定量分析的誤差和數(shù)據(jù)處理

1、 定量分析的誤差定量分析的誤差 和數(shù)據(jù)處理和數(shù)據(jù)處理分析化學(xué)電子教案分析化學(xué)電子教案 本章學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容 準確度和精密度準確度和精密度 誤差來源和誤差分類誤差來源和誤差分類 隨機誤差的分布規(guī)律和有限數(shù)據(jù)的統(tǒng)計處理隨機誤差的分布規(guī)律和有限數(shù)據(jù)的統(tǒng)計處理 提高分析準確度的方法提高分析準確度的方法 有效數(shù)字及運算規(guī)則有效數(shù)字及運算規(guī)則1.1.1 準確度準確度(accuracy)及其表示及其表示誤差誤差1.1 1.1 準確度準確度與與精密度精密度 定量分析所得數(shù)據(jù)的優(yōu)劣，通常用定量分析所得數(shù)據(jù)的優(yōu)劣，通常用準確度準確度和和精密度精密度表示。表示。準確度準確度: 測定結(jié)果與真值接近的程度，用誤差衡量。測

2、定結(jié)果與真值接近的程度，用誤差衡量。 e = x - xt誤差誤差絕對誤差絕對誤差: 測量值與真值間的差值測量值與真值間的差值, 用用 e表示表示相對誤差相對誤差: 絕對誤差占真值的百分比絕對誤差占真值的百分比,用用er表示表示er =e/ /xt = x - xt / /xt100 真值真值t (true value) 某一物理量本身具有的客觀存在的真實值。真值是未知的、某一物理量本身具有的客觀存在的真實值。真值是未知的、客觀存在的量。在特定情況下客觀存在的量。在特定情況下認為認為 是已知的：是已知的：誤差越小，分析結(jié)果越接近真實值，準確誤差越小，分析結(jié)果越接近真實值，準確度也越高。度也越高

3、。誤差有正有負，誤差有正有負，x 為負誤差，說明測定為負誤差，說明測定結(jié)果偏低，反之亦然。結(jié)果偏低，反之亦然。相對誤差反映出誤差在真實值中所占的比相對誤差反映出誤差在真實值中所占的比例，衡量分析結(jié)果的準確度更為確切。例，衡量分析結(jié)果的準確度更為確切。tx例例1.1：測定含鐵樣品中：測定含鐵樣品中w(fe), 比較結(jié)果的準確度比較結(jié)果的準確度。xa.鐵礦中鐵礦中, t=62.38%, = 62.40%xea = t= 0.02%xb. li2co3試樣中試樣中, t=0. 42%, =0. 44%xea = t=0.02%ara.100%eet =0.02/62.38= 0.03%arb.100

4、%eet =0.02/0. 42=5% 如果分析天平的稱量誤差為如果分析天平的稱量誤差為0.2mg，擬分別稱取試，擬分別稱取試樣樣0.1g和和1g左右，左右， 稱量的相對誤差各為多少？稱量的相對誤差各為多少？ 這些結(jié)果說明了什么問題？這些結(jié)果說明了什么問題？可得可得mg2 . 0ga0002. 0%100ar%2 . 0%1001000. 00002. 01 . 0gggr%02. 0%1000000. 10002. 01gggr解：因分析天平的稱量誤差為解：因分析天平的稱量誤差為故讀數(shù)的絕對誤差故讀數(shù)的絕對誤差 根據(jù)根據(jù) 這說明，兩物體稱量的絕對誤差相等，但他們的相對這說明，兩物體稱量的絕對

5、誤差相等，但他們的相對誤差并不相同。也就是說，當(dāng)被測定的量較大時，相對誤誤差并不相同。也就是說，當(dāng)被測定的量較大時，相對誤差就比較小，測定的準確程度也就比較高。差就比較小，測定的準確程度也就比較高。 例：滴定管的讀數(shù)誤差為例：滴定管的讀數(shù)誤差為0.02ml。 （1）如果滴定中用去標準溶液的體積分別為）如果滴定中用去標準溶液的體積分別為2ml和和20ml左右，讀數(shù)的相對誤差各是多少？左右，讀數(shù)的相對誤差各是多少？ （2）從相對誤差的大小說明了什么問題？）從相對誤差的大小說明了什么問題？ 此題與本章的思考練習(xí)題中此題與本章的思考練習(xí)題中1.41.4相似。相似。 因滴定管的讀數(shù)誤差為因滴定管的讀數(shù)誤

6、差為ml02. 0， 故讀數(shù)的絕對誤差故讀數(shù)的絕對誤差mla02. 0 根據(jù)根據(jù)%100ar可得可得 %1%100202. 02mlmlmlr%1 . 0%1002002. 020mlmlmlr 這說明，量取兩溶液的絕對誤差相等，但他們的相這說明，量取兩溶液的絕對誤差相等，但他們的相對誤差并不相同。也就是說，當(dāng)被測定的量較大時，測對誤差并不相同。也就是說，當(dāng)被測定的量較大時，測量的相對誤差較小，測定的準確程度也就較高。量的相對誤差較小，測定的準確程度也就較高。 解：解：滴定的體積誤差和稱量的質(zhì)量誤差滴定的體積誤差和稱量的質(zhì)量誤差veaer20.00 ml 0.02 ml 0.1% 2.00 m

7、l 0.02 ml 1.0%meaer1.0000 g 0.2 mg 0. 02%0.1000 g 0.2 mg 0. 2% 例：標定濃度約為例：標定濃度約為0.1moll-1的的naoh，欲消耗，欲消耗naoh溶液溶液20ml左右，左右， （1）應(yīng)稱取基準物質(zhì)）應(yīng)稱取基準物質(zhì)h2c2o42h2o多少克？多少克？ （2）其稱量的相對誤差能否達到）其稱量的相對誤差能否達到0. 1%？ （3）若不能，可以用什么方法予以改善？）若不能，可以用什么方法予以改善？ （4）若改用鄰苯二甲酸氫鉀為基準物，結(jié)果又如）若改用鄰苯二甲酸氫鉀為基準物，結(jié)果又如何？何？ 根據(jù)方程根據(jù)方程2naoh+h2c2o4h2o

8、=na2c2o4+4h2o可知，可知， 需的需的h2c2o4h2o質(zhì)量質(zhì)量m1為：為：gm13. 007.1262020. 01 . 01 相對誤差為相對誤差為 %15. 0%10013. 00002. 01ggr 相對誤差大于相對誤差大于0.1% ，不能用，不能用h2c2o4h2o標定標定0.1moll-1的的naoh ，可以選用相對分子質(zhì)量大的作為基，可以選用相對分子質(zhì)量大的作為基準物來標定。準物來標定。 若改用若改用khc8h4o4為基準物時，則有：為基準物時，則有： khc8h4o4+ naoh= knac8h4o4+h2o需需khc8h4o4的質(zhì)量為的質(zhì)量為m2 ，則，則 20.1

