算符函數(shù)及其應(yīng)用

1、算符函數(shù)及其應(yīng)用物理與能源學(xué)院 物理學(xué)專業(yè)106012011017 吳敬圣 指導(dǎo)教師：林秀敏【摘要】由于微觀粒子具有波粒二象性，導(dǎo)致在量子力學(xué)中力學(xué)量必須用算符表示，因此研究算符函數(shù)具有重要意義。本文首先系統(tǒng)地闡述了算符、算符函數(shù)的定義及其在量子力學(xué)中的相關(guān)應(yīng)用；接著基于算符代數(shù)的非對易特性，介紹算符和算符函數(shù)的幾個常用公式；然后以受外場驅(qū)動的個二能級原子與單膜腔場相互作用系統(tǒng)為例，說明如何利用算符函數(shù)對一個難以求出本征解的哈密頓量進(jìn)行變換和簡化，從而得到能求出本征解的有效哈密頓量，以此說明算符函數(shù)在處理量子系統(tǒng)問題時的重要作用?！娟P(guān)鍵詞】算符；算符函數(shù)；哈密頓量1引言量子力學(xué)是描述微觀粒子運(yùn)

2、動規(guī)律的一門學(xué)科。由于微觀粒子具有波粒二象性，所以在量子力學(xué)中，微觀粒子的狀態(tài)不能再采用與描述經(jīng)典粒子相同的方式去描述1，而必須用波函數(shù)描述。如果已知波函數(shù)的具體形式，那么粒子在空間各點(diǎn)出現(xiàn)的概率即可求出。同樣地，微觀粒子的波粒二象性也決定了量子力學(xué)中各力學(xué)量（如坐標(biāo)、動量、角動量等）的性質(zhì)不同于經(jīng)典物理中的力學(xué)量2。經(jīng)典物理中各力學(xué)量在一切狀態(tài)下都具有確定值，但在量子力學(xué)中力學(xué)量可能有多種可能值，且力學(xué)量之間可能存在相互制約關(guān)系，如坐標(biāo)和動量就不可能同時具有確定值。因此，量子力學(xué)中力學(xué)量的描述方式與經(jīng)典方式不同，必須采用算符方式描述3-5。算符代數(shù)與普通代數(shù)之間的最大區(qū)別在于：算符的順序是有

3、意義的，而普通代數(shù)的順序無關(guān)緊要，這一點(diǎn)使算符代數(shù)有著許多不同的運(yùn)算性質(zhì) 6-8。力學(xué)量在量子力學(xué)中是用算符表示的，往往是算符函數(shù)。因此，量子理論必須采用非對易代數(shù)來處理有關(guān)問題。眾所周知，無論在量子光學(xué)還是在量子力學(xué)、量子場論、量子信息學(xué)中，往往需要求解哈密頓量的本征解，其體系的哈密頓量往往比較復(fù)雜，很難用解析的方法求出其本征解。但如果利用算符函數(shù)對其進(jìn)行簡化，那么就可以求解簡化形式的近似解。如對大多數(shù)實際量子體系，其哈密頓算符本征值往往難以求解，我們必須借助算符函數(shù)對該哈密頓算符進(jìn)行變換和化簡，得到可以求解出本征值的有效哈密頓量。前人對于算符已經(jīng)進(jìn)行了許多討論，例如算符的運(yùn)算9、量子態(tài)的疊

4、加性質(zhì)10、力學(xué)量與算符的關(guān)系11等等。同時，已有許多文獻(xiàn)在具體求解時使用了算符函數(shù) 12-14。因此，系統(tǒng)探討算符函數(shù)及其應(yīng)用對處理量子系統(tǒng)實際問題具有重要的意義。為了更好地體現(xiàn)算符函數(shù)在處理實際量子問題的重要作用，本文就利用一個具體的例子，詳細(xì)闡述如何利用算符函數(shù)求解量子系統(tǒng)問題。2算符2.1 算符所謂算符，就是使問題從一種狀態(tài)變化為另一種狀態(tài)的手段15-16。從數(shù)學(xué)上看, 算符被定義為由一個函數(shù)集向另一個函數(shù)集的映射，即指作用在一個函數(shù)上得到另一函數(shù)的運(yùn)算符號，其單獨(dú)存在時并沒有什么意義。如微分算符作用在函數(shù)上就代表對的求微分運(yùn)算，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為。2.2 量子力學(xué)中的力學(xué)量算符及其運(yùn)算規(guī)

