因式分解公式大全因式分開解公式經(jīng)典實用

1、公式及方法大全待定系數(shù)法(因式分解)待定系數(shù)法是數(shù)學中的一種重要的解題方法，應用很廣泛，這里介紹它在中的應用在因式分解時，一些經(jīng)過分析，可以斷定它能分解成某幾個因式，但這幾個因式中的某些系數(shù)尚未確定，這時可以用一些字母來表示待定的系數(shù)由于該多項式等于這幾個因式的乘積，根據(jù)多項式恒等的性質，兩邊對應項系數(shù)應該相等，或取多項式中原有字母的幾個特殊值，列出關于待定系數(shù)的方程(或方程組)，解出待定字母系數(shù)的值，這種因式分解的方法叫作待定系數(shù)法常用的公式：           例1 分解因式：x2+3xy

2、+2y2+4x+5y+3分析 由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它的兩個一次項一定是x+2y+m和x+y+n的形式，應用待定系數(shù)法即可求出m和n，使問題得到解決解 設x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比較兩邊對應項的系數(shù)，則有解之得m=3，n=1所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)說明 本題也可用，請同學們自己解一下例2 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7分析 本題所給的是一元整多項式，根據(jù)前面講過的，若原式有有理根，則只可能是±1，

3、±7(7的約數(shù))，經(jīng)檢驗，它們都不是原式的根，所以，在集內，原式?jīng)]有一次因式如果原式能分解，只能分解為(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式解 設原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，所以有由bd=7，先考慮b=1，d=7有所以原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)說明 由于因式分解的唯一性，所以對b=-1，d=-7等可以不加以考慮本題如果b=1，d=7代入方程組后，無法確定a，c的值，就必須將bd=7的其他解代入，直到求出待定系數(shù)為止本題沒有一次因式，因而無法運用求根法分解因式但利用待定系數(shù)法，使我們

4、找到了二次因式由此可見，待定系數(shù)法在因式分解中也有用武之地求根法(因式分解)我們把形如anxn+an-1xn-1+a1x+a0(n為非負整數(shù))的代數(shù)式稱為關于x的一元多項式，并用f(x)，g(x)，等記號表示，如   f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，當x=a時，多項式f(x)的值用f(a)表示如對上面的多項式f(x) f(1)=12-3×我們把形如anxn+an-1xn-1+a1x+a0(n為非負整數(shù))的代數(shù)式稱為關于x的一元多項式，并用f(x)，g(x)，等記號表示，如 f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，當x=a時，f(x)的值用f(

5、a)表示如對上面的多項式f(x)f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12若f(a)=0，則稱a為多項式f(x)的一個根定理1(因式定理) 若a是一元多項式f(x)的根，即f(a)=0成立，則多項式f(x)有一個因式x-a根據(jù)因式定理，找出一元多項式f(x)的一次因式的關鍵是求多項式f(x)的根對于任意多項式f(x)，要求出它的根是沒有一般方法的，然而當多項式f(x)的都是時，即整系數(shù)多項式時，經(jīng)常用下面的定理來判定它是否有有理根定理2的根，則必有p是a0的，q是an的約數(shù)特別地，當a0=1時，整系數(shù)多項式f(x)的整數(shù)根均為an的約數(shù)我

6、們根據(jù)上述定理，用求多項式的根來確定多項式的一次因式，從而對多項式進行例2 分解因式：x3-4x2+6x-4分析 這是一個整系數(shù)一元多項式，原式若有整數(shù)根，必是-4的約數(shù)，逐個檢驗-4的約數(shù)：±1，±2，±4，只有f(2)=23-4×22+6×2-4=0，即x=2是原式的一個根，所以根據(jù)定理1，原式必有因式x-2解法1 用分組分解法，使每組都有因式(x-2)原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2)解法2 用多項式除法，將原式除以(x-2)，所以原式=(x-

7、2)(x2-2x+2)說明 在上述解法中，特別要注意的是多項式的有理根一定是-4的約數(shù)，反之不成立，即-4的約數(shù)不一定是多項式的根因此，必須對-4的約數(shù)逐個代入多項式進行驗證例3 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2分析 因為9的約數(shù)有±1，±3，±9；-2的約數(shù)有±1， 為：所以，原式有因式9x2-3x-2解 9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)說明 若整系數(shù)多項式有根，可將所得出的含有分數(shù)的因

