上的微小作用力為dF dF = ( p0 + gh ) dA = ( p0 + glsin ) dA整個(gè)平板整個(gè)平板AB上的作用力上的作用力 F 應(yīng)為：應(yīng)為： F = AdF = A p0dA + A g l sin dA = p0A + g sin AldA式中：式中： AldA = lCA 面積矩定理面積矩定理 lC 平面平面A形心形心C點(diǎn)的點(diǎn)的 l 軸坐標(biāo)。軸坐標(biāo)。2-5 平衡流體對(duì)壁面的作用力平衡流體對(duì)壁面的作用力則則 F = p0A + g sin

26、 lC A = ( p0 + ghc )A = pCA式中式中: hC 平面平面A形心形心C處的液深；處的液深； pC C點(diǎn)處的壓強(qiáng)。點(diǎn)處的壓強(qiáng)。上式表明：上式表明： 重力作用下，靜止液體對(duì)平面壁的作重力作用下，靜止液體對(duì)平面壁的作 用力等于平面形用力等于平面形心處的靜壓強(qiáng)與平面面積的乘積。心處的靜壓強(qiáng)與平面面積的乘積。2-5 平衡流體對(duì)壁面的作用力平衡流體對(duì)壁面的作用力2. 壓力中心壓力中心 因因 F lD = A l dF式中：式中：lD 平面平面A壓力中心壓力中心D點(diǎn)的點(diǎn)的 l 軸坐標(biāo)。軸坐標(biāo)。將將 F 和和 dF 的表達(dá)式代入上式得：的表達(dá)式代入上式得： ( p0 + ghc)A lD

27、 = A ( p0 + g l sin ) l dA 或：或： ( p0 + g lC sin )A lD = p0 A l dA + gsin A l 2 dA 式中：式中： A l 2 dA = Im = Icm + lC2A （平行移軸定理平行移軸定理）2-5 平衡流體對(duì)壁面的作用力平衡流體對(duì)壁面的作用力 Im 平面平面A對(duì)對(duì)m軸的慣性矩；軸的慣性矩； ICm 平面平面A對(duì)通過(guò)其形心對(duì)通過(guò)其形心C并與并與m軸平行的軸平行的C C 軸軸的的慣性矩慣性矩 ( 典型平面的典型平面的ICm值可查表值可查表獲得獲得)。AsinglpsingIlAsinglpIsingAlsingAlpAsingl

28、pAlIsingAlpllDCCmCCCmCCCCCmCD0020020：坐標(biāo)為的可得壓力中心2-5 平衡流體對(duì)壁面的作用力平衡流體對(duì)壁面的作用力若若 p0 = 0 （液面為大氣壓）（液面為大氣壓） , 則可得到很簡(jiǎn)單的形式：則可得到很簡(jiǎn)單的形式：可見(jiàn)總有可見(jiàn)總有: lD lC 。二者之間的距離為二者之間的距離為 。壓力中心壓力中心D(作用點(diǎn)作用點(diǎn))液深液深 ：AlIllCCmCD AlICCmAhsinIhhCCmCD 2 2-5 平衡流體對(duì)壁面的作用力平衡流體對(duì)壁面的作用力 若平面若平面A關(guān)于關(guān)于 l 軸不是對(duì)稱的軸不是對(duì)稱的,尚需求出點(diǎn)尚需求出點(diǎn)D的的m軸坐軸坐標(biāo)標(biāo),才能確定壓力中心才能

