機械振動 頻率方程、振型與正則坐標ppt課件

1、主要內(nèi)容頻率方程與特征值問題坐標耦合模態(tài)正交性與主坐標主要內(nèi)容頻率方程與特征值問題坐標耦合模態(tài)正交性與主坐標頻率方程與特征值問題 設(shè)n自由度系統(tǒng)運動方程 0KxMx (3.2-1) 的解為 steXx (3.2-2) 即設(shè)系統(tǒng)的各坐標作同步協(xié)調(diào)振動。將式(3,2-2)代入式(3,2-1)，得到 0XKMstse2 (3.2-3) 由于0est，所以有 0XKM2s （3.2-4) 即 MXKX2s (3.2-5) 頻率方程與特征值問題 在線性代數(shù)中，形如 BxAx 稱為廣義特征值問題廣義特征值問題，如果矩陣B可逆，可以將上式表示成我們在線性代數(shù)中學過的特征值問題特征值問題 xAxB1 對于式(

2、3.2-4)，令 KMA2s (3.2-5) 稱為特征矩陣。 頻率方程與特征值問題 0XKM2s (3.2-4) 由式(3.2-4)可以看出，要使X有非零解，必須使其系數(shù)行列式等于零。 于是得到該系統(tǒng)的頻率方程頻率方程 （特征方程） 02KMs (3.2-6) 式(3,2-6)是關(guān)于2s的n次多項式， 由它可以求出n個固有頻率： )Im(iis 頻率方程與特征值問題 一般的振動系統(tǒng)的n個固有頻率的值互不相等 （也有特殊情況） 。將各個固有頻率按照由小到大的順序排列 )Im(iis n210 其中最低階固有頻率稱為第一階固有頻率或稱基頻，然后一次稱為二階、三階固有頻率。 頻率方程與特征值問題 將

3、各個固有頻率代入式(3.2-4) 0XKM2s (3.2-4) 可 分 別 求 出 對 應(yīng) 的X。 例 如 對 于 固 有 頻 率i可 以 求 出T)()(2)(1,iniiixxxX，它滿足 0XKMiis2 iX表示系統(tǒng)在以i的頻率作自由振動時，各自由度振幅的相對大小，稱之為系統(tǒng)的第i階主振型， 也稱為固有振型或主模態(tài)。 對于任何一個n自由度振動系統(tǒng)，總可以找到n個固有頻率和與之對應(yīng)的n階主振型。 例題 試求圖示兩個自由度系統(tǒng)振動的固有頻率和主振型。 已知各彈簧的彈簧常量kkkk321，物體的質(zhì)量mm 1,mm22。 1 2 解：建立系統(tǒng)的運動方程 00222002121xxkkkkxxm

4、m 質(zhì)量矩陣 mm200M 剛度矩陣 kkkk22K 解頻率方程，求 0)22)(2(022222222kmskmskmskkkmsk 系統(tǒng)的第一階和第二階固有頻率為 mks634. 021，mks366. 222 所以 mk796. 01，mk538. 12 對于mk796. 01，特征矩陣 kmskkkmsks732. 011366. 1222222KMA 把它代入式(3.2-4)，可得 00732. 011366. 121XX 解之，得1732. 021XX 即第一階振型1732. 01X 對于mk538. 12，特征矩陣 kmskkkmsks731. 211365. 0222222KM

5、A 把它代入式(3.2-4)，可得 00731. 211365. 021XX 解之，得1731. 221XX 即第二階振型1731. 22X 主要內(nèi)容頻率方程與特征值問題坐標耦合模態(tài)正交性與主坐標兩個質(zhì)點的運動不是互相獨立的，它們彼此受另一個質(zhì)點的運動的影響。這種質(zhì)點或質(zhì)點系的運動相互影響的現(xiàn)象叫做耦合（耦合（coupling），具有耦合性質(zhì)的系統(tǒng)叫耦合耦合系統(tǒng)系統(tǒng)。像這樣表示振動位移的兩個以上坐標出現(xiàn)在同一個運動方程式中時，就稱這些坐標之間存在靜力耦合或彈性耦合。另外，當一個微分方程式中出現(xiàn)兩個以上的加速度項時，稱為在坐標之間有動力動力耦合或質(zhì)量（慣性）耦合。m xkkxk xm xk xk

6、 x111212222212200()坐標耦合（耦聯(lián)）坐標耦合（耦聯(lián)）00002222111122112221xlklklklklklkkkxJm 2211lklkl1l2Gmg11k22kCG)(11lxk)(22lxkx靜力耦合或彈性耦合 質(zhì)心與幾何中心不重合質(zhì)心 x幾何中心坐標耦合坐標耦合4231lklk000024223121cccxlklkkkxJmemem G11k22kCl4l3G)(31lxkc)(42lxkcxcC動力動力耦合或質(zhì)量耦合C幾何中心坐標耦合坐標耦合0012222211111xlklklkkkxJmlmlm x = x1ll1l2Gmg11k22k11xk)(12

7、lxkx1G靜力與動力動力耦合坐標耦合坐標耦合坐標耦合某個系統(tǒng)中是否存在耦合取決于用以表示運動的坐標的選擇方法，而與系統(tǒng)本某個系統(tǒng)中是否存在耦合取決于用以表示運動的坐標的選擇方法，而與系統(tǒng)本身的特性無關(guān)。身的特性無關(guān)。通過適當?shù)倪x擇坐標，可以將系統(tǒng)的運動方程表示成既無靜力耦合又無動力耦通過適當?shù)倪x擇坐標，可以將系統(tǒng)的運動方程表示成既無靜力耦合又無動力耦合的形式。合的形式。采用主坐標或正則坐標可以使運動方程解耦。采用主坐標或正則坐標可以使運動方程解耦。主要內(nèi)容頻率方程與特征值問題坐標耦合模態(tài)正交性與主坐標n自由度的振動系統(tǒng)，具有n個固有頻率和與之對應(yīng)的n階主振型。且這些主振型之間存在著關(guān)于質(zhì)量矩

