二次根式化簡(jiǎn)的方法與技巧經(jīng)典實(shí)用

1、二次根式化簡(jiǎn)的方法與技巧 二次根式是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)內(nèi)容，讀者在掌握二次根式有關(guān)的概念與性質(zhì)后，進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算時(shí)，一般遵循以下做法：先將式中的二次根式適當(dāng)化簡(jiǎn)二次根式的乘法可以參照多項(xiàng)式乘法進(jìn)行，運(yùn)算中要運(yùn)用公式 對(duì)于二次根式的除法，通常是先寫成分式的形式，然后通過分母有理化進(jìn)行運(yùn)算二次根式的加減法與多項(xiàng)式的加減法類似，即在化簡(jiǎn)的基礎(chǔ)上去括號(hào)與合并同類項(xiàng)運(yùn)算結(jié)果一般要化成最簡(jiǎn)二次根式化簡(jiǎn)二次根式的常用技巧與方法所謂轉(zhuǎn)化：解數(shù)學(xué)題的常用策略。常言道：“兵無常勢(shì)，水無常形。”我們?cè)诮馇ё內(nèi)f化的數(shù)學(xué)題時(shí)，常常思維受阻，怎么辦？運(yùn)用轉(zhuǎn)化策略，換個(gè)角度思考，往往可以打破僵局，迅速找到解題的途

2、徑。二次根式的化簡(jiǎn)是二次根式教學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，對(duì)于二次根式的化簡(jiǎn)，除了掌握基本概念和運(yùn)算法則外，還要掌握一些特殊的方法和技巧，會(huì)收到事半功倍的效果，約分、合并是化簡(jiǎn)二次根式的兩個(gè)重要手段，因此我們?cè)诨?jiǎn)二次根式時(shí)應(yīng)想辦法把題目轉(zhuǎn)化為可以約分和和可以合并的同類根式?，F(xiàn)舉例說明一些常見二次根式的轉(zhuǎn)化策略。一、巧用公式法 例1.計(jì)算 分析：本例初看似乎很復(fù)雜，其實(shí)只要你掌握好了公式，問題就簡(jiǎn)單了，因?yàn)榕c成立，且分式也成立，故有而同時(shí)公式：可以幫助我們將 和 變形，所以我們應(yīng)掌握好公式可以使一些問題從復(fù)雜到簡(jiǎn)單。解：原式二、適當(dāng)配方法。例2計(jì)算：分析：本題主要應(yīng)該從已知式子入手發(fā)現(xiàn)特點(diǎn)，分母含有其分

3、子必有含的因式，于是可以發(fā)現(xiàn)，且，通過因式分解，分子所含的的因式就出來了。解：原式 三、正確設(shè)元化簡(jiǎn)法。例3：化簡(jiǎn)分析：本例主要說明讓數(shù)字根式轉(zhuǎn)化成字母的代替數(shù)字化簡(jiǎn)法，通過化簡(jiǎn)替代，使其變?yōu)楹?jiǎn)單的運(yùn)算，再運(yùn)用有理數(shù)四則運(yùn)算法則的化簡(jiǎn)分式的方法化簡(jiǎn)，例如：，正好與分子吻合。對(duì)于分子，我們發(fā)現(xiàn)所以，于是在分子上可加，因此可能能使分子也有望化為含有因式的積，這樣便于約分化簡(jiǎn)。 解：設(shè) 則 且所以：四、拆項(xiàng)變形法 例4，計(jì)算 分析：本例通過分析仍然要想到，把分子化成與分母含有相同因式的分式。通過約分化簡(jiǎn)，如轉(zhuǎn)化成：再化簡(jiǎn)，便可知其答案。解：原式五、整體倒數(shù)法。 例5、計(jì)算 分析：本例主要運(yùn)用了變倒數(shù)