29、確定壓力中心D的位置。的位置。 則則 D( mD , lD ) 。 式中式中: Iml 平面平面A對(duì)對(duì)m軸和軸和 l 軸的慣性積。軸的慣性積。AlImCmlD 2-5 平衡流體對(duì)壁面的作用力平衡流體對(duì)壁面的作用力特例特例2 柱面上的流體靜壓力柱面上的流體靜壓力 討論如圖所示的二維曲面（柱面）討論如圖所示的二維曲面（柱面）上的靜止液體的作用力上的靜止液體的作用力F。 設(shè)有一個(gè)承受液體壓力的二維曲面設(shè)有一個(gè)承受液體壓力的二維曲面ab，其面積為，其面積為A，曲面在，曲面在 xoz 坐標(biāo)平面坐標(biāo)平面上的投影為曲線上的投影為曲線 ab。液深為。液深為h 處的微小處的微小曲面積曲面積 dA上的液體微小作用

30、力為上的液體微小作用力為dF。 dF = ( p0 + gh ) dA2-5 平衡流體對(duì)壁面的作用力平衡流體對(duì)壁面的作用力 1、作用力的水平分力為、作用力的水平分力為Fy 微小水平分力為：微小水平分力為： dFy = dF cos = ( p0 + gh ) dA cos = ( p0 + gh ) dAy 式中：式中：dAy 微小曲面積微小曲面積 dA 在在 y 軸方向軸方向 (或或 xoz 坐標(biāo)平面坐標(biāo)平面)上的投影面積。上的投影面積。則則 Fy = AydFy = Ay ( p0 + gh)dAy = p0Ay + g Ay h dAy2-5 平衡流體對(duì)壁面的作用力平衡流體對(duì)壁面的作用力

31、式中：式中： Ay hdAy = hCAy 曲面曲面A在在 yoz 平面上的平面上的 投影面積投影面積 Ay 對(duì)對(duì) y 軸的面積矩軸的面積矩 。 hC 投影面積投影面積Ay形心處形心處C的液深。的液深。所以：所以：Fy = p0Ay + ghC Ay = ( p0 + ghC)Ay 作用力的水平分力作用力的水平分力2、作用力的垂直分力、作用力的垂直分力Fz 微小垂直分力為：微小垂直分力為： dFz = dFsin = ( p0 + gh)dA sin = ( p0+ gh)dAz式中：式中：dAz 微小曲面積微小曲面積 dA 在在 z 方向上的投影面積。方向上的投影面積。則：則： Fz = A

32、zdFz = Az ( p0 + gh)dAz = p0Az + g Azh dAz顯然，式中：顯然，式中： Az hdAz = VF 曲面曲面ab上方的液體體積，上方的液體體積，稱為稱為壓力體壓力體。2-5 平衡流體對(duì)壁面的作用力平衡流體對(duì)壁面的作用力液體對(duì)曲面的作用力液體對(duì)曲面的作用力: 所以：所以： Fz = p0Az + gVF 作用力的垂直分力作用力的垂直分力 F 的方向與垂直方的方向與垂直方向的夾角。向的夾角。zxFFtg 22zxFFFF 的作用方向：的作用方向：2-5 平衡流體對(duì)壁面的作用力平衡流體對(duì)壁面的作用力特例特例3 封閉曲面上的流體靜壓力封閉曲面上的流體靜壓力 鉛直母線

33、與物面接觸點(diǎn)的連線將物鉛直母線與物面接觸點(diǎn)的連線將物面分割成面分割成上、下上、下兩個(gè)部分兩個(gè)部分:上半部曲面上半部曲面acd上的鉛直分壓力等于壓力體上的鉛直分壓力等于壓力體acbef的的液重液重; 下半部曲面下半部曲面adb上的鉛直分壓力上的鉛直分壓力等于壓力體等于壓力體adbef的液重的液重 整個(gè)潛體鉛直方向的流體靜壓力為整個(gè)潛體鉛直方向的流體靜壓力為21()zzzadbefacbefFFFg VVgV方向向上，壓力中心也就是潛體的形心方向向上，壓力中心也就是潛體的形心2-5 平衡流體對(duì)壁面的作用力平衡流體對(duì)壁面的作用力三、壓力體三、壓力體 積分式積分式 Azh dAz 純幾何體積。純幾何體

