巧用梅涅勞斯定理求解向量的線性相關(guān)系數(shù)新稿參照分析

1、巧用梅涅勞斯定理求解向量的線性相關(guān)系數(shù) 河南平頂山市第三高級中學(xué) 金小欣 467000一、 梅涅勞斯（menelaus）定理簡介：如果一直線順次與三角形abc的三邊ab、bc、ca或其延長線交于m、n、k三點，則：bknmace。證明： 過頂點b作ac的平行線與截線交于e，則有： ， ， mabnpo對該定理的幾點說明：證明的方法：過其中一個頂點作其對邊的平行線與截線相交，利用“平行線截線段成比例定理”或相似性質(zhì)，將其中的兩個比例式等價轉(zhuǎn)化。定理的實質(zhì)：三個比例式的乘積等于1，每一個比例式的三個字母是共線的兩個頂點和一個分點；其結(jié)構(gòu)特征為： ，呈現(xiàn)“首尾相接”；整體看，從某一個頂點出發(fā)，最后又

2、回到該頂點。該定理常與“塞瓦定理”結(jié)合使用。二、 梅涅勞斯定理的一個應(yīng)用例子題目：在oab的邊oa、ob上分別取點m、n，使|=13，|=14，設(shè)線段an與bm交于點p，記= ，=，用 ，表示向量.先給出高中常規(guī)解法（待定系數(shù)法）如下：解法一： b、p、m共線 記=s -同理，記 ，得： =- ,不共線 由、得解之得： 上述解法的基本思想是：先設(shè)法求出點p分an、bm的比，理論依據(jù)：一個是教材例題的結(jié)論（可作為定理直接使用），一個就是平面向量基本定理。利用該定理中兩個系數(shù)的唯一性，得到關(guān)于s，t的方程。由于梅涅勞斯定理、塞瓦定理與比例線段、定比分點有著密切聯(lián)系，故嘗試本題能否用這兩個定理來解決

3、。解法二：oan被直線mpb所截，由梅涅勞斯定理，得：abmnpo 即 ， 或者，obm被直線npa所截，得：可見，只要選對了被截的三角形，用梅涅勞斯定理只列一個式子就可以了，非常便利。三、 用梅涅勞斯定理求解向量線性相關(guān)系數(shù)的要點總結(jié)以上例為例，經(jīng)認真思考和實驗，其規(guī)律性體現(xiàn)為：欲求p分之比，則考察 為一邊的三角形被直線所截。若去掉線段ab，則截線顯然為 四、 變式練習(xí)（1） 題目條件不變，若延長op與ab交于點d，求向量與的線性關(guān)系。dabmnpo分析：由“塞瓦定理”得： ，即： , ,下面只要求出p分od的比即可。由三之要點，考察pod所在oad被直線所截，由梅氏定理，得： ，即： ， .從而，（2）題目條件不變，求用的表示式。（ 答案： ）五、真題賞析：（08廣東卷8）在平行四邊形中，與交于點是線段的中點，的延長線與交于點若，則（ b ）abcd提示1：過點o做ab的平行線與af交與h，則：由e為od中點和ohfd,得 oehdefoh=df 即 點f分有向線段dc的比為提示2：視被直線aef所截，由梅涅勞斯定理得：（下略）可見，用梅涅勞斯定理可快速得到向