8、式化為整系數(shù)因式，如上題中的因式可以化為9x2-3x-2，這樣可以簡化分解過程總之，對一元高次多項式f(x)，如果能找到一個一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解為(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多項式，這樣，我們就可以繼續(xù)對g(x)進行分解了雙十字相乘法(因式分解)分解二次三項式時，我們常用十字相乘法對于某些二元二次六項式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我們也可以用十字相乘法分解因式例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3我們將上式按x降冪排列，并把y當作常數(shù)，于是上式可變形為 2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可 分解二

9、次三項式時，我們常用對于某些二元二次六項式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我們也可以用十字相乘法分解因式例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3我們將上式按x降冪排列，并把y當作，于是上式可變形為2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可以看作是關于x的二次三項式對于常數(shù)項而言，它是關于y的二次三項式，也可以用十字相乘法，分解為即-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1) 再利用十字相乘法對關于x的二次三項式分解所以原式=x+(2y-3)2x+(-11y+1)=(x+2y-3)(2x-11y+1)上述因式分解的過程，實施了兩次十字相乘法如果把這兩

10、個步驟中的十字相乘圖合并在一起，可得到下圖：它表示的是下面三個關系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3這就是所謂的雙十字相乘法用雙十字相乘法對多項式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f進行因式分解的步驟是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一個十字相乘圖(有兩列)；(2)把常數(shù)項f分解成兩個因式填在第三列上，要求第二、第三列構成的十字交叉之積的和等于原式中的ey，第一、第三列構成的十字交叉之積的和等于原式中的dx例1 分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x

11、+9y-2；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2解 (1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)(2)原式=(x+y+1)(x-y+4)(3)原式中缺x2項，可把這一項的系數(shù)看成0來分解原式=(y+1)(x+y-2)(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)說明 (4)中有三個字母，解法仍與前面的類似筆算開平方對于一個數(shù)的開方，可以不用計算機，也不用查表，直接筆算出來，下面通過一個例子來說明如何筆算開平方，對于其它數(shù)只需模仿即可 例 求316.4841的平方根.第一步,先將被開方的數(shù)，從小數(shù)點位置向左右每隔兩位

12、用逗號，分段，如把數(shù)316.4841分段成3,16.48,41.第二步，找出第一段數(shù)字的初商，使初商的平方不超過第一段數(shù)字，而初商加1的平方則大于第一段數(shù)字，本例中第一段數(shù)字為3，初商為1，因為12=1<3，而(1+1)2=4>3.第三步，用第一段數(shù)字減去初商的平方，并移下第二段數(shù)字，組成第一余數(shù)，在本例中第一余數(shù)為216.第四步，找出試商，使(20×初商+試商)×試商不超過第一余數(shù)，而【20×初商+(試商+1)】×(試商+1)則大于第一余數(shù).第五步，把第一余數(shù)減去(20×初商+試商)×試商，并移下第三段數(shù)字，組成第二余數(shù)

13、，本例中試商為7，第二余數(shù)為2748.依此法繼續(xù)做下去，直到移完所有的段數(shù)，若最后余數(shù)為零，則開方運算告結束.若余數(shù)永遠不為零，則只能取某一精度的近似值.第六步，定小數(shù)點位置，平方根小數(shù)點位置應與被開方數(shù)的小數(shù)點位置對齊.本例的算式如下：【方根與根式】 數(shù)a的n次方根是指求一個，它的n次方恰好等于a.a的n次方根記為(n為大于1的自然數(shù)).作為式，稱為根式.n稱為根，a稱為根底數(shù).在范圍內，負數(shù)不能開偶次方，一個正數(shù)開偶次方有兩個方根，其相同，符號相反. 【算術根】 的正方根稱為算術根.零的算術根規(guī)定為.【基本性質】 由方根的定義，有根式運算【乘積的方根】 乘積的方根等于各因子同次方根的乘積；