34、積。定義：定義：由所研究的曲面由所研究的曲面A，通過(guò)曲面，通過(guò)曲面A的周界（外緣）所作的周界（外緣）所作的垂直柱面，以及對(duì)曲面的垂直柱面，以及對(duì)曲面A有作用的液體自由液面（或其延有作用的液體自由液面（或其延伸面）所圍成的封閉體積，用伸面）所圍成的封閉體積，用VF表示，稱為表示，稱為壓力體壓力體。壓力體液重：壓力體液重： gVF 【例題例題2-4、2-5】例題：例題：某水壩用一長(zhǎng)方形閘門封住放水口。閘門某水壩用一長(zhǎng)方形閘門封住放水口。閘門 高高 L = 3 m ，寬，寬 B = 4 m ，閘門兩邊水位分別為，閘門兩邊水位分別為 H1= 5 m ，H2 = 2 m ，閘門垂直放置，試確定：，閘門垂

35、直放置，試確定： 1、開(kāi)啟閘門時(shí)繩索的拉、開(kāi)啟閘門時(shí)繩索的拉力（繩索與水平面的夾角為力（繩索與水平面的夾角為 60 ）；）； 2、關(guān)閉、關(guān)閉閘門時(shí)閘門時(shí) A 點(diǎn)處的支承力。點(diǎn)處的支承力。解：解：1、作用在閘門右側(cè)的總壓力為：、作用在閘門右側(cè)的總壓力為：KNLBLHgAghFC41243235108 . 9 2311112-5 平衡流體對(duì)壁面的作用力平衡流體對(duì)壁面的作用力2-5 平衡流體對(duì)壁面的作用力平衡流體對(duì)壁面的作用力總壓力總壓力 F1 的作用點(diǎn)：的作用點(diǎn)：mBLLHBLLHAlIllCCCD7 . 3212213111111作用在閘門左側(cè)的總壓力為：作用在閘門左側(cè)的總壓力為： 5 .782

36、22222KNBHHgAhgFC總壓力總壓力 F2 的作用點(diǎn)：的作用點(diǎn)：mAlIllCCCD33. 1222222-5 平衡流體對(duì)壁面的作用力平衡流體對(duì)壁面的作用力將閘門兩側(cè)的水壓力及繩索拉力對(duì)轉(zhuǎn)軸將閘門兩側(cè)的水壓力及繩索拉力對(duì)轉(zhuǎn)軸 O 點(diǎn)取矩，點(diǎn)取矩，應(yīng)有：應(yīng)有：0OM即：即：LHlFTLlHLFDD11122230sin求得繩索的拉力求得繩索的拉力 T = 348.9 KN2、0OM即：即：LHlFlHLFLFDDA111222解得：解得： FA = 174.4 KN2-5 平衡流體對(duì)壁面的作用力平衡流體對(duì)壁面的作用力例題：例題：一圓柱形壓力水罐（壓力容器）。半徑一圓柱形壓力水罐（壓力容器

37、）。半徑R = 0.5 m，長(zhǎng)長(zhǎng) l = 2 m，壓力表讀數(shù)，壓力表讀數(shù) pM = 23.72 KPa。試求：試求：1、兩端部平面蓋板所受的水壓力；、兩端部平面蓋板所受的水壓力； 2、上、下半圓筒所受的水壓力。、上、下半圓筒所受的水壓力。解：解：1、端蓋板所受的水壓力、端蓋板所受的水壓力NRRgpApFMc323321047.22 5 . 014. 35 . 08 . 9101072.23 2、上、下半圓筒所受的水壓力、上、下半圓筒所受的水壓力NlRlRRglRpgVApFMFzz323320105 .49 2225 . 08 . 91025 . 021072.23 2122 上上NlRlRg

