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1、第十五章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)性§1 平面點集1設是平面點列,是平面上的點. 證明的充要條件是,且.2 設平面點列收斂,證明有界.3 判別下列平面點集哪些是開集、閉集、有界集和區(qū)域,并分別指出它們的聚點: (1); (2); (3); (4); (5); (6); (7); (8).4設是閉集,是開集,證明是閉集,是開集.5證明開集的余集是閉集.6設是平面點集. 證明是的聚點的充要條件是中存在點列,滿足且.7用平面上的有限覆蓋定理證明致密性定理.8用致密性定理證明柯西收斂原理.9設是平面點集,如果集合的任一覆蓋都有有限子覆蓋,則稱是緊集. 證明緊集是有界閉集.10設是平面上的有界閉集
2、,是的直徑,即.求證:存在 ,使得.11仿照平面點集,敘述維歐氏空間中點集的有關(guān)概念 (如鄰域、極限、開集、聚點、閉集、區(qū)域、有界以及一些基本定理等).12敘述并證明三維空間的波爾察諾魏爾斯特拉斯致密性定理.§2 多元函數(shù)的極限與連續(xù)性1敘述下列定義: (1) ; (2) ; (3) ; (4) . 2求下列極限(包括非正常極限): (1) ; (2) ; (3) ;(4) ;(5) ;(6) ;(7) ;(8) ;(9) ;(10) ;(11) ;(12) ;(13) ;(14) .3討論下列函數(shù)在點的全面極限和兩個累次極限:(1) ;(2) ;(3) ;(4) ;(5) ;(6)
3、 ;(7) ;(8) .4敘述并證明二元函數(shù)極限的局部有界性定理和局部保號性定理.5敘述并證明存在的柯西收斂準則.6試作出函數(shù),使當時,(1) 全面極限和兩個累次極限都不存在;(2) 全面極限不存在,兩個累次極限存在但不相等;(3) 全面極限和兩個累次極限都存在.7討論下列函數(shù)的連續(xù)范圍:(1) ;(2) ;(3) ;(4) ;(5) (6) (7) ;(8) (9) .8若在某區(qū)域內(nèi)對變量連續(xù),對變量滿足利普希茨條件,即對任意和,有,其中為常數(shù),求證在內(nèi)連續(xù). 9證明有界閉集上二元連續(xù)函數(shù)的最值定理和一致連續(xù)性定理. 10設二元函數(shù)在全平面上連續(xù),求證: (1) 在全平面有界; (2) 在全平面一致連續(xù). 11證明:若分別對每一變量和是連續(xù)的,并
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