5、則由于微觀粒子具有波粒二象性，導(dǎo)致在量子力學(xué)中引入算符來表示微觀粒子的力學(xué)量。眾所周知，量子力學(xué)中描述粒子狀態(tài)的波函數(shù)必須滿足線性迭加原理（或態(tài)迭加原理），因此量子力學(xué)中的力學(xué)量算符必為線性厄米算符，即力學(xué)量算符必須滿足： (1)其中與是任意波函數(shù)，與是任意的兩個常數(shù)（一般為復(fù)數(shù)）。對于有經(jīng)典對應(yīng)量的力學(xué)量，其相應(yīng)算符的構(gòu)成規(guī)則如下：只要把其經(jīng)典表達(dá)式中的用坐標(biāo)算符代替，用動量算符代替，即。在量子力學(xué)中，微觀體系的狀態(tài)（波函數(shù)或態(tài)矢)和力學(xué)量的具體表達(dá)形式稱為表象。在不同表象中，算符的具體形式是不同的。如在以坐標(biāo)為自變量的坐標(biāo)表象中，坐標(biāo)算符就是坐標(biāo)本身，即，動量算符為；在以動量為自變量的動量

6、表象中，動量算符就是動量本身，即，坐標(biāo)算符為。量子力學(xué)中可以有無窮多種的表象。在實際應(yīng)用中采用哪一種表象常常取決于所研究物理問題的具體特性, 方便于數(shù)學(xué)求解或?qū)τ谖锢韴D象的理解。2.3 算符函數(shù) 設(shè)給定一個函數(shù)，其各階導(dǎo)數(shù)均存在，冪級數(shù)展開收斂，則可以定義算符的函數(shù)為. (2)例如，可定義. (3).兩個或多個算符的函數(shù)也可以類似定義。例如，令 . (4)2.4 算符函數(shù)的若干常用公式 下面介紹幾種常用的算符函數(shù)公式：1定義對易式，對易式滿足下列代數(shù)恒等式：， ，. (5) 2定理：如果兩個非對易算符滿足 ， (6) 則有 . (7) 3如果函數(shù)可展開為的冪級數(shù)，其中，產(chǎn)生算符和湮滅算符滿足對

7、易關(guān)系，則有： (8) (9) 4如果可展開為冪級數(shù)，則有 (10) (11) . （12） 5對于玻色算符和，以下關(guān)系式成立 （13） . （14） 3算符函數(shù)的應(yīng)用既然力學(xué)量算符都是算符函數(shù)，因此算符函數(shù)在處理量子問題時尤其在量子力學(xué)、量子場論、量子光學(xué)和量子信息學(xué)中應(yīng)用很廣泛。如對大多數(shù)實際量子體系，其哈密頓算符本征值問題往往難以求解，我們必須借助算符函數(shù)對該哈密頓算符進(jìn)行變換和化簡，得到可求出本征解的有效哈密頓量。下面我們以N個二能級原子與一個單膜腔場相互作用系統(tǒng)為例17，來說明算符函數(shù)在簡化體系哈密頓量中的重要作用。如圖1所示，一個單膜腔場（頻率為）和個二能級原子（躍遷頻率為）相互作