38、RlpgVApFMFzz3220109 .64 2122 下下2-5 平衡流體對(duì)壁面的作用力平衡流體對(duì)壁面的作用力或：壓力表用測(cè)壓管代替時(shí)或：壓力表用測(cè)壓管代替時(shí) 212 2lRlRRgpggVFMFz上上2-7 液體的相對(duì)平衡液體的相對(duì)平衡 除了重力場(chǎng)中的流體平衡問(wèn)題以外，還有一種在工程上除了重力場(chǎng)中的流體平衡問(wèn)題以外，還有一種在工程上常見(jiàn)的所謂液體相對(duì)平衡問(wèn)題：液體質(zhì)點(diǎn)彼此之間固然沒(méi)有常見(jiàn)的所謂液體相對(duì)平衡問(wèn)題：液體質(zhì)點(diǎn)彼此之間固然沒(méi)有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，但盛裝液體的容器或機(jī)件卻對(duì)地面上的固定坐標(biāo)相對(duì)運(yùn)動(dòng)，但盛裝液體的容器或機(jī)件卻對(duì)地面上的固定坐標(biāo)系有相對(duì)運(yùn)動(dòng)。如果我們把運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)取在容器或機(jī)件上，則

39、系有相對(duì)運(yùn)動(dòng)。如果我們把運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)取在容器或機(jī)件上，則對(duì)于這種所謂的非慣性坐標(biāo)系來(lái)說(shuō)，液體就成為對(duì)于這種所謂的非慣性坐標(biāo)系來(lái)說(shuō)，液體就成為相對(duì)平衡相對(duì)平衡了。了。工程上常見(jiàn)的流體的相對(duì)平衡有兩種：工程上常見(jiàn)的流體的相對(duì)平衡有兩種： 1、作勻加速直線運(yùn)動(dòng)容器中的液體；、作勻加速直線運(yùn)動(dòng)容器中的液體； 2、作等角速旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)容器中的液體。、作等角速旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)容器中的液體。2-7 液體的相對(duì)平衡液體的相對(duì)平衡一、容器作勻加速直線運(yùn)動(dòng)一、容器作勻加速直線運(yùn)動(dòng) 盛有液體的容器沿著與水平基面成盛有液體的容器沿著與水平基面成角的斜面向下以加速度角的斜面向下以加速度a作作直線運(yùn)動(dòng)作作直線運(yùn)動(dòng) 將運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系取在容器上

40、，并使坐將運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系取在容器上，并使坐標(biāo)原點(diǎn)在自由液面上，標(biāo)原點(diǎn)在自由液面上，x軸垂直紙面。軸垂直紙面。 成相對(duì)平衡的液體的每個(gè)質(zhì)點(diǎn)均受成相對(duì)平衡的液體的每個(gè)質(zhì)點(diǎn)均受有兩種質(zhì)量力，一種是與運(yùn)動(dòng)方向相反有兩種質(zhì)量力，一種是與運(yùn)動(dòng)方向相反的的虛構(gòu)慣性力虛構(gòu)慣性力 ,一種是重力一種是重力Ima Wmg 2-7 液體的相對(duì)平衡液體的相對(duì)平衡則單位質(zhì)量力分力為則單位質(zhì)量力分力為 0cossinxyzffafag1. 等壓面等壓面0cossinxyzffafag在等壓面上在等壓面上 p = C 則則 dp = 0 將上式代入等壓面微分方程式即得將上式代入等壓面微分方程式即得 于是于是 等壓面（包括自由表面

41、）是與水平基面成傾角等壓面（包括自由表面）是與水平基面成傾角的一的一簇平行平面，這簇平面必然與單位質(zhì)量力簇平行平面，這簇平面必然與單位質(zhì)量力am的方向的方向互相垂互相垂直直。 2-7 液體的相對(duì)平衡液體的相對(duì)平衡cos( sin)0adyag dzcostansindzadyga2. 靜壓強(qiáng)分布規(guī)律靜壓強(qiáng)分布規(guī)律將單位質(zhì)量分力代入壓強(qiáng)微分公式即得將單位質(zhì)量分力代入壓強(qiáng)微分公式即得 cos( sin)dpadyag dz當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 自由表面上的壓強(qiáng)自由表面上的壓強(qiáng) ，則，則2-7 液體的相對(duì)平衡液體的相對(duì)平衡作不定積分得作不定積分得cos( sin)payz agC0,0yz0pp0cos(

