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1、關(guān)于求積分的各種方法的總結(jié) 摘要:函數(shù)的積分問題是復變函數(shù)輪的主要內(nèi)容,也是其基礎部分,因此有必要總結(jié)歸納求積分的各種方法.其主要方法有:利用柯西積分定理,柯西積分公式和用留數(shù)定理求積分等方法.現(xiàn)將這些方法逐一介紹.關(guān)鍵詞:積分,解析,函數(shù),曲線1. 利用定義求積分例1、計算積分,積分路徑c是連接由0到的直線段.解:為從點0到點的直線方程,于是 .2. 利用柯西積分定理求積分柯西積分定理:設在單連通區(qū)域內(nèi)解析,為內(nèi)任一條周線,則.柯西積分定理的等價形式:設是一條周線,為之內(nèi)部,在閉域上解析,則.例2、求,其中為圓周,解:圓周為,被積函數(shù)的奇點為,在的外部,于是,在以為邊界的閉圓上解析,故由柯西

2、積分定理的等價形式得.如果為多連通區(qū)域,有如下定理:設是由復周線所構(gòu)成的有界多連通區(qū)域,在內(nèi)解析,在上連續(xù),則.例3.計算積分.分析:被積函數(shù)在上共有兩個奇點和,在內(nèi)作兩個充分小圓周,將兩個奇點挖掉,新區(qū)域的新邊界就構(gòu)成一個復周線,可應用上定理.解:顯然,任作以與以為心,充分小半徑的圓周及,將二奇點挖去,新邊界構(gòu)成復周線 . .3. 利用柯西積分公式求積分設區(qū)域的邊界是周線或復周線,函數(shù)在內(nèi)解析,在上連續(xù),則有 ,即.例4.計算積分的值,其中解:因為在上解析, ,由柯西積分公式得. 設區(qū)域的邊界是周線或復周線,函數(shù)在內(nèi)解析,在上連續(xù),則函數(shù)在區(qū)域內(nèi)有各階導數(shù),并且有 即.例5.計算積分,其中是

3、繞一周的周線.解:因為在平面上解析,所以 .例6. 求積分,其中為圓周.解: 另外,若為周線內(nèi)部一點,則 (,且為整數(shù)). 4. 應用留數(shù)定理求復積分在復周線或周線所圍的區(qū)域內(nèi),除外解析,在閉域上除外連續(xù),則.設為的階極點,其中在點解析,則.例7.計算積分解:被積函數(shù)在圓周的內(nèi)部只有一階極點及, 因此,由留數(shù)定理可得.例8.計算積分.解:只以為三階極點, 由留數(shù)定理得 .5. 用留數(shù)定理計算實積分某些實的定積分可應用留數(shù)定理進行計算,尤其是對原函數(shù)不易直接求得的定積分和反常積分,常是一個有效的辦法,其要點是將它劃歸為復變函數(shù)的周線積分.5.1計算型積分 令,則,此時有.例9. 解:令,則, ,其中, 應用留數(shù)定理得.若為的偶函數(shù),則之值亦可用上述方法求之,因為此時,仍然令. 例10.計算 (為實數(shù)且) 分析:因為, 直接令,則,于是.解: 應用留數(shù)定理,當時, 當時

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