4、后，再運(yùn)用有關(guān)公式：，化簡(jiǎn)但還要通過折項(xiàng)變形，使其具有公因式。解：設(shè)借用整數(shù)“1”處理法。例6、計(jì)算分析：本例運(yùn)用很多方面的知識(shí)如： ×，然后再運(yùn)用乘法分配率，使分子與分母有相同因式，再約分化簡(jiǎn)。解：原式六恒等變形整體代入結(jié)合法例7：已知 , ，求下列各式的值。（1） ; (2)分析：本例運(yùn)用整體代入把x+y與xy的值分別求出來，再運(yùn)用整體代入法將x+y與xy代入例題中，但一定要把所求多項(xiàng)式進(jìn)行恒等變形使題中含有x+y與xy的因式，如，然后再約分化簡(jiǎn)。 解：因?yàn)? ， 所以：。七、降次收冪法： 例8、已知，求的值。 分析：本例運(yùn)用了使題中2次冪項(xiàng)轉(zhuǎn)化成1次方的項(xiàng)再化簡(jiǎn)。如例題中把多項(xiàng)

5、式轉(zhuǎn)化為4x1，這樣進(jìn)行低次冪運(yùn)算就容易了。解：由,得。 整理得：= 4x1。所以： 所以原式二次根式的化簡(jiǎn)與計(jì)算的策略與方法1公式法【例1】計(jì)算； 【解】原式原式【解后評(píng)注】以上解法運(yùn)用了“完全平方公式”和“平方差公式”，從而使計(jì)算較為簡(jiǎn)便2觀察特征法【例2】計(jì)算：【方法導(dǎo)引】若直接運(yùn)用根式的性質(zhì)去計(jì)算，須要進(jìn)行兩次分母有理化，計(jì)算相當(dāng)麻煩，觀察原式中的分子與分母，可以發(fā)現(xiàn)，分母中的各項(xiàng)都乘以，即得分子，于是可以簡(jiǎn)解如下：【解】原式【例3】 把下列各式的分母有理化（1）；（2）（）【方法導(dǎo)引】式分母中有兩個(gè)因式，將它有理化要乘以兩個(gè)有理化因式那樣分子將有三個(gè)因式相等，計(jì)算將很繁，觀察分母中的

6、兩個(gè)因式如果相加即得分子，這就啟示我們可以用如下解法：【解】原式 【方法導(dǎo)引】式可以直接有理化分母，再化簡(jiǎn)但是，不難發(fā)現(xiàn)式分子中的系數(shù)若為“1”，那么原式的值就等于“1”了！因此，可以解答如下：【解】原式 3運(yùn)用配方法【例4】化簡(jiǎn)【解】原式 【解后評(píng)注】注意這時(shí)是算術(shù)根，開方后必須是非負(fù)數(shù)，顯然不能等于“”4平方法【例5】化簡(jiǎn)【解】 【解后評(píng)注】對(duì)于這類共軛根式與的有關(guān)問題，一般用平方法都可以進(jìn)行化簡(jiǎn)5恒等變形公式法【例6】化簡(jiǎn)【方法導(dǎo)引】若直接展開，計(jì)算較繁，如利用公式，則使運(yùn)算簡(jiǎn)化【解】原式 6常值換元法【例7】化簡(jiǎn)【解】令，則：原式 7裂項(xiàng)法【例8】化簡(jiǎn)【解】原式各項(xiàng)分母有理化得原式 【例9】化簡(jiǎn) 【方法導(dǎo)引】這個(gè)分?jǐn)?shù)如果直接有理化分母將十分繁鎖，但我們不難發(fā)現(xiàn)每一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子等于分母的兩個(gè)因數(shù)之和，于是則有如下簡(jiǎn)解：【解】原式 8構(gòu)造對(duì)偶式法【例10】化簡(jiǎn)【解】構(gòu)造對(duì)偶式，于是沒 ，則，原式 9由里向外，逐層化簡(jiǎn) 【解】 而 原式【解后評(píng)注】對(duì)多重根式的化簡(jiǎn)問題，應(yīng)采用由里向外，由局部到整體，逐層化簡(jiǎn)的方法處理10由右到左，逐項(xiàng)化簡(jiǎn)【例11】化簡(jiǎn) 【方法導(dǎo)引】原式從右到左是層層遞進(jìn)的關(guān)系，因此從右向左進(jìn)行化簡(jiǎn)【解】原式 【解后評(píng)注】平方差公式和整體思