9、0.020204.220.411mg20.0002100%0.049%0.41rgg相對誤差小于相對誤差小于0.1% ，可以用于標定，可以用于標定naoh。1.1.2 精密度精密度(precision)及其表示及其表示偏差偏差精密度精密度: 平行測定結(jié)果相互靠近的程度，用偏差衡量。平行測定結(jié)果相互靠近的程度，用偏差衡量。 偏差偏差: 測量值與平均值的差值，用測量值與平均值的差值，用 d表示表示d = x - xdi = 0偏差（偏差（deviation): 表示精密度高低的量。偏表示精密度高低的量。偏差小，精密度高。偏差的表示有：差小，精密度高。偏差的表示有：niidnd11minmaxxxr

10、111212ndnxxsniinii%100xscvxxdiixxdiiddrx不能反映一組平行測定結(jié)果的精密度。只能反映某次測不能反映一組平行測定結(jié)果的精密度。只能反映某次測定結(jié)果的精密度定結(jié)果的精密度niidnd11dd rx2、平均偏差與相對平均偏差、平均偏差與相對平均偏差一組平行測定結(jié)果間接近或者離散程度。一組平行測定結(jié)果間接近或者離散程度。一般分析工作中，結(jié)果以相對平均偏差表示。一般分析工作中，結(jié)果以相對平均偏差表示。 例例1-2 1-2 下列為兩組平行測定的數(shù)據(jù)中各次測定結(jié)果下列為兩組平行測定的數(shù)據(jù)中各次測定結(jié)果的絕對偏差，計算平均偏差。的絕對偏差，計算平均偏差。 1：0.1, 0

11、.4, 0.0, -0.3, 0.2, -0.3, 0.2, -0.2, -0.4, 0.3; 2: -0.1 , -0.2, 0.9, 0.0, 0.1, 0.1, 0.0, 0.1, -0.7 , -0.2。例例1-2 1-2 下列為兩組平行測定的數(shù)據(jù)中各次測下列為兩組平行測定的數(shù)據(jù)中各次測定結(jié)果的絕對偏差，計算平均偏差。定結(jié)果的絕對偏差，計算平均偏差。 1：0.1, 0.4, 0.0,-0.3,0.2,-0.3,0.2,-0.2,-0.4,0.3; 2: -0.1 ,-0.2,0.9, 0.0,0.1,0.1,0.0,0.1, -0.7 ,-0.2。121(0.1+ 0.4+ 0.0+0

12、.3+0.2+0.3+0.2+0.2+0.4+0.3)=0.2101(0.1+0.2+0.9+ 0.0+0.1+0.1+0.0+0.1+ 0.7+0.2)=0.210dd解：第二組的精密度差，極大值偏差很大的占多數(shù)，大的第二組的精密度差，極大值偏差很大的占多數(shù)，大的偏差得不到反應(yīng)。偏差得不到反應(yīng)。3 總體標準偏差和標準偏差總體標準偏差和標準偏差總體標準偏差總體標準偏差nxi2)（標準偏差標準偏差1)(2nxxsi無限次測量，無限次測量，對總體平均值的離散對總體平均值的離散有限次測量有限次測量對平均值的離散對平均值的離散自由度自由度1 nf計算一組數(shù)據(jù)分散計算一組數(shù)據(jù)分散度的獨立偏差數(shù)度的獨立偏

13、差數(shù)100%sc vx相對標準偏差相對標準偏差變異系數(shù)變異系數(shù)在例在例1.2中，兩組數(shù)據(jù)的平均偏差相同，但中，兩組數(shù)據(jù)的平均偏差相同，但s1=0.3, s2=0.4例例1-2 下列為兩組平行測定的數(shù)據(jù)中各次測定下列為兩組平行測定的數(shù)據(jù)中各次測定結(jié)果的絕對偏差，計算平均偏差。結(jié)果的絕對偏差，計算平均偏差。 1：0.1, 0.4, 0.0,-0.3,0.2,-0.3,0.2,-0.2,-0.4,0.3; 2: -0.1 ,-0.2,0.9, 0.0,0.1,0.1,0.0,0.1, -0.7 ,-0.2。標準偏差對極值反應(yīng)靈敏，用其表示精密度比用平標準偏差對極值反應(yīng)靈敏，用其表示精密度比用平均偏差

14、科學(xué)。均偏差科學(xué)。 例：某鐵礦石中鐵的質(zhì)量分數(shù)為例：某鐵礦石中鐵的質(zhì)量分數(shù)為39.19%，若：，若：甲的測定結(jié)果（甲的測定結(jié)果（%）是：）是：39.12，39.15，39.18；乙的測定結(jié)果（乙的測定結(jié)果（%）為：）為：39.19，39.24，39.28。 試比較甲乙兩人測定結(jié)果的準確度和精密度試比較甲乙兩人測定結(jié)果的準確度和精密度 （精密度以標準偏差和相對標準偏差表示之）。（精密度以標準偏差和相對標準偏差表示之）。%15.393%18.39%15.39%12.391nxx%04. 0%19.39%15.391txa%03. 013%)03. 0(%)03. 0(12221ndsixssr11

15、%08.0%100%15.39%03.0%100解：甲：解：甲： %24.393%28.39%24.39%19.392x%05. 0%19.39%24.392xa%05. 013%)04. 0(%)05. 0(12222ndsi%13. 0%100%24.39%05. 0%100222xssr 乙：乙： 由上面由上面|ea1|ea2|可知甲的準確度比乙高。可知甲的準確度比乙高。 s1s2sr1sr2 可知甲的精密度比乙高?？芍椎木芏缺纫腋?。綜上所述，甲測定結(jié)果的準確度和精密度均比乙高。綜上所述，甲測定結(jié)果的準確度和精密度均比乙高。極差極差r rminmaxxxr%100 xr相差相差21x

16、x相差21xxx相對相差=少數(shù)測定結(jié)果的離散程度。少數(shù)測定結(jié)果的離散程度。4、相差與極差、相差與極差 例：測定鐵礦石中鐵的質(zhì)量分數(shù)（以表示），例：測定鐵礦石中鐵的質(zhì)量分數(shù)（以表示），5次結(jié)果分別為：次結(jié)果分別為：67.48%，67.37%，67.47%，67.43%和和67.40%。 計算：計算：（1 1）平均偏差）平均偏差（2 2）相對平均偏差）相對平均偏差 （3 3）標準偏差；）標準偏差；（4 4）相對標準偏差；）相對標準偏差；（5 5）極差。）極差。 此題與本章的思考練習(xí)題中此題與本章的思考練習(xí)題中1.51.5相似。相似。 %43.675%407.67%43.67%47.67%37.67