8、陣和剛度矩陣的正交性。 jiu,uji,iiiMuKu2jjjMuuK2對應(yīng)于Tiu兩邊左乘轉(zhuǎn)置，然后右乘 jujiijiuMuuKuT2TjijjiuMuuKuT2T0T22jijiuMu相減 ijji0TjiuMu0TjiuKu表明，對應(yīng)于不同固有頻率的主振型之間，即關(guān)于質(zhì)量矩陣相互正交，又關(guān)于剛度矩陣相互正交，這就是主振型的正交性。還可以證明，零固有頻率對應(yīng)的主振型也必定與系統(tǒng)的其它主振型關(guān)于質(zhì)量矩陣和剛度矩陣正交。 ijijiiiMMuuTniKiii, 3 , 2 , 1 ,TuKuKi稱為第i階主剛度或第i階模態(tài)剛度；Mi稱為第i階主質(zhì)量或第i階模態(tài)質(zhì)量。 niMKiiiiiii,

9、 3 , 2 , 1 ,TT2MuuKuu0TjiuMu0TjiuKu可見，由于主振型的正交性，不同階的主振動之間不存在動能的轉(zhuǎn)換，或者說不存在慣性耦合。同樣可以證明第i階固有振動的廣義彈性力在第j階固有振動的微小位移上的元功之和也等于零，因此不同階固有振動之間也不存在勢能的轉(zhuǎn)換，或者說不存在彈性耦合。對于每一個主振動來說，它的動能和勢能之和是個常數(shù)。在運動過程中，每個主振動內(nèi)部的動能和勢能可以互相轉(zhuǎn)化，但各階主振動之間不會發(fā)生能量的傳遞。因此，從能量的觀點看，各階主振動是互相獨立的，這就是主振動正交性的物理意義。 以各階主振型矢量為列，按順序排列成一個nn階方陣，稱此方陣為主振型矩陣或模態(tài)矩

10、陣，即nnnnnnnuuuuuuuuu21222211121121) (uuuUrrKKUUMMUUTT根據(jù)主振型的正交性，可以導出主振型矩陣的兩個性質(zhì)nrMMM21MnrKKK21K主質(zhì)量矩陣主剛度矩陣使Mr由對角陣變換為單位陣 將主振型矩陣的各列除以其對應(yīng)主質(zhì)量的平方根，即iiiMuu1這樣得到的振型稱為正則振型。jijiji , 0 , 1TuMujijiiji , 0 ,2TuKu正則振型的正交關(guān)系是第i階正則振型第i階固有頻率 以各階正則振型為列，依次排列成一個nn階方陣，稱此方陣為正則振型矩陣，即222212TT111nUKUIUMU由正交性可導出正則矩陣兩個性質(zhì)譜矩陣 nnnnn

11、nnuuuuuuuuu) (21222211121121uuuU在一般情況下，具有有限個自由度振動系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣都不是對角陣。因此，系統(tǒng)的運動微分方程中既有動力耦合又有靜力耦合。對于n自由度無阻尼振動系統(tǒng)，有可能選擇這樣一組特殊坐標，使方程中不出現(xiàn)耦合項亦即質(zhì)量矩陣和剛度矩陣都是對角陣，這樣每個方程可以視為單自由度問題，稱這組坐標為主坐標或模態(tài)坐標。由前面的討論可知，主振型矩陣U與正則振型矩陣 ，均可使系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣轉(zhuǎn)換成為對角陣。因此，可利用主振型矩陣或正則振型矩陣進行坐標變換，以尋求主坐標或正則坐標。U由物理坐標到模態(tài)坐標的轉(zhuǎn)換，是方程解耦的數(shù)學過程。從物理意義上講，是

12、從力的平衡方程變?yōu)槟芰科胶夥匠痰倪^程。在物理坐標系統(tǒng)中，質(zhì)量矩陣和剛度矩陣一般是非對角陣，使運動方程不能解耦。而在模態(tài)坐標系統(tǒng)中，第i 個模態(tài)坐標代表在位移向量中第i階主振型（模態(tài)振型）所作的貢獻。任何一階主振型的存在，并不依賴于其他主振型是否同時存在。這就是模態(tài)坐標得以解耦的原因。因此，位移響應(yīng)向量是各階模態(tài)貢獻的疊加的結(jié)果，而不是模態(tài)耦合的結(jié)果。各階模態(tài)之間是不耦合的。 寫出圖示系統(tǒng)的主振型矩陣和正則振型矩陣，以及用正則坐標表示的系統(tǒng)運動方程。2115. 04709. 05092. 21007. 17274. 08733. 10000. 10000. 10000. 1 321uuuU由質(zhì)量矩陣 ，可求出主質(zhì)量矩陣200010001mMmmmr3010. 20009726. 10001014.17TMUUM解：將各階主振型依次排列成方陣，得到主振型矩陣例例 題題于是，可得各階正則振型3333222211116592. 017120. 012418. 01uuuuuuuuumMmMmM以各階正則振型為列，