高一數(shù)學平面向量期末練習題及答案

1、向量基底的選擇李太新1. 以共點向量為基底例1. 在abc內(nèi)求一點p，使的值最小。解：如圖1：設(shè)，以為一組基底，有：故所以，當時，的值最小，此時，即p點為abc的重心，因此，當p為abc重心時，的值最小。2. 以任一點為起點，相關(guān)頂點為終點的向量作基底例2. 在四邊形abcd中，p、q分別為對角線ac、bd的中點，e、g、f、h分別為邊ad、ab、bc、cd的中點，求證：ef、gh、pq的中點重合。證明：以平面上任一點o為始點，設(shè)，以為基底，有：設(shè)ef、gh、pq的中點分別為，則故重合，即ef、gh、pq的中點重合。3. 以共點的單位向量為基底例3. 如圖3，在abc內(nèi)任取一點o，boc、ao

2、c、aob的面積分別為，證明：。證明：設(shè)，以單位向量為基底，并設(shè)boc，aoc，aob，則有：所以，同理：所以，在上取一點d，使，作deob交co延長線于e，則deo180°doe180°，ode180°在doe中，由正弦定理，得：又所以故因為即從而練習1. abc中，abac，d是ab中點，o是abc的外心，e是acd的重心。求證：oecd2. 已知四邊形abcd，求證：acbd當且僅當。3. 四邊形abcd的對角互補，ab、dc交于e，ad、bc交于f，eg平分aed交ad于g，fh平分afb交ab于h，求證：egfh。提示：1. 可選擇作為基底。2. 在ab

3、cd所在平面內(nèi)任取點o，以為基底。3. 以的單位向量為基底。選定向量基底，解決常見立體幾何問題利津二中 陳富君 魏靜我們知道，空間向量的坐標運算成為解決立體幾何的垂直與平行的證明、角與距離的求解等問題的一個十分有效的工具，用空間向量的方法處理立體幾何問題,常?？梢允盏交睘楹?化難為易,也降低了同學們學習立體幾何的思維難度.但是空間直角坐標坐標系的應用有著很大的局限性，取而代之，若以有著特殊關(guān)系的三個向量作為基底，通過向量運算將使更多的立體幾何問題得到很好的解決.這類問題常以特殊四面體（或空間四邊形），平行六面體，特殊三棱柱等為載體. 一、證明三點共線abdcefgh例1 如圖，在空間四邊形a

4、bcd中，e、f分別是ab、ad的中點，g、h分別在bc、cd上，且bg : gcdh: hc1: 2.設(shè)eg和hf交于點p，求證p、a、c三點共線.解 設(shè)，則 ， cc1badb1a1d1mn 且a為pa、ac公共點，故p、a、c三點共線二、證明直線平行平面向量平行平面abc的充要條件是例2 直四棱柱abcda1b1c1d1中，m、n分別是ab1與bc1上的點，且，求證mn平面abcd.解 設(shè)，則平面abcd，而，故mn平面abcd.三、證明直線垂直直線（或直線垂直平面）例3 如圖，在四面體abcd中， m是ab的中點，n是cd的中點，求證：mn是異面直線ab，cd的公垂線的充要條件是：ac

5、bd，bcad.證明 設(shè)nmabcd必要性 若mn是異面直線ab，cd的公垂線，則，同樣的可得 ， ，因此，acbd，同理bcad.充分性 由acbd，得 由bcad，得 得 故mnam，同理mncn，即 mn是異面直線ab，cd的公垂線.四、求異面直線的夾角例4 在正四面體abcd中，m、p分別為棱ad、cd的中點，n、q分別是面bcd、面abc的中心，求mn與pq的夾角.解 設(shè)正四面體的棱長為2，o為bc中點，則onmpqabcd， ，即|mn|pq|1，因此，mn與pq的夾角為空間向量的基底的應用恰恰是教學中的薄弱環(huán)節(jié),如果不注意及時補上這一課,久而久之,應用向量的思維會鈍化,甚至會緣木

6、求魚.平面向量一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。1、下列向量組中能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底的是 （ ）a b c d 2、若abcd是正方形，e是cd的中點，且，則= ( ) a b 3、若向量與不共線，且，則向量與的夾角為 （ ）a b c d04、設(shè)，是互相垂直的單位向量，向量，,則實數(shù)m為 （ ） a-2 b2 不存在5、在四邊形abcd中，則四邊形abcd的形狀是 （ ）a長方形 b平行四邊形 菱形 梯形6、下列說法正確的個數(shù)為 （ ）（1）； （2）； （3） （4）； （5）設(shè)為同一平面內(nèi)三個向量，且為非零向量，不共線，則與垂直。 a2 b. 3 c.

7、 4 d. 57、在邊長為1的等邊三角形abc中，設(shè)，則 的值為 （ a b 0 38、向量=（-1，1），且與+2方向相同，則的范圍是 （ ） a（1，+） b（-1，1） （-1，+） （-，1）9、在oab中，=（2cos，2sin），=（5cos，5sin），若=-5，則soab= （ ） a b 10、若非零向量、滿足，則 （ ）a. b. c. d. 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。11、若向量，則與平行的單位向量為_ ，與垂直的單位向量為_。12、已知，則在上的投影等于_ 。13、已知三點， 為線段的三等分點，則_14設(shè)向量與的夾角為，定義與的“向量積”：是一個

8、向量，它的模.若，則 . 三、解答題：本大題共6小題，共80分。15（本小題滿分12分）設(shè)向量=（3，1），=（-1，2），向量，又+=，求。16（本小題滿分12分）已知向量（）若點能構(gòu)成三角形，求滿足的條件；（）若為等腰直角三角形，且為直角，求的值17、（本小題滿分14分）已知a(2,0)，b(0,2)，c(cos,sin)，(0<<)。（1）若（o為坐標原點），求與的夾角；（2）若，求tan的值。18、（本小題滿分14分）如圖，o，a，b三點不共線，設(shè)，。（1）試用表示向量；（2）設(shè)線段ab，oe，cd的中點分別為l，m， n，試證明l，m，n三點共線。19、（本小題滿分14分

9、）在平面直角坐標系中，o為坐標原點，已知向量，又點(1)若且，求向量；(2)若向量與向量共線，當時，且取最大值為4時，求20、（本小題滿分14分）已知向量，且，求：（1）及；（2）若的最小值為，求實數(shù)的值。平面向量測試題參考答案一、選擇題：（每小題5分） dbaad bbcda二、填空題：（每小題5分） 11、 12、 13、 14、 2 三、解答題：本大題共6小題，共80分。15解： 設(shè)=（x,y），2y x =0，又，=（x+1，y-2），3( y-2) (x+1)=0，即：3y x-7=0，由、解得，x=14，y=7，=（14，7），則=-=（11，6）。16、解：（） 若點能構(gòu)成三角形，則這三點不共線， ，滿足的條件為（），若為直角，則， ， 又，再由，解得或17、解：，又，即，又，與的夾角為，由，可得，又由，0，由、得，從而18、解：(1)b，e，c三點共線，=x+(1-x)=2 x+(1-x)，同理，a，e，d三點共線，可得，=y+3(1-y)，比較，得，解得x=， y=,=。（