17、%48.67x%04. 05%03. 0%04. 0%06. 0%05. 0|1idnd%06. 0%100%43.67%04. 0%100 xddr 解：（解：（1） （2） %05. 015%)03. 0(%)04. 0(%)06. 0(%)05. 0(122222ndsi%07. 0%100%43.67%05. 0%100 xssr（3）（4）（5）極差極差=x大大-x小小=67.48%-67.37%=0.11% 1.1.1.1.準確度與精密度的關(guān)系準確度與精密度的關(guān)系真實值真實值12341精密度和準確度都高，結(jié)果可靠精密度和準確度都高，結(jié)果可靠 2精密度高而準確度低，存在系統(tǒng)誤差精密度

18、高而準確度低，存在系統(tǒng)誤差 3精密度和準確度均不高，結(jié)果自然不可靠精密度和準確度均不高，結(jié)果自然不可靠 4精密度非常差，盡管正、負誤差恰好相互抵消而使平精密度非常差，盡管正、負誤差恰好相互抵消而使平均值接近真實值，但只是偶然的巧合，并不可靠均值接近真實值，但只是偶然的巧合，并不可靠 以打靶為例也能說明精度與準確度的關(guān)系。(1) 的精度很高，準確度也高； （2）的精度很高，但準確度不高；（3）的精度不高，準確度就更不用說了。 評價定量分析優(yōu)劣，應(yīng)從精密度和準確度評價定量分析優(yōu)劣，應(yīng)從精密度和準確度兩個方面衡量：兩個方面衡量： 精密度是保證準確度的先決條件，精密度精密度是保證準確度的先決條件，精密

19、度差說明測定結(jié)果的重現(xiàn)性差，所得結(jié)果不差說明測定結(jié)果的重現(xiàn)性差，所得結(jié)果不可靠（可靠（3、4）；精密度高準確度才可能高）；精密度高準確度才可能高 但是精密度高的不一定準確度也高（但是精密度高的不一定準確度也高（2）；）； 只有在消除了只有在消除了系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差之后，精密度越高，之后，精密度越高，準確度才越高（準確度才越高（1）。）。準確度與精密度的關(guān)系準確度與精密度的關(guān)系 結(jié)論：結(jié)論：1 1、精密度是保證準確度的前提。、精密度是保證準確度的前提。2 2、精密度高，不一定準確度就高。、精密度高，不一定準確度就高。補充題：測定某元素：補充題：測定某元素： 平均值平均值 標準偏差標準偏差 甲測定結(jié)

20、果甲測定結(jié)果 6.96% 0.03 乙測定結(jié)果乙測定結(jié)果 7.06% 0.03 若多次測若多次測定的總體平均值為定的總體平均值為7.02%,試比較甲乙測定結(jié)果的優(yōu)劣試比較甲乙測定結(jié)果的優(yōu)劣.解解: 甲甲 乙乙準確度（誤差）準確度（誤差） ea= x -0.06% 0.04% 精密度（相對標準偏差）精密度（相對標準偏差） 0.43% 0.42% 較好較好txxssr定量分析對精密度的要求：定量分析對精密度的要求： 當(dāng)方法直當(dāng)方法直接、操作比較簡單時，一般要求相對平接、操作比較簡單時，一般要求相對平均偏差在均偏差在0.1%0.2%左右。左右。 定量分析對準確度的要求：不同的測量定量分析對準確度的要

21、求：不同的測量對象對準確度要求不同。對象對準確度要求不同。組分質(zhì)量分數(shù) /% 100 10 1 0.1 0.010.0001相對誤差 re/% 0.10.3 1 12 5 101.2 誤差的來源和分類誤差的來源和分類 系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差(systematic error)某種固定的因素造成某種固定的因素造成的誤差（重復(fù)性、單向性）的誤差（重復(fù)性、單向性） 方法誤差、儀器誤差、試劑誤差、操作誤差方法誤差、儀器誤差、試劑誤差、操作誤差 隨機誤差隨機誤差(random error)不定的因素造成的誤差不定的因素造成的誤差 儀器誤差、操作誤差儀器誤差、操作誤差誤差的來源（誤差的來源（sources of

22、 error） 系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差 systematic error 由固定的原因造成的，使測定結(jié)果由固定的原因造成的，使測定結(jié)果系統(tǒng)偏高或偏低，重復(fù)出現(xiàn)，其大小可系統(tǒng)偏高或偏低，重復(fù)出現(xiàn)，其大小可測，具有測，具有“單向性單向性”?？捎眯Ｕㄏ??？捎眯Ｕㄏ?。根據(jù)其產(chǎn)生的原因分為以下根據(jù)其產(chǎn)生的原因分為以下4種。種。* 方法誤差（方法誤差（method error）：分析方法本身）：分析方法本身不完善而引起的。不完善而引起的。* 儀器和試劑誤差（儀器和試劑誤差（instrument and reagent error）：儀器本身不夠精確，試劑不純引）：儀器本身不夠精確，試劑不純引起誤差。起誤

23、差。* 操作誤差（操作誤差（operational error）：分析人員）：分析人員本身主觀因素引起的本身主觀因素引起的.隨機誤差隨機誤差- random error 由一些隨機偶然原因造成的、由一些隨機偶然原因造成的、 可變的、可變的、 無法避免，無法避免， 符合符合“正態(tài)分布正態(tài)分布”。儀器誤差、操作誤差儀器誤差、操作誤差過失過失 如果操作人員粗枝大葉，違反操作規(guī)程，發(fā)生溶如果操作人員粗枝大葉，違反操作規(guī)程，發(fā)生溶液濺失、加錯試劑、沉淀傳濾等現(xiàn)象，對結(jié)果產(chǎn)液濺失、加錯試劑、沉淀傳濾等現(xiàn)象，對結(jié)果產(chǎn)生影響，這些統(tǒng)稱為生影響，這些統(tǒng)稱為過失過失，屬于，屬于錯誤錯誤。 過失應(yīng)該過失應(yīng)該絕對避免

