中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)學(xué)案將軍飲馬類題型大全含部分答案經(jīng)典實(shí)用

1、“將軍飲馬”類題型大全一求線段和最值1（一）兩定一動(dòng)型例1：如圖， amef，bnef，垂足為m、n，mn12m，am5m，bn4m， p是ef上任意一點(diǎn)，則papb的最小值是_m分析：這是最基本的將軍飲馬問(wèn)題，a，b是定點(diǎn)，p是動(dòng)點(diǎn)，屬于兩定一動(dòng)將軍飲馬型，根據(jù)常見(jiàn)的“定點(diǎn)定線作對(duì)稱”，可作點(diǎn)a關(guān)于ef的對(duì)稱點(diǎn)a，根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，連接ab，此時(shí)appb即為ab，最短而要求ab，則需要構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理解決解答：作點(diǎn)a關(guān)于ef的對(duì)稱點(diǎn)a，過(guò)點(diǎn)a作acbn的延長(zhǎng)線于c易知amamnc5m，bc9m，acmn12m，在rtabc中，ab15m，即papb的最小值是15m變式：如圖

2、，在邊長(zhǎng)為2的正三角形abc中，e，f，g為各邊中點(diǎn)，p為線段ef上一動(dòng)點(diǎn)，則bpg周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)分析：考慮到bg為定值是1，則bpg的周長(zhǎng)最小轉(zhuǎn)化為求bppg的最小值，又是兩定一動(dòng)的將軍飲馬型，考慮作點(diǎn)g關(guān)于ef的對(duì)稱點(diǎn)，這里有些同學(xué)可能看不出來(lái)到底是哪個(gè)點(diǎn)，我們不妨連接ag，則agbc，再連接eg，根據(jù)“直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半”，可得aeeg，則點(diǎn)a就是點(diǎn)g關(guān)于ef的對(duì)稱點(diǎn)最后計(jì)算周長(zhǎng)時(shí)，別忘了加上bg的長(zhǎng)度解答：連接ag，易知pgpa，bppgbppa，當(dāng)b，p，a三點(diǎn)共線時(shí)，bppgba，此時(shí)最短，ba2，bg1，即bpg周長(zhǎng)最短為3.2（二）一定兩動(dòng)型例2：如圖，在abc

3、中，abac5，d為bc中點(diǎn)，ad5，p為ad上任意一點(diǎn)，e為ac上任意一點(diǎn)，求pcpe的最小值分析：這里的點(diǎn)c是定點(diǎn)，p，e是動(dòng)點(diǎn)，屬于一定兩動(dòng)的將軍飲馬模型，由于abc是等腰三角形，ad是bc中線，則ad垂直平分bc，點(diǎn)c關(guān)于ad的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)b，pcpepbpe，顯然當(dāng)b，p，e三點(diǎn)共線時(shí)，be更短但此時(shí)還不是最短，根據(jù)“垂線段最短” 只有當(dāng)beac時(shí)，be最短求be時(shí)，用面積法即可解答：作beac交于點(diǎn)e，交ad于點(diǎn)p，易知adbc，bd3，bc6，則ad·bcbe·ac，4×6be·5，be4.8變式：如圖，bd平分abc，e，f分別為線段bc，

4、bd上的動(dòng)點(diǎn)，ab8，abc的周長(zhǎng)為20，求efcf的最小值_分析：這里的點(diǎn)c是定點(diǎn)，f，e是動(dòng)點(diǎn)，屬于一定兩動(dòng)的將軍飲馬模型，我們習(xí)慣于“定點(diǎn)定線作對(duì)稱”，但這題這樣做，會(huì)出現(xiàn)問(wèn)題因?yàn)辄c(diǎn)c的對(duì)稱點(diǎn)c必然在ab上，但由于bc長(zhǎng)度未知，bc長(zhǎng)度也未知，則c相對(duì)的也是不確定點(diǎn)，因此我們這里可以嘗試作動(dòng)點(diǎn)e關(guān)于bd的對(duì)稱點(diǎn)解答：如圖，作點(diǎn)e關(guān)于bd的對(duì)稱點(diǎn)e，連接ef，則efcfefcf，當(dāng)e，f，c三點(diǎn)共線時(shí)，efcfec，此時(shí)較短過(guò)點(diǎn)c作ceab于e，當(dāng)點(diǎn)e 與點(diǎn)e重合時(shí)，ec最短，ec為ab邊上的高，ec5.（三）兩定兩動(dòng)型例3：如圖，aob30°，oc5，od12，點(diǎn)e，f分別是射