42、 sin)ppayz ag這就是流體靜壓強(qiáng)在不同點(diǎn)這就是流體靜壓強(qiáng)在不同點(diǎn)(y，z)上的分布現(xiàn)律。上的分布現(xiàn)律。特例特例1 即容器沿水平基面向左作勻加速運(yùn)動(dòng)即容器沿水平基面向左作勻加速運(yùn)動(dòng) 2-7 液體的相對(duì)平衡液體的相對(duì)平衡0其等壓面方程為其等壓面方程為tanag 與單位質(zhì)量力與單位質(zhì)量力相垂直的平面簇的斜相垂直的平面簇的斜率等于運(yùn)動(dòng)加速度與重力加速度之比率等于運(yùn)動(dòng)加速度與重力加速度之比靜壓強(qiáng)分布規(guī)律為靜壓強(qiáng)分布規(guī)律為 000()()( tan)appaygzpgyzgpg yz2-7 液體的相對(duì)平衡液體的相對(duì)平衡取液體中任意兩點(diǎn)取液體中任意兩點(diǎn)(,)(,)22bbm yzhm yzh 與t

43、antan()tan22bbyzhhH 對(duì)對(duì)m點(diǎn)來(lái)說(shuō)點(diǎn)來(lái)說(shuō)對(duì)對(duì)m點(diǎn)來(lái)說(shuō)點(diǎn)來(lái)說(shuō)tantan()tan22bbyzhhH 代表任何一點(diǎn)在傾斜自由液代表任何一點(diǎn)在傾斜自由液面下的鉛直淹沒(méi)深度，統(tǒng)以面下的鉛直淹沒(méi)深度，統(tǒng)以H表示表示 tanyz靜壓強(qiáng)可寫(xiě)為靜壓強(qiáng)可寫(xiě)為0ppgH特例特例2 即容器沿鉛直方向向下作勻加速運(yùn)動(dòng)即容器沿鉛直方向向下作勻加速運(yùn)動(dòng) 2-7 液體的相對(duì)平衡液體的相對(duì)平衡90其等壓面方程為其等壓面方程為tan0 即等壓面為水平面即等壓面為水平面靜壓強(qiáng)分布規(guī)律為靜壓強(qiáng)分布規(guī)律為 000()()(1)appag zph gapghg2-7 液體的相對(duì)平衡液體的相對(duì)平衡 當(dāng)容器向上加速運(yùn)動(dòng)

44、時(shí)，當(dāng)容器向上加速運(yùn)動(dòng)時(shí)， ， 鉛直向下的單位質(zhì)量力大于重力，液體處于超重狀態(tài)。鉛直向下的單位質(zhì)量力大于重力，液體處于超重狀態(tài)。 式中，式中， ，稱為超重系數(shù)，稱為超重系數(shù) maga02(1)oappghpkghg211akg 說(shuō)明：說(shuō)明： 當(dāng)容器向下加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)容器向下加速運(yùn)動(dòng)時(shí)， ， 鉛直向下的單位質(zhì)量力小于重力，液體處于失重狀態(tài)。鉛直向下的單位質(zhì)量力小于重力，液體處于失重狀態(tài)。 令令 ，稱為失重系數(shù)，稱為失重系數(shù) maga111akg 01ppkgh2-7 液體的相對(duì)平衡液體的相對(duì)平衡二、容器作等角速回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)二、容器作等角速回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng) 如圖，盛有液體的圓柱形容器繞鉛垂如圖，盛有液體的圓柱