8、用系統(tǒng)，原子受外部經(jīng)典場驅(qū)動（頻率為），則系統(tǒng)哈密頓量為： ， （15）圖1 外場驅(qū)動下的個二能級原子與單膜腔場的相互作用其中 和分別表示第j個原子的激發(fā)態(tài)和基態(tài)，和分別是腔模的產(chǎn)生和湮滅算符，g和分別是腔模與原子間的耦合常數(shù)和驅(qū)動場與原子間的耦合系數(shù)，原子下降算符，原子上升算符，(15)式左邊第一項表示個原子能量，第二項表示腔場能量，第三項表示驅(qū)動場與原子間相互作用能，第四項表示原子與腔場間相互作用能。在真實情況下，腔場與原子的相互作用還應(yīng)該包括它與損耗環(huán)境間的相互作用。但在這里，我們只考慮強(qiáng)耦合作用即g>k（k為耗散系數(shù)），這樣損耗可以被忽略。盡管如此，該哈密頓量的本征值仍很難求解。

9、為得到量子態(tài)隨時間的演化情況，我們把該哈密頓量變換到以驅(qū)動場頻率轉(zhuǎn)動的參考系中，即令 ， (16) ， (17) 其中令 ，得：. (19)在以驅(qū)動場頻率轉(zhuǎn)動的參考系中，算符變換為： 因為 這樣，利用泰勒級數(shù)展開，同理可得： . (23) 由（10）和（11）式得 ， (24). (25)將式（21）-（25）代入到（20）中，得：. （26）為了方便，我們令，即驅(qū)動場和原子躍遷共振。同時，我們定義：. （27）則在相互作用繪景中，相互作用哈密頓量變換為： (28)因為 = ， (29) 利用式（29）-（31）和泰勒級數(shù)展開，則 . (32) 利用式（32）和，則式（28）變?yōu)椋?3）代表復(fù)

10、共軛。容易求得的本征態(tài)為，對應(yīng)的本征值為。則式（33）可改寫為化簡后得到： (35)在強(qiáng)驅(qū)動場情況下，由于高頻振蕩對時間的平均效果為0，所以我們可以舍去高頻振蕩項和得： (36)如果選定，方程（36）同時實現(xiàn)了J-C相互作用和和反J-C相互作用。但是，反JC相互作用可以在囚禁離子系統(tǒng)中實現(xiàn)，但不適用于腔QED系統(tǒng)。利用該有效哈密頓量可制備多原子腔場糾纏態(tài)和各種腔場疊加態(tài)。4總結(jié)本文首先系統(tǒng)地闡述了算符、算符函數(shù)的定義及其在量子力學(xué)中的相關(guān)應(yīng)用；接著基于算符代數(shù)的非對易特性，介紹算符和算符函數(shù)的幾個常用公式；然后以受外場驅(qū)動的N個二能級原子與單膜腔場相互作用系統(tǒng)為例，說明如何利用算符函數(shù)對一個難

11、以求出本征解的哈密頓量進(jìn)行變換和簡化，從而得到能求出本征解的有效哈密頓量，以此說明算符函數(shù)在處理量子系統(tǒng)問題時的重要作用。參考文獻(xiàn)1 中國大百科全書·物理學(xué)M. 中國大百科全書出版社, 1987, 1054.2 曾謹(jǐn)言. 量子力學(xué)M北京：科學(xué)出版社, 2000, 17223 周世勛. 量子力學(xué)教程M北京: 高等教育出版社, 2009, 21254 潘佳俠. 淺談算符在量子力學(xué)中的意義J. 科技視界, 2013, (33). 5 曾謹(jǐn)言. 量子力學(xué)教程(第2版)M. 北京：科學(xué)出版社, 2008, 1522.6 鄒國興編著. 量子場論導(dǎo)論M. 北京：科學(xué)出版社, 1980, 7985.

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17、have wave-particle duality, so the study of operator function has important significance. The definition of operator, operator function, and its relevant application in quantum mechanics are systematically described. Then several commonly used formulas of operator and the operator function are introduced based on the characteristics of noncommutative operator algebras. The system of N two-level atoms driven by an external field interacting with a single-mode cavity is taken as an example to explain how to transform and simplify the systemic Ham