5、線oa，ob上的動(dòng)點(diǎn)，求cfefde的最小值.分析：這里的點(diǎn)c，點(diǎn)d是定點(diǎn)，f，e是動(dòng)點(diǎn)，屬于兩定兩動(dòng)的將軍飲馬模型，依舊可以用“定點(diǎn)定線作對(duì)稱”來(lái)考慮作點(diǎn)c關(guān)于ob的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)d關(guān)于oa的對(duì)稱點(diǎn)解答：作點(diǎn)c關(guān)于ob的對(duì)稱點(diǎn)c，點(diǎn)d關(guān)于oa的對(duì)稱點(diǎn)d，連接cd cfefde cf ef de，當(dāng)c，f， e，d四點(diǎn)共線時(shí)，cfefde cd最短易知doc90°，od12，oc5，cd13，cfefde最小值為13變式：（原創(chuàng)題）如圖，斯諾克比賽桌面ab寬1.78m，白球e距ad邊0.22m，距cd邊1.4m，有一顆紅球f緊貼bc邊，且距離cd邊0.1m，若要使白球e經(jīng)過(guò)邊ad，dc，

6、兩次反彈擊中紅球f，求白球e運(yùn)動(dòng)路線的總長(zhǎng)度分析：本題中，點(diǎn)e和點(diǎn)f是定點(diǎn)，兩次反彈的點(diǎn)雖然未知，但我們可以根據(jù)前幾題的經(jīng)驗(yàn)作出，即分別作點(diǎn)e關(guān)于ad邊的對(duì)稱點(diǎn)e，作點(diǎn)f關(guān)于cd邊的對(duì)稱點(diǎn)f，即可畫出白球e的運(yùn)動(dòng)路線，化歸為兩定兩動(dòng)將軍飲馬型解答：作點(diǎn)e關(guān)于ad邊的對(duì)稱點(diǎn)e，作點(diǎn)f關(guān)于cd邊的對(duì)稱點(diǎn)f，連接ef，交ad于點(diǎn)g，交cd于點(diǎn)h，則運(yùn)動(dòng)路線長(zhǎng)為egghhf長(zhǎng)度之和，即ef長(zhǎng)，延長(zhǎng)ee交bc于n，交ad于m，易知emem0.22m，en1.780.222m，nfnccf1.40.11.5m，則rtenf中，ef2.5m，即白球運(yùn)動(dòng)路線的總長(zhǎng)度為2.5m小結(jié)：以上求線段和最值問(wèn)題，幾乎都

7、可以歸結(jié)為“兩定一動(dòng)”“一定兩動(dòng)”“兩定兩動(dòng)”類的將軍飲馬型問(wèn)題，基本方法還是“定點(diǎn)定線作對(duì)稱”，利用“兩點(diǎn)之間線段最短”“垂線段最短”的2條重要性質(zhì)，將線段和轉(zhuǎn)化為直角三角形的斜邊，或者一邊上的高，借助勾股定理，或者面積法來(lái)求解當(dāng)然，有時(shí)候，我們也需學(xué)會(huì)靈活變通，定點(diǎn)對(duì)稱行不通時(shí)，嘗試作動(dòng)點(diǎn)對(duì)稱（二）求角度例1:p為aob內(nèi)一定點(diǎn)，m，n分別為射線oa，ob上一點(diǎn)，當(dāng)pmn周長(zhǎng)最小時(shí)，mpn80°（1）aob_°（2）求證：op平分mpn分析：這又是一定兩動(dòng)型將軍飲馬問(wèn)題，我們應(yīng)該先將m，n的位置找到，再來(lái)思考aob的度數(shù)，顯然作點(diǎn)p關(guān)于oa的對(duì)稱點(diǎn)p，關(guān)于ob的對(duì)稱點(diǎn)p

8、，連接pp，其與oa交點(diǎn)即為m，ob交點(diǎn)即為n，如下圖，易知dpc與aob互補(bǔ)，則求出dpc的度數(shù)即可解答：（1）法1：如圖，12100°，1p323，2p424，則3450°，dpc130°，aob50°再分析：考慮到第二小問(wèn)要證明op平分mpn，我們就連接op，則要證56，顯然很困難，這時(shí)候，考慮到對(duì)稱性，我們?cè)龠B接op，op，則57，68，問(wèn)題迎刃而解解答：（1）法2：易知opop，785680°，pop100°，由對(duì)稱性知，911，1012，aob91050°（2）由opop，pop100°知，7840&#

9、176;，5640°，op平分mpn變式：如圖，在五邊形abcde中，bae136°，be90°，在bc、de上分別找一點(diǎn)m、n，使得amn的周長(zhǎng)最小時(shí)，則amnanm的度數(shù)為_(kāi)分析：這又是典型的一定兩動(dòng)型將軍飲馬問(wèn)題，必然是作a點(diǎn)關(guān)于bc、de的對(duì)稱點(diǎn)a、a，連接aa，與bc、de的交點(diǎn)即為amn周長(zhǎng)最小時(shí)m、n的位置解答：如圖， bae136°， maanaa44°    由對(duì)稱性知，    maamaa，    naanaa，   amnanm 2maa2naa88°思考題：1.如圖所示，正方形abcd的邊長(zhǎng)為6，abe是等邊三角形，點(diǎn)e在正方形abcd內(nèi)，在對(duì)角