第二學期高等數學B期末考試試卷A卷答案

1、第二學期高等數學期末考試試卷（a卷）答案第二學期高等數學b（）期末考試試卷（a卷）答案一填空題（本題滿分15分，共有5道小題，每道小題3分），請將合適的答案填在空中 1設，則 _ 解： 由，得，所以， 應填： 2交換累次積分的順序 _ 解： 應填： 3設，則_ 解： ，所以， ，所以，而， 應填： 4設冪級數的收斂半徑為，冪級數的收斂半徑為，且，則冪級數的收斂半徑為_ 解： 由于冪級數的收斂半徑為，冪級數的收斂半徑為，且，所以冪級數的收斂半徑為 應填： 5微分方程的通解為_ 解： 這是一個可分離變量的微分方程，由，得，兩端積分，得，得所以，即 （為任意常數） 應填： （為任意常數）二選擇填空題

2、（本題滿分15分，共有5道小題，每道小題3分）以下每道題有四個答案，其中只有一個答案是正確的，請選出合適的答案填在空中，多選無效 1函數在點處連續(xù)是函數在該點處存在偏導數的【 】 （a）充分條件； （b）必要條件； （c）充分必要條件； （d）既不是必要，也不是充分條件 解： 由二元函數的可導性與連續(xù)性之間的關系，可知：函數在點處連續(xù)是函數在該點處存在偏導數的既非必要，也非充分條件 應選：（d） 2設是平面上以、為頂點的三角形區(qū)域，是在第一象限的部分，則積分等于【 】 （a）； （b）； （c）； （d） 解： 將平面區(qū)域分成兩個小區(qū)域與，是以、為頂點的三角形區(qū)域，是以、為頂點的三角形區(qū)域則

3、由于區(qū)域是關于軸對稱的，則 前一個積分中的被積函數是關于的奇函數，而后一個積分中的被積函數是關于的偶函數，所以 又由于區(qū)域是關于軸對稱的，則 前一個積分中的被積函數是關于的奇函數，而后一個積分中的被積函數也是關于的奇函數，所以 因此， 應選：（a） 3下列級數中，屬于條件收斂的是【 】 （a） ； （b） ； （c）； （d） 解： 級數是發(fā)散的（因為其通項的極限不為0） 級數是絕對收斂的（因為，而級數收斂） 級數是絕對收斂的（因為，而級數收斂） 級數是條件收斂的（因為發(fā)散，而由leibniz判別法，交錯級數收斂） 應選：（d） 4設函數是以為周期的周期函數，它在上的表達式為 ，再設的four

4、ier（傅立葉）級數的和函數為，則【 】 （a） ； （b） ； （c） ； （d） 解： 由于，所以， 應選：（） 5微分方程的特解的形式為【 】 （a）； （b）； （c）； （d） 解： 微分方程對應的齊次微分方程是，因此其特征方程為得其解為因此微分方程有形如的特解又微分方程有形如的特解所以，微分方程有形如的特解 應選：（d）三（本題滿分7分） 設，其中函數具有二階連續(xù)的偏導數，試求， 解： ， 四（本題滿分7分） 計算二重積分 ，其中 解： 作極坐標變換，有 五（本題滿分8分） 當輪船的前進速度為時，推進器停止工作，已知受水的阻力與船速的平方成正比（比例系數為，其中為常數，而為船的質量

5、）問經過多少時間，船的速度減為原速度的一半？ 解： 由題意，得方程 ，解方程，得 ，由初始條件，得 ，因此，有 當時，即經過時間，船的速度減為原速度的一半六（本題滿分8分） 判別級數的斂散性 解： 而 所以，由比值判別法，知級數收斂再由比較判別法知級數收斂七（本題滿分8分） 計算曲面積分其中為曲面 ，取下側 解： 取平面，取上側則與構成封閉曲面，取外側令與所圍空間區(qū)域為，由gauss公式，得 八（本題滿分8分） 求微分方程的積分曲線，使該積分曲線過點，且在該點的切線斜率為 解： 這是一個不顯含自變量的微分方程 設，則有，代入方程，得 解此方程，得由，得因此有方程 其解為，由，得，因此所求積分曲線為 或 九（本題滿分8分） 選取與，使得成為某一函數的全微分，并求 解： ， 由，得 即有 解得，所以， 十（本題滿分8分） 過直線作曲面的切平面，求此切平面的方程 解： 過已知直線作平面束方程，即， 其法向量為設所求切平面的切點坐標為，則有 ，解得，或