關(guān)于復變函數(shù)積分求解總結(jié)章節(jié)練習

1、關(guān)于求積分的各種方法的總結(jié) 摘要：函數(shù)的積分問題是復變函數(shù)輪的主要內(nèi)容，也是其基礎部分，因此有必要總結(jié)歸納求積分的各種方法.其主要方法有：利用柯西積分定理，柯西積分公式和用留數(shù)定理求積分等方法.現(xiàn)將這些方法逐一介紹.關(guān)鍵詞：積分，解析，函數(shù)，曲線1. 利用定義求積分例1、計算積分，積分路徑c是連接由0到的直線段.解：為從點0到點的直線方程，于是 .2. 利用柯西積分定理求積分柯西積分定理：設在單連通區(qū)域內(nèi)解析，為內(nèi)任一條周線，則.柯西積分定理的等價形式：設是一條周線，為之內(nèi)部，在閉域上解析，則.例2、求，其中為圓周，解：圓周為，被積函數(shù)的奇點為，在的外部，于是，在以為邊界的閉圓上解析，故由柯西

2、積分定理的等價形式得.如果為多連通區(qū)域，有如下定理：設是由復周線所構(gòu)成的有界多連通區(qū)域，在內(nèi)解析，在上連續(xù)，則.例3.計算積分.分析：被積函數(shù)在上共有兩個奇點和，在內(nèi)作兩個充分小圓周，將兩個奇點挖掉，新區(qū)域的新邊界就構(gòu)成一個復周線，可應用上定理.解：顯然，任作以與以為心，充分小半徑的圓周及，將二奇點挖去，新邊界構(gòu)成復周線 . .3. 利用柯西積分公式求積分設區(qū)域的邊界是周線或復周線，函數(shù)在內(nèi)解析，在上連續(xù)，則有 ，即.例4.計算積分的值，其中解：因為在上解析， ，由柯西積分公式得. 設區(qū)域的邊界是周線或復周線，函數(shù)在內(nèi)解析，在上連續(xù)，則函數(shù)在區(qū)域內(nèi)有各階導數(shù)，并且有 即.例5.計算積分，其中是

3、繞一周的周線.解：因為在平面上解析，所以 .例6. 求積分，其中為圓周.解： 另外,若為周線內(nèi)部一點，則 （，且為整數(shù)）. 4. 應用留數(shù)定理求復積分在復周線或周線所圍的區(qū)域內(nèi)，除外解析，在閉域上除外連續(xù)，則.設為的階極點，其中在點解析，則.例7.計算積分解：被積函數(shù)在圓周的內(nèi)部只有一階極點及， 因此，由留數(shù)定理可得.例8.計算積分.解：只以為三階極點， 由留數(shù)定理得 .5. 用留數(shù)定理計算實積分某些實的定積分可應用留數(shù)定理進行計算，尤其是對原函數(shù)不易直接求得的定積分和反常積分，常是一個有效的辦法，其要點是將它劃歸為復變函數(shù)的周線積分.5.1計算型積分 令，則，此時有.例9. 解：令，則， ，其中， 應用留數(shù)定理得.若為的偶函數(shù)，則之值亦可用上述方法求之，因為此時，仍然令. 例10.計算 （為實數(shù)且） 分析：因為， 直接令，則，于是.解： 應用留數(shù)定理，當時， 當時