45、形容器繞鉛垂軸軸 z 以角速度以角速度作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。當(dāng)旋轉(zhuǎn)角速作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。當(dāng)旋轉(zhuǎn)角速度度穩(wěn)定不變時(shí)，液體形成自由表面，液穩(wěn)定不變時(shí)，液體形成自由表面，液體質(zhì)點(diǎn)之間不再有相對(duì)運(yùn)動(dòng)。體質(zhì)點(diǎn)之間不再有相對(duì)運(yùn)動(dòng)。 將運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系固結(jié)在回轉(zhuǎn)容器上將運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系固結(jié)在回轉(zhuǎn)容器上,且坐且坐標(biāo)原點(diǎn)取在自由液面的最低點(diǎn)。標(biāo)原點(diǎn)取在自由液面的最低點(diǎn)。 此時(shí)作用在液體上的質(zhì)量力有兩種：此時(shí)作用在液體上的質(zhì)量力有兩種： 重力重力 W = mg 虛構(gòu)的離心慣性力虛構(gòu)的離心慣性力 F = m2 r （方向與向心加速度的方向相反）（方向與向心加速度的方向相反） 2-7 液體的相對(duì)平衡液體的相對(duì)平衡下面下面討論討論其靜壓強(qiáng)分布規(guī)律

46、和等壓面方程。其靜壓強(qiáng)分布規(guī)律和等壓面方程。 單位質(zhì)量力單位質(zhì)量力 rgkfjfifazyxm22-7 液體的相對(duì)平衡液體的相對(duì)平衡單位質(zhì)量液體所受質(zhì)量力的各分量為：?jiǎn)挝毁|(zhì)量液體所受質(zhì)量力的各分量為： fx = 2 r cos= 2x fy = 2 r sin = 2y fz = g 式中：式中：r 流體質(zhì)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)軸的距離；流體質(zhì)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)軸的距離； x、y r 在兩水平坐標(biāo)軸上的投影。在兩水平坐標(biāo)軸上的投影。1. 等壓面等壓面由平衡微分方程式的綜合表達(dá)式可得等壓面微分方程式：由平衡微分方程式的綜合表達(dá)式可得等壓面微分方程式： fxdx + fydy + fzdz = 02-7 液體的相對(duì)平衡液

47、體的相對(duì)平衡 將各單位質(zhì)量力的分量代入等壓面微分方程式，可得：將各單位質(zhì)量力的分量代入等壓面微分方程式，可得： 2 x dx + 2 y dy g dz = 0作不定積分得：作不定積分得：Cgzyx 222222 或或:Cgzr222等角速旋轉(zhuǎn)容器中液體的等壓面方程等角速旋轉(zhuǎn)容器中液體的等壓面方程可見(jiàn)等壓面是一簇繞可見(jiàn)等壓面是一簇繞 z 軸的軸的旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面。2-7 液體的相對(duì)平衡液體的相對(duì)平衡 在自由表面上，當(dāng)在自由表面上，當(dāng) r = 0 時(shí)，時(shí)，z = 0，可得積分常數(shù)，可得積分常數(shù) C = 0，故自由表面方程為：故自由表面方程為： 上式中上式中：z 0 超高（自由表面上任一點(diǎn)的超高（自由表面上任一點(diǎn)的 z坐標(biāo)，即自坐標(biāo)，即自由表面上的點(diǎn)比拋物面頂點(diǎn)所高出的鉛直距離）由表面上的點(diǎn)比拋物面頂點(diǎn)所高出的鉛直距離）.ru 式中：式中：該點(diǎn)的圓周速度。該點(diǎn)的圓周速度。gugrz222220 則則02022zgrgrz2220或或:液面的最大超高為：液面的最大超高為：式中：式中： R 容器的內(nèi)半徑；容器的內(nèi)半徑； vc 容器內(nèi)半徑處的圓周速度。容器內(nèi)半徑處的圓周速度。gvgRHC222222-7 液體的