14、反過來，同次方根的乘積等于乘積的同次方根，即0,b0)【分式的方根】 分式的方根等于分子、分母同次方根相除，即0,b>0)【根式的乘方】 0)【根式化簡】0)0,d0)0,d0)【同類根式及其加減運算】 根指數(shù)和根底數(shù)都相同的根式稱為同類根式，只有同類根式才可用加減運算加以合并.進位制的基與數(shù)字任一可表為通常意義下的有限小數(shù)或無限小數(shù)，各數(shù)字的值與數(shù)字所在的位置有關，任何位置的數(shù)字當小數(shù)點向右移一位時其值擴大10倍，當小數(shù)點向左移一位時其值縮小10倍.例如一般地，任一正數(shù)a可表為這就是10進數(shù)，記作a(10)，數(shù)10稱為進位制的基，式中ai在0,1,2,l,9中取值，稱為10進數(shù)的數(shù)字，

15、顯然沒有理由說進位制的基不可以取其他的數(shù).現(xiàn)在取q為任意大于1的當作進位制的基，于是就得到q進數(shù)表示 (1)式中數(shù)字ai在0,1,2,.,q-1中取值，anan-1.a1a0稱為q進數(shù)a(q)的整數(shù)部分，記作a(q);a-1a-2 .稱為a(q)的分數(shù)部分，記作a(q).常用進位制，除10進制外，還有2進制、8進制、16進制等，其數(shù)字如下 2進制 0, 1 8進制 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 716進制 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 各種進位制的相互轉換1 q10轉換 適用通常的10進數(shù)，根據(jù)

16、公式(1)，可以把q進數(shù)a(q)轉換為10進數(shù)表示.例如2 10q轉換 轉換時必須分為部分和部分進行.對于整數(shù)部分其步驟是：(1) 用q去除a(10)，得到和.(2) 記下余數(shù)作為q進數(shù)的最后一個數(shù)字.(3) 用商替換a(10)的位置重復(1)和(2)兩步，直到商等于零為止.對于分數(shù)部分其步驟是：(1)用q去a(10). (2)記下乘積的整數(shù)部分作為q進數(shù)的分數(shù)部分第一個數(shù)字.(3)用乘積的分數(shù)部分替換a(10)的位置，重復(1)和(2)兩步，直到乘積變?yōu)檎麛?shù)為止，或直到所需要的位數(shù)為止.例如：103.118(10)=147.074324.(8)整數(shù)部分的草式分數(shù)部分的草式

17、3 pq轉換 通常情況下其步驟是：a(p)a(10)a(q).如果p,q是同一數(shù)s的不同次，其步驟是：a(p)a(s)a(q).例如，8進數(shù)127.653(8)轉換為16進數(shù)時，由于8=23，16=24，所以s=2，其步驟是：首先把8進數(shù)的每個數(shù)字根據(jù)8-2轉換表轉換為2進數(shù)(三位一組)127.653(8)=001 010 111.110 101 011(2)然后把2進數(shù)的所有數(shù)字從小數(shù)點起(左和右)每四位一組分組，從16-2轉換表中逐個記下對應的16進數(shù)的數(shù)字，即正多邊形各量換算公式n為邊數(shù) r為外接圓半徑 a為邊長 爎為內切圓半徑為圓心角 s為多邊形面積重心g

18、與外接圓心o重合正多邊形各量換算公式表 各量 正三角形n為邊數(shù) r為半徑a為邊長 爎為半徑為圓心角 s為面積重心g與外接圓心o重合正多邊形各量換算公式表各量正五邊形正六邊形正n邊形圖形sarrar或許你還對作圖感興趣：所謂初等幾何作圖問題，是指使用無刻度的直尺和圓規(guī)來作圖.若使用尺規(guī)有限次能作出幾何圖形，則稱為作圖可能，或者說歐幾里得作圖法是可能的，否則稱為作圖不可能.很多平面圖形可以用直尺和圓規(guī)作出，例如上面列舉的正五邊形、正六邊形、正八邊形、正十邊形等.而另一些就不能作出，例如正七邊形、正九邊形、正十一邊形等，這些多邊形只能用近似作圖法.如何判斷哪些作圖可能，哪些作圖不可能呢？直