24、發(fā)生絕對避免發(fā)生，如有發(fā)生，所測定的，如有發(fā)生，所測定的結(jié)結(jié)果果應(yīng)該應(yīng)該棄去棄去。 隨機誤差與系統(tǒng)誤差隨機誤差與系統(tǒng)誤差 例：例：a a、b b、c c、d d 四個分析工作者對同一鐵標樣（四個分析工作者對同一鐵標樣（w wf fe e= = 37.40%) 37.40%) 中的鐵含量進行測量，得結(jié)果如圖示，比較其準中的鐵含量進行測量，得結(jié)果如圖示，比較其準確度與精密度。確度與精密度。36.00 36.50 37.00 37.50 38.00測量點測量點平均值平均值真值真值dcba隨機誤差太大，不可靠隨機誤差太大，不可靠隨機誤差和系統(tǒng)誤差都小隨機誤差和系統(tǒng)誤差都小隨機誤差低，系統(tǒng)誤差較高隨機誤

25、差低，系統(tǒng)誤差較高隨機誤差和系統(tǒng)誤差都大隨機誤差和系統(tǒng)誤差都大系統(tǒng)誤差與隨機誤差的比較系統(tǒng)誤差與隨機誤差的比較項目項目系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差隨機誤差隨機誤差產(chǎn)生原因產(chǎn)生原因固定因素，有時不存在固定因素，有時不存在不定因素，總是存在不定因素，總是存在分類分類方法誤差、儀器與試劑方法誤差、儀器與試劑誤差、操作誤差誤差、操作誤差儀器誤差、操作誤差儀器誤差、操作誤差( (環(huán)境環(huán)境的變化因素、主觀的變化的變化因素、主觀的變化因素等因素等) )性質(zhì)性質(zhì)重現(xiàn)性、單向性（或周重現(xiàn)性、單向性（或周期性）、可測性期性）、可測性服從概率統(tǒng)計規(guī)律、服從概率統(tǒng)計規(guī)律、不可測性不可測性影響影響準確度準確度精密度精密度消除或減小

26、消除或減小的方法的方法校正校正增加測定的次數(shù)增加測定的次數(shù)統(tǒng)計學(xué)方法處理統(tǒng)計學(xué)方法處理例：指出在下列情況下，各會引起哪種誤差？如果是系統(tǒng)誤例：指出在下列情況下，各會引起哪種誤差？如果是系統(tǒng)誤差，應(yīng)該采用什么方法減免？差，應(yīng)該采用什么方法減免？（1） 砝碼被腐蝕；砝碼被腐蝕；（2） 天平的兩臂不等長；天平的兩臂不等長；（3） 容量瓶和移液管不配套；容量瓶和移液管不配套；（4） 試劑中含有微量的被測組分；試劑中含有微量的被測組分；（5） 天平的零點有微小變動；天平的零點有微小變動；（6） 讀取滴定體積時最后一位數(shù)字估計不準；讀取滴定體積時最后一位數(shù)字估計不準；（7） 滴定時不慎從錐形瓶中濺出一滴溶

27、液；滴定時不慎從錐形瓶中濺出一滴溶液；（8） 標定標定hcl溶液用的溶液用的naoh標準溶液中吸收了標準溶液中吸收了co2。此題與本章的思考練習(xí)題中此題與本章的思考練習(xí)題中1.21.2相似。相似。 答答: :（1 1）系統(tǒng)誤差中的儀器誤差。減免的方法：校準儀器或更）系統(tǒng)誤差中的儀器誤差。減免的方法：校準儀器或更換儀器。換儀器。（2 2）系統(tǒng)誤差中的儀器誤差。減免的方法：校準儀器或更換）系統(tǒng)誤差中的儀器誤差。減免的方法：校準儀器或更換儀器。儀器。（3 3）系統(tǒng)誤差中的儀器誤差。減免的方法：校準儀器或更換）系統(tǒng)誤差中的儀器誤差。減免的方法：校準儀器或更換儀器。儀器。（4 4）系統(tǒng)誤差中的試劑誤差。

28、減免的方法：做空白實驗。）系統(tǒng)誤差中的試劑誤差。減免的方法：做空白實驗。（5 5）隨機誤差。）隨機誤差。（6 6）系統(tǒng)誤差中的操作誤差。減免的方法：多讀幾次取平均）系統(tǒng)誤差中的操作誤差。減免的方法：多讀幾次取平均值。值。（7 7）過失。）過失。（8 8）系統(tǒng)誤差中的試劑誤差。減免的方法：做空白實驗。）系統(tǒng)誤差中的試劑誤差。減免的方法：做空白實驗。1.3 1.3 隨機誤差的分布規(guī)律和有限數(shù)據(jù)的統(tǒng)計處理隨機誤差的分布規(guī)律和有限數(shù)據(jù)的統(tǒng)計處理1.3.1 隨機誤差的分布規(guī)律隨機誤差的分布規(guī)律1.3.2 有限數(shù)據(jù)的統(tǒng)計處理有限數(shù)據(jù)的統(tǒng)計處理1.3.3 可疑值得取舍可疑值得取舍2.2.1頻率分布no分組頻

29、數(shù)（ni)頻率（ni/n)頻率密度（ni/ns)115.8410.0050.17215.8710.0050.17315.9030.0150.51415.9380.0401.35515.96180.0913.03615.99340.1725.72716.02550.2789.26816.06400.2026.73某大學(xué)的學(xué)生對海水中的某大學(xué)的學(xué)生對海水中的鹵素進行測定，得到：鹵素進行測定，得到：198nlgs/047.074.24%88.38%數(shù)據(jù)集中與分散的趨勢數(shù)據(jù)集中與分散的趨勢lgx/01.16海水中鹵素測定值頻率海水中鹵素測定值頻率密度直方圖密度直方圖頻率密度直方圖0.002.004.0

30、06.008.0010.0015.8315.9015.9616.0216.0916.1516.21測量值頻率密度頻率密度分布圖0.002.004.006.008.0010.0015.815.916.016.116.216.3測量值頻率密度海水中鹵素測定值頻率密海水中鹵素測定值頻率密度分布圖度分布圖測量值與隨機誤差的正態(tài)分布測量值與隨機誤差的正態(tài)分布 總體平均值，表總體平均值，表示無限次測量值集示無限次測量值集中的趨勢。中的趨勢。 總體標準偏差，總體標準偏差，表示無限次測量分表示無限次測量分散的程度。散的程度。 1 1=0.047=0.047 2 2=0.02=0.023 3 x x0 0 x-

31、x- 測量值的正態(tài)分布測量值的正態(tài)分布隨機誤差的正態(tài)分布隨機誤差的正態(tài)分布測量值和隨機誤差的正態(tài)分布體現(xiàn)了測量值和隨機誤差的正態(tài)分布體現(xiàn)了隨機誤差的隨機誤差的概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計規(guī)律規(guī)律1 1、小誤差出現(xiàn)的概率大，大誤差出現(xiàn)的概率??；特別大的誤、小誤差出現(xiàn)的概率大，大誤差出現(xiàn)的概率??；特別大的誤差出現(xiàn)的概率極小。差出現(xiàn)的概率極小。2 2、正誤差出現(xiàn)的概率與負誤差出現(xiàn)的概率相等。、正誤差出現(xiàn)的概率與負誤差出現(xiàn)的概率相等。3 3、x = x = 時，時，y y 值最大，體現(xiàn)了測量值的集中趨勢。集中的值最大，體現(xiàn)了測量值的集中趨勢。集中的 程度與程度與 有關(guān)。有關(guān)。平均值平均值222)(21xeyx總體

32、標準偏差總體標準偏差 相同，相同，總體平均值總體平均值 不同不同總體平均值總體平均值 相同，總相同，總體標準偏差體標準偏差 不同不同原因：原因：1 1、總體不同、總體不同2 2、同一總體，存在系統(tǒng)、同一總體，存在系統(tǒng)誤差誤差原因：原因：同一總體，精密度不同同一總體，精密度不同1.3.2 1.3.2 有限數(shù)據(jù)的統(tǒng)計處理有限數(shù)據(jù)的統(tǒng)計處理樣本容量樣本容量n: 樣本所含的個體數(shù)樣本所含的個體數(shù) 總體總體樣本樣本數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)抽樣抽樣觀測觀測統(tǒng)計統(tǒng)計置信區(qū)間與置信概率置信區(qū)間與置信概率 目的：在無真實值的情況下，如何評價測目的：在無真實值的情況下，如何評價測定結(jié)果的可靠性？需要在測量值附近估計定結(jié)果的可靠性

33、？需要在測量值附近估計出真實值可能存在的范圍以及這一范圍估出真實值可能存在的范圍以及這一范圍估計正確與否的概率，由此引出置信區(qū)間與計正確與否的概率，由此引出置信區(qū)間與置信概率的問題。置信概率的問題。 1、 置信區(qū)間置信區(qū)間 ：在一定置信度下，以測：在一定置信度下，以測定結(jié)果定結(jié)果 為中心的、包括總體平均值為中心的、包括總體平均值在在內(nèi)的可靠性范圍。內(nèi)的可靠性范圍。 2、置信概率、置信概率p：測定值在置信區(qū)間內(nèi)出：測定值在置信區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)的概率（也稱置信度）。一般分析化學(xué)現(xiàn)的概率（也稱置信度）。一般分析化學(xué)選選90%或或95%。x置信區(qū)間置信區(qū)間 計算公式：計算公式： 根據(jù)隨機誤差的正態(tài)分布規(guī)律，

34、有根據(jù)隨機誤差的正態(tài)分布規(guī)律，有限次測定的限次測定的總體平均值總體平均值與測定的與測定的平均值平均值 和標準偏差和標準偏差s及校正系數(shù)及校正系數(shù) t 有如下關(guān)系：有如下關(guān)系： xntsx 即：總體平均值即：總體平均值將包括在將包括在 的區(qū)間內(nèi)，因此稱此區(qū)間為置信區(qū)間的區(qū)間內(nèi)，因此稱此區(qū)間為置信區(qū)間 。ntsxntsx, 校正系數(shù)校正系數(shù) t與與置信概率置信概率p、測定次數(shù)、測定次數(shù)n（或（或f）有關(guān)，可查有關(guān)，可查表表1-3 t 值分布表值分布表。 表表示置信概率為示置信概率為95%（顯著性水平（顯著性水平a=1-p）、測定）、測定11次的次的t 值。值。 p增大增大 t增大增大置信區(qū)間增大。

35、置信區(qū)間增大。 由上式知，若評價測定值由上式知，若評價測定值 是否可靠？可在是否可靠？可在一定置信度下由一定置信度下由 、 s、 t 求出求出 的置信區(qū)間的置信區(qū)間 ntsxntsx,；置信區(qū)間越小置信區(qū)間越小，說，說 明測定值與總體平均值明測定值與總體平均值（真實值）（真實值）越接近越接近，故測定值故測定值越可靠越可靠。 xxx10,05. 0,ttfa 例例1 某銨鹽含氮量的測定結(jié)果為某銨鹽含氮量的測定結(jié)果為 =21.30%; s=0.06%;n=4。求置信概率分別為。求置信概率分別為95%和和99%時平時平均值的置信區(qū)間。若測均值的置信區(qū)間。若測10次（設(shè)次（設(shè) 、s不變），置不變），置

36、信概率為信概率為99%時平均值的置信區(qū)間為多少？結(jié)果時平均值的置信區(qū)間為多少？結(jié)果說明什么？說明什么？x解：當(dāng)解：當(dāng)n=4, =3,p=95%時時，查表，查表3-2，t=3.18，所以，所以 )%10. 030.21(4%06. 018. 3%30.21x)%18. 030.21(4%06. 084. 5%30.21結(jié)果結(jié)果 當(dāng)當(dāng)n=4，p=99%時，查表時，查表9-2， 84. 53 ,01. 0t 當(dāng)當(dāng)n=10，p=99%時，查表時，查表9-2， 25. 39 ,01. 0t)%06. 030.21(10%06. 025. 3%30.211.n=4有有95%的把握的把握認為認為,銨鹽的含氮

37、量在銨鹽的含氮量在21.2021.40%2.n=4有有99%的把握的把握認為認為,銨鹽的含氮量在銨鹽的含氮量在21.1221.48%3.n=10有有99%的把握的把握認為認為,銨鹽的含氮量在銨鹽的含氮量在21.2421.36%注意注意: 結(jié)果說明結(jié)果說明 置信概率的高低反映測定值的可靠程度。置信概置信概率的高低反映測定值的可靠程度。置信概率并非越高越好率并非越高越好! 因為因為p增大增大 t增大增大置信區(qū)間增大置信區(qū)間增大,測定值的精度降低；置信概率也不可太低測定值的精度降低；置信概率也不可太低!因為雖然因為雖然p減小會使置信區(qū)間減小減小會使置信區(qū)間減小,但測定值的可靠程度降低但測定值的可靠程

38、度降低.不可靠的高精度同樣無意義！不可靠的高精度同樣無意義！置信區(qū)間的大小反映測定值的精度。相同置信概率置信區(qū)間的大小反映測定值的精度。相同置信概率時，時，n大，置信區(qū)間減小，分析結(jié)果的精度將提高。大，置信區(qū)間減小，分析結(jié)果的精度將提高。比較多個測定值的準確程度，應(yīng)在同一置信概率下比較多個測定值的準確程度，應(yīng)在同一置信概率下進行。否則沒有可比性。進行。否則沒有可比性。 例：對其未知試樣中例：對其未知試樣中cl-的質(zhì)量分數(shù)進行測定，的質(zhì)量分數(shù)進行測定，4次次結(jié)果為結(jié)果為47.64%，47.69%，47.52%，47.55%。 計算置信度為計算置信度為90%，95%和和99%時，總體平均值時，總體