19、到百余年前，用代數(shù)的方法徹底地解決了這個問題，即給出一個關于尺規(guī)作圖可能性的準則：作圖可能的充分必要條件是，這個作圖問題中必需求出的未知量能夠由若干已知量經(jīng)過有限次有理運算及開平方運算而算出.幾千年來許多數(shù)學家耗費了不少的精力，企圖解決所謂“幾何三大問題”： 立方倍積問題，即作一個立方體，使它的體積二倍于一已知立方體的體積. 三等分角問題，即三等分一已知角. 化圓為方問題，即作一正方形，使它的面積等于一已知圓的面積.后來已嚴格證明了這三個問題不能用尺規(guī)作圖.代數(shù)式的求值代數(shù)式的求值與代數(shù)式的恒等變形關系十分密切許多代數(shù)式是先化簡再求值，特別是有附加條件的代數(shù)式求值問題，往往需要利用乘法公式、絕

20、對值與算術根的性質、分式的基本性質、通分、 求值中的方法技巧主要是式恒等變形的技能、技巧和方法下面結合例題逐一介紹1利用因式分解方法求值因式分解是重要的一種代數(shù)恒等變形，在代數(shù)式化簡求值中，經(jīng)常被采用分析 x的值是通過一個一元二次方程給出的，若解出x后，再求值，將會很麻煩我們可以先將所求的代數(shù)式變形，看一看能否利用已知條件解 已知條件可變形為3x2+3x-1=0，所以6x4+15x3+10x2=(6x4+6x3-2x2)+(9x3+9x2-3x)+(3x2+3x-1)+1=(3x2+3x-1)(2z2+3x+1)+1=0+1=1說明 在求代數(shù)式的值時，若已知的是一個或幾個代數(shù)式的值，這時要盡可

21、能避免解(或方程組)，而要將所要求值的代數(shù)式適當變形，再將已知的代數(shù)式的值整體代入，會使問題得到簡捷的解答例2 已知a，b，c為實數(shù)，且滿足下式：a2+b2+c2=1，求a+b+c的值 解 將式變形如下即所以a+b+c=0或bc+ac+ab=0若bc+ac+ab=0，則(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(bc+ac+ab)=a2+b2+c2=1，所以 a+b+c=±1所以a+b+c的值為0，1，-1說明 本題也可以用如下方法對式變形：即前一解法是加一項，再減去一項；這個解法是將3拆成1+1+1，最終都是將式變形為兩個式子之積等于零的形式2利用公式求值例3 已知x+y=m，x3+y

22、3=n，m0，求x2+y2的值解 因為x+y=m，所以m3=(x+y)3=x3+y3+3xy(x+y)=n+3m·xy，所以求x2+6xy+y2的值分析 將x，y的值直接代入計算較繁，觀察發(fā)現(xiàn)，已知中x，y的值正好是一對共軛，所以很容易計算出x+y與xy的值，由此得到以下解法解 x2+6xy+y2=x2+2xy+y2+4xy =(x+y)2+4xy 3設參數(shù)法與換元法求值如果代數(shù)式字母較多，式子較繁，為了使求值簡便，有時可增設一些(也叫輔助)，以便溝通數(shù)量關系，這叫作設參數(shù)法有時也可把代數(shù)式中某一部分式子，用另外的一個字母來替換，這叫換元法分析 本題的已知條件是以連比形式出現(xiàn)，可引入?yún)?shù)k，用它表示連比的比值，以便把它們分割成幾個等式x(a-b)k，y(b-c)k，z(c-a)k所以x+y+z=(a-b)k(b-c)k+(c-a)k=0u+v+w=1，由有把兩邊平方得u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=1，所以u2+v2+w2=1，即兩邊平方有所以4利用非負數(shù)的性質求值若幾個非的和為，則每個非負數(shù)都為零，這個性質在代數(shù)式求值中經(jīng)常被使用例8 若x2-4x+|3x-y|=-4，求yx的值 分析與解 x，y的值均未知，而題目卻只給了一個方程，似乎無法求值，但仔細挖掘題中的隱含條件可知，可以利用非負數(shù)的性