39、平均值的的置信區(qū)間。置信區(qū)間。%60.474%55.47%52.47%69.47%64.47x%08.01)(2nxxs置信度為 90%時，t0.10，3=2.35)%09. 0%60.47(,nstxf置信度為 95%時，t0.05，3=3.18 )%13. 060.47(置信度為 99%時，t0.01，3=5.84)%23.060.47(置置信信度度越越高高，置置信信區(qū)區(qū)間間就就越越大大，所所估估計計的的區(qū)區(qū)間間包包括括真真值值的的可可能能性性也也就就越越大大，置置信信度度定定在在 95%或或 90%。例題例題分析鐵礦中的鐵的質(zhì)量分數(shù)，得到如下數(shù)據(jù)：分析鐵礦中的鐵的質(zhì)量分數(shù)，得到如下數(shù)據(jù)：

40、37.45，37.20，37.50，37.30，37.25（%）。）。（1）計算此結(jié)果的平均值、中位值、極差、平均偏差、標準）計算此結(jié)果的平均值、中位值、極差、平均偏差、標準偏差、變異系數(shù)。偏差、變異系數(shù)。（2）求置信度分別為）求置信度分別為95%和和99%的置信區(qū)間。的置信區(qū)間。解（解（1 1）分析結(jié)果）分析結(jié)果: :%13. 0%,34.37, 5sxn例題例題 解（解（1）%34.37%525.3730.3750.3720.3745.37x%30.37mx%30. 0%20.37%50.37r%11. 0)%09. 016. 004. 014. 011. 0(5111xxndndii例題

41、例題 續(xù)解（續(xù)解（1 1）%35. 0%10034.3713. 0%100 xscv分析結(jié)果：分析結(jié)果：%13. 0%,34.37, 5sxn%13. 015)09. 0()16. 0()04. 0()14. 0()11. 0(1)12222222nxxndsii（解解(2) (2) 求置信度分別為求置信度分別為95%95%和和99%99%的置信區(qū)間的置信區(qū)間置信度為置信度為95%，即，即1- = 0.95， = 0.05，t 0.05, 4 = 2.78 的的95%置信區(qū)間：置信區(qū)間：），（），（，%50.37%18.375%13.078.2%34.375%13.078.2%34.37),(

42、,nstxnstxfafa%13.0%,34.37, 5sxn（1）的結(jié)果）的結(jié)果置信度為置信度為99%，即，即1- = 0.99， = 0.01，t 0.01,4= 4.60 的的99%置信區(qū)間置信區(qū)間），（，%61.37%07.37),nstxnstxfafa結(jié)結(jié) 論論 置信度高，置信區(qū)間大置信度高，置信區(qū)間大 區(qū)間的大小反映估計的精度區(qū)間的大小反映估計的精度 置信度的高低說明估計的把握程度。置信度的高低說明估計的把握程度。 測定鋼中鉻的質(zhì)量分數(shù)，測定鋼中鉻的質(zhì)量分數(shù)，5次測定結(jié)果的平均值為次測定結(jié)果的平均值為1.13%，標準偏差為，標準偏差為0.022%。計算：計算： 如使如使的置信區(qū)間

43、為的置信區(qū)間為1.13% 0.01%，問至少應(yīng)平行，問至少應(yīng)平行測定多少次？置信度均為測定多少次？置信度均為0.95。nstxstxfpxfp,%01. 0,nstxfp%022. 0s5 . 0%022. 0%01. 0nt201 nf09. 220,95. 0t5 . 02109. 21.3.3 可疑值的取舍可疑值的取舍 outlier rejection 可疑值也稱離群值，是指對同一樣品進可疑值也稱離群值，是指對同一樣品進行多次重復(fù)測定時，常有個別值比其它同行多次重復(fù)測定時，常有個別值比其它同組測定值明顯地偏大或偏小。若確實由于組測定值明顯地偏大或偏小。若確實由于實驗技術(shù)上的過失或?qū)嶋H過

44、程中的失誤所實驗技術(shù)上的過失或?qū)嶋H過程中的失誤所致，則應(yīng)將該值舍去；否則不能隨意地剔致，則應(yīng)將該值舍去；否則不能隨意地剔除或保留，必須通過統(tǒng)計檢驗決定可疑值除或保留，必須通過統(tǒng)計檢驗決定可疑值的取舍，再求平均值。的取舍，再求平均值。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：小概率事件的原則數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：小概率事件的原則異常值的檢驗方法：異常值的檢驗方法：1. 4d法法（1 1）在一組數(shù)據(jù)中除去可疑值后，計算）在一組數(shù)據(jù)中除去可疑值后，計算平均值和平平均值和平均偏差均偏差。（2 2）計算）計算可疑值與平均值可疑值與平均值之差（應(yīng)取絕對值）之差（應(yīng)取絕對值）。（3 3）如果）如果大于等于大于等于4 4倍的平均偏差倍的平均偏差，則可疑

45、值應(yīng)該，則可疑值應(yīng)該省去。省去。當(dāng)當(dāng)4d法與其他檢驗法矛盾時，法與其他檢驗法矛盾時，以其他法則為準。以其他法則為準。 在實驗中得到一組數(shù)據(jù)，個別數(shù)據(jù)離群較遠，這一數(shù)據(jù)稱為異在實驗中得到一組數(shù)據(jù)，個別數(shù)據(jù)離群較遠，這一數(shù)據(jù)稱為異常值、可疑值或極端值。若是過失造成的，則這一數(shù)據(jù)必須舍去。常值、可疑值或極端值。若是過失造成的，則這一數(shù)據(jù)必須舍去。異常值不能隨意取舍，特別是當(dāng)測量數(shù)據(jù)較少時。異常值不能隨意取舍，特別是當(dāng)測量數(shù)據(jù)較少時。114nndxx可疑值例例1-4 某分析工作，某分析工作，5次平行測定結(jié)果分別為：次平行測定結(jié)果分別為：20.18%, 20.16%, 20.10%, 20.20%, 2

46、0.18%,用用4d法判斷法判斷20.10%是否應(yīng)當(dāng)舍去。是否應(yīng)當(dāng)舍去。例例1-4 某分析工作，某分析工作，5次平行測定結(jié)果分別為：次平行測定結(jié)果分別為：20.18%, 20.16%, 20.10%, 20.20%, 20.18%,用用4d法判斷法判斷20.10%是否應(yīng)是否應(yīng)當(dāng)舍去。當(dāng)舍去。20.18%+20.16%+20.20%+20.18%20.18%4111(0.000.020.020.00)%0.01%440.04%20.10%20.18%0.08%420.10%iixddxxnndxxd所以，應(yīng)該舍去。2. q 檢驗法檢驗法 dixons q-test（1 1）將測量的數(shù)據(jù)按大小順序

47、排列。）將測量的數(shù)據(jù)按大小順序排列。nxxxx.,321（2 2）計算測定值的極差）計算測定值的極差r r 。（3 3）計算可疑值與相鄰值之差（應(yīng)取絕對值）計算可疑值與相鄰值之差（應(yīng)取絕對值）d d。（4 4）計算）計算q q值：值：rdq計算（5 5）比較：）比較：表計算qq舍棄。舍棄。舍棄商舍棄商q q值值測定次數(shù)測定次數(shù)n n3 34 45 56 67 78 89 91010q q 0.900.900.940.94 0.760.76 0.640.64 0.560.56 0.510.51 0.470.47 0.440.44 0.410.41q q 0.950.950.970.97 0.84

48、0.84 0.730.73 0.640.64 0.590.59 0.540.54 0.510.51 0.490.49q值越大，說明值越大，說明xn離群越遠。離群越遠。q稱為稱為“舍棄商舍棄商”。測定堿灰總堿量（測定堿灰總堿量（%na2o)得到得到6個數(shù)據(jù)，按其大小順序排個數(shù)據(jù)，按其大小順序排列為列為40.02，40.12，40.16，40.18，40.18，40.20。第一個。第一個數(shù)據(jù)可疑，判斷是否應(yīng)舍棄？（置性度為數(shù)據(jù)可疑，判斷是否應(yīng)舍棄？（置性度為90%）。）。解解56. 002.4020.4002.4012.40計算q查表查表 n = 6 , q表表 = 0.56 = q計算計算 舍棄

49、舍棄例題1-5：1 1 選擇合適的分析方法選擇合適的分析方法(1)(1) 根據(jù)試樣的中待測組分的含量選擇分析方根據(jù)試樣的中待測組分的含量選擇分析方法。高含量組分用滴定分析或重量分析法；低法。高含量組分用滴定分析或重量分析法；低含量用儀器分析法。含量用儀器分析法。(2) (2) 充分考慮試樣中共存組分對測定的干擾，充分考慮試樣中共存組分對測定的干擾， 采用適當(dāng)?shù)难诒位蚍蛛x方法。采用適當(dāng)?shù)难诒位蚍蛛x方法。(3) (3) 對于痕量組分，分析方法的靈敏度不能滿對于痕量組分，分析方法的靈敏度不能滿足分析的要求，可先定量富集后再進行測定足分析的要求，可先定量富集后再進行測定. .1.4 提高測定準確度的措

50、施提高測定準確度的措施2 減小測量誤差減小測量誤差 稱量：分析天平的稱量誤差為稱量：分析天平的稱量誤差為0.0002g，為了，為了使測量時的相對誤差在使測量時的相對誤差在0.1%以下，試樣質(zhì)量必以下，試樣質(zhì)量必須在須在0.2 g以上。以上。 滴定管讀數(shù)常有滴定管讀數(shù)常有0.0l ml的誤差，在一次滴定的誤差，在一次滴定中，讀數(shù)兩次，可能造成中，讀數(shù)兩次，可能造成0.02 ml的誤差。為的誤差。為使測量時的相對誤差小于使測量時的相對誤差小于0.1%，消耗滴定劑的，消耗滴定劑的體積必須在體積必須在20 ml以上，最好使體積在以上，最好使體積在25 ml左左右，一般在右，一般在20至至30ml之間。

51、之間。微量組分的光度測定中，可將稱量的準確度提微量組分的光度測定中，可將稱量的準確度提高約一個數(shù)量級高約一個數(shù)量級。3 減小隨機誤差減小隨機誤差 在消除系統(tǒng)誤差的前提下，平行測定次數(shù)愈在消除系統(tǒng)誤差的前提下，平行測定次數(shù)愈多，平均值愈接近真實值。因此，多，平均值愈接近真實值。因此，增加測定次增加測定次數(shù)數(shù)，可以提高平均值精密度。在化學(xué)分析中，可以提高平均值精密度。在化學(xué)分析中，對于同一試樣，通常要求平行測定（對于同一試樣，通常要求平行測定（parallel determination）24次。次。 由于系統(tǒng)誤差是由某種固定的原因造成的，由于系統(tǒng)誤差是由某種固定的原因造成的， 因而找出這一原因，

52、就可以找出系統(tǒng)誤差并且因而找出這一原因，就可以找出系統(tǒng)誤差并且除系統(tǒng)誤差的來源。除系統(tǒng)誤差的來源。u找出系統(tǒng)誤差找出系統(tǒng)誤差-對照試驗對照試驗u消除系統(tǒng)誤差消除系統(tǒng)誤差空白試驗空白試驗- blank test校準儀器校準儀器 -calibration instrument分析結(jié)果的校正分析結(jié)果的校正-correction result4 消除系統(tǒng)誤差消除系統(tǒng)誤差對照試驗對照試驗-contrast test與標準試樣的標準結(jié)果進行對照與標準試樣的標準結(jié)果進行對照; ; 標準試樣、管理樣、合成樣、加入回收法。標準試樣、管理樣、合成樣、加入回收法。與其它成熟的分析方法進行對照與其它成熟的分析方法進行

53、對照; ; 國家標準分析方法或公認的經(jīng)典分析方法。國家標準分析方法或公認的經(jīng)典分析方法。由不同分析人員，不同實驗室來進行對照試驗。由不同分析人員，不同實驗室來進行對照試驗。 內(nèi)檢、外檢。內(nèi)檢、外檢。(1) (1) 空白試驗空白試驗 空白實驗：在不加待測組分的情況下，按照試空白實驗：在不加待測組分的情況下，按照試樣分析同樣的操作手續(xù)和條件進行實驗，所測樣分析同樣的操作手續(xù)和條件進行實驗，所測定的結(jié)果為空白值，從試樣測定結(jié)果中扣除空定的結(jié)果為空白值，從試樣測定結(jié)果中扣除空白值，來校正分析結(jié)果。白值，來校正分析結(jié)果。 消除由試劑、蒸餾水、實驗器皿和環(huán)境帶入的消除由試劑、蒸餾水、實驗器皿和環(huán)境帶入的雜

54、質(zhì)引起的系統(tǒng)誤差，但空白值不可太大。雜質(zhì)引起的系統(tǒng)誤差，但空白值不可太大。(2)(2)校準儀器校準儀器 儀器不準確引起的系統(tǒng)誤差，通過校準儀儀器不準確引起的系統(tǒng)誤差，通過校準儀器來減小其影響。例如砝碼、移液管和滴定管器來減小其影響。例如砝碼、移液管和滴定管等，在精確的分析中，必須進行校準，并在計等，在精確的分析中，必須進行校準，并在計算結(jié)果時采用校正值。算結(jié)果時采用校正值。(3)(3)分析結(jié)果的校正分析結(jié)果的校正 校正分析過程的方法誤差，校正分析過程的方法誤差，例用重量法測例用重量法測定試樣中高含量的定試樣中高含量的siosio2 2，因硅酸鹽沉淀不完全，因硅酸鹽沉淀不完全而使測定結(jié)果偏低，可

55、用光度法測定濾液中少而使測定結(jié)果偏低，可用光度法測定濾液中少量的硅，而后將分析結(jié)果相加。量的硅，而后將分析結(jié)果相加。1.5 1.5 有效數(shù)字及運算規(guī)則有效數(shù)字及運算規(guī)則 m 臺秤臺秤(稱至稱至0.1g): 12.8g(3), 0.5g(1), 1.0g(2) 分析天平分析天平(稱至稱至0.1mg): 12.8218g(6),0.5024g(4), 0.0500g(3)v 滴定管滴定管(量至量至0.01ml):26.32ml(4), 3.97ml(3) 容量瓶容量瓶:100.0ml(4),250.0ml (4) 移液管移液管:25.00ml(4); 量筒量筒(量至量至1ml或或0.1ml):26

56、ml(2), 4.0ml(2)包括全部可靠數(shù)字及一位不確定數(shù)字在內(nèi)有效數(shù)字位數(shù)由儀器包括全部可靠數(shù)字及一位不確定數(shù)字在內(nèi)有效數(shù)字位數(shù)由儀器準確度決定，它直接影響測定的相對誤差準確度決定，它直接影響測定的相對誤差.1.5.1 1.5.1 有效數(shù)字有效數(shù)字- -實際能測量到的數(shù)字實際能測量到的數(shù)字 定義：在實驗中儀器能測得的有實際意義的數(shù)字。定義：在實驗中儀器能測得的有實際意義的數(shù)字。 組成：由準確數(shù)字加一位欠準確數(shù)字組成。組成：由準確數(shù)字加一位欠準確數(shù)字組成。幾項規(guī)定（有效數(shù)字位數(shù)的確定）幾項規(guī)定（有效數(shù)字位數(shù)的確定）數(shù)字前數(shù)字前0不計不計,數(shù)字后計入數(shù)字后計入 : 0.02450g(4) 24

57、5.0mg(4)數(shù)字后的數(shù)字后的0含義不清楚時含義不清楚時, 最好用指數(shù)形式表示最好用指數(shù)形式表示1000 ( 1.0103 ，1.00103 ,1.000 103 )自然數(shù)可看成具有無限多位數(shù)自然數(shù)可看成具有無限多位數(shù)(如倍數(shù)關(guān)系、分如倍數(shù)關(guān)系、分數(shù)關(guān)系數(shù)關(guān)系)；常數(shù)亦可看成具有無限多位數(shù)，如；常數(shù)亦可看成具有無限多位數(shù)，如e, 數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)的第一位數(shù)大于等于第一位數(shù)大于等于8的的,可看作多一位有效數(shù)字，如可看作多一位有效數(shù)字，如 9.45104, 95.2%, 9.61（4） 對數(shù)與指數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)按尾數(shù)計，如：對數(shù)與指數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)按尾數(shù)計，如：ph pm pk ph=11.02, 則

58、則h+=9.510-12 誤差只需保留誤差只需保留12位；位； 化學(xué)平衡計算中化學(xué)平衡計算中,結(jié)果一般為兩位有效數(shù)字結(jié)果一般為兩位有效數(shù)字(由于由于k值一般為值一般為兩位有效數(shù)字兩位有效數(shù)字)； 常量分析法一般為常量分析法一般為4位位有效數(shù)字有效數(shù)字(er0.1%），微量分析為），微量分析為23位位。 2 有效數(shù)字的修約規(guī)則有效數(shù)字的修約規(guī)則 “四舍六入五成雙四舍六入五成雙”規(guī)則：當(dāng)測量值中修約的規(guī)則：當(dāng)測量值中修約的那個數(shù)字等于或小于那個數(shù)字等于或小于4時，該數(shù)字舍去；等于或大時，該數(shù)字舍去；等于或大于于6時，進位；等于時，進位；等于5時（時（5后面無數(shù)據(jù)或是后面無數(shù)據(jù)或是0時時），），如進

59、位后如進位后末位數(shù)為偶數(shù)則進位，舍去后末位數(shù)位末位數(shù)為偶數(shù)則進位，舍去后末位數(shù)位偶數(shù)則舍去。偶數(shù)則舍去。5后面有數(shù)時，進位。后面有數(shù)時，進位。修約數(shù)字時，修約數(shù)字時，只允許對原測量值一次修約到所需要的位數(shù)，不只允許對原測量值一次修約到所需要的位數(shù)，不能分次修約能分次修約。 “ “四舍六入五成雙四舍六入五成雙”； 將下列數(shù)字修約為兩位將下列數(shù)字修約為兩位 3.2493.249 3.2 3.2 “ “四舍四舍”8.361 8.48.361 8.4 “ “六入六入”6.550 6.6 “6.550 6.6 “五成雙五成雙”6.250 6.2 “6.250 6.2 “五成雙五成雙”6.2501 6.3

60、 “6.2501 6.3 “五后有數(shù)需進位五后有數(shù)需進位”只可保留最后一位欠準確數(shù)字；一次修約只可保留最后一位欠準確數(shù)字；一次修約 例例 將將5.54915.5491修約為修約為2 2位有效數(shù)字。位有效數(shù)字。 修約為修約為5.55.5。 修約為修約為5.549-5.55-5.65.549-5.55-5.6四舍六入五成雙四舍六入五成雙 0.32554 0.3255 0.36236 0.3624 10.2150 10.22 150.65 150.6 75.5 76 16.0851 16.09下列數(shù)據(jù)各包括了幾位有效數(shù)字？下列數(shù)據(jù)各包括了幾位有效數(shù)字？（1）0.0330 (2) 10.030 (3)