數(shù)列的基本問題

1、 數(shù)列的基本問題 1 數(shù)列的基本問題 數(shù)學(xué)奧林匹克中的數(shù)列問題可分為兩大類:基本問題和綜合問題.其中數(shù)列的基本問題包括:通項(xiàng)問題(包括求通項(xiàng)、求和、通項(xiàng)不等式和求和不等式)、數(shù)列性質(zhì)(單調(diào)有界和數(shù)列極限)、遞推問題(建立遞推、二階變換、轉(zhuǎn)化二階、遞推變換、遞推分析、不等遞推和不等分析)和重要數(shù)列(凸凹數(shù)列、周期數(shù)列和fibonacci數(shù)列). 1.數(shù)列通項(xiàng):例1:(2004年第四屆中國西部數(shù)學(xué)奧林匹克試題)設(shè)數(shù)列an滿足a1=a2=1,且an+2=+an,n=1,2,.求a2004.解析:由an+2=+anan+1an+2=1+anan+1數(shù)列anan+1是以a1a2=1為首項(xiàng),公差為1的等差

2、數(shù)列anan+1=nan+1an+2=n+1=;a2k=a2=1;a2k-1=a1=1.練習(xí)1:1.(中等數(shù)學(xué).2013年第3期.數(shù)學(xué)奧林匹克訓(xùn)練題(163)已知數(shù)列an滿足a1=1,a2=9,且對任意的正整數(shù)n有:nan+2-6(n+1)an+1+9(n+2)an=0.試求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.2.(中等數(shù)學(xué).2008年第11期.數(shù)學(xué)奧林匹克訓(xùn)練題(113)設(shè)a1=1,an+1=2an+n2(1+3n)(n=1,2,).求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.3.(中等數(shù)學(xué).2006年第6期.數(shù)學(xué)奧林匹克訓(xùn)練題(5)設(shè)x1=3,xn+1=(+1)xn+n+1(n=1,2,).求數(shù)列xn的通項(xiàng)公式.4.(1987

3、年中國國家隊(duì)測試題)已知數(shù)列an中,anr,且a1=1,a2=10,an2an-2=10an-13(n=3,4,).求an.5.(2009年第五屆北方數(shù)學(xué)奧林匹克數(shù)學(xué)邀請賽試題)設(shè)數(shù)列xn滿足x1=1,xn=+xn-1(n2).求數(shù)列xn的通項(xiàng)公式.6.(2004年巴爾干數(shù)學(xué)奧林匹克試題)對于所有非負(fù)整數(shù)m和n(mn),數(shù)列a0,a1,a2,滿足am+n+am-n-m+n-1=(a2m+a2n).若a1=3,求a2004. (2004年澳大利亞數(shù)學(xué)奧林匹克試題)非負(fù)整數(shù)數(shù)列xn定義為:x1是小于204的非負(fù)整數(shù),且xn+1=(+)xn2-+1,n>0.證明:數(shù)列xn一定包含無數(shù)個(gè)質(zhì)數(shù).

4、2.數(shù)列求和:例2:(2012年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽黑龍江預(yù)賽試題)已知函數(shù)f(x)=,數(shù)列an滿足a1=1,an+1=f()(nn+).()求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;()令tn=,求tn.解析:()由an+1=f()an+1=an+an=n+;()令bn=(-1)(2n-1)+1a2n-1a2n+(-1)2n+1a2na2n+1=(2n-1)+(2n)+-(2n)+(2n+1)+=-(4n+1)tn=-(2n2+3n). 2 數(shù)列的基本問題 練習(xí)2:1.(2009年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽陜西預(yù)賽試題)已知數(shù)列an滿足a1=4,an+1an+6an+1-4an-8=0.記bn=(nn+).求:()數(shù)列bn的

5、通項(xiàng)公式;()數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和sn.2.(中等數(shù)學(xué).2005年第9期.數(shù)學(xué)奧林匹克訓(xùn)練題(80)設(shè)數(shù)列an滿足a1=a2=1,且an+1an-1=an2+nanan-1(n=2,3,).()求an;()求.3.(中等數(shù)學(xué).2007年第8期.數(shù)學(xué)奧林匹克訓(xùn)練題(100)已知數(shù)列an滿足a1=,(1-an)an+1=.()求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;()求證:+<n+.4.(中等數(shù)學(xué).2010年第12期.數(shù)學(xué)奧林匹克訓(xùn)練題(136)已知數(shù)列an滿足a1=,=(n2).試求的值.5.(2003年第2屆中國女子數(shù)學(xué)奧林匹克(cgmo)試題)定義數(shù)列an如下:a1=2,an+1=an2-an+1,

6、n=1,2,.證明:1-<+<1.6.(2005年中國國家隊(duì)測試題)數(shù)列an定義如下:a1=,且an+1=(n=1,2,).證明:對每一個(gè)正整數(shù)n,都有a1+a2+an<1. 3.通項(xiàng)不等式:例3:(2009年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽陜西預(yù)賽試題)已知函數(shù)f(x)=,數(shù)列an、bn滿足:a1>0,b1>0,an=f(an-1),bn=f(bn-1)(n=2,3,).()求a1的取值范圍,使得對任意的正整數(shù)n,都有an+1>an;()若a1=3,b1=4,證明:0<bn-an(n=1,2,).解析:()函數(shù)f(x)=4-在區(qū)間(0,+)內(nèi)單調(diào)遞增,且f(x)&g

7、t;x>x(x>0)0<x<,f()=;所以,當(dāng)a1(0,)時(shí),f(a1)>a1>a2>a1>0f()>f(a2)>f(a1)>0>a3>a2>0>an+1>an>0;當(dāng)a1,+)時(shí),f(a1)a1a2a1an+1an.綜上,a1的取值范圍是(0,);()由()知,數(shù)列an單調(diào)遞增,數(shù)列bn單調(diào)遞減,且an3,),bn(,4bn-an>0;又因bn-an=-=<=(bn-1-an-1)bn-an<(b1-a1)()n-1=.練習(xí)3:1.(2005年上海市ti杯高二數(shù)學(xué)競賽試題

8、)已知數(shù)列an的首項(xiàng)a1=2,且an+1=(nz+),求使不等式|an+1-an|<10-9 數(shù)列的基本問題 3 成立的最小正整數(shù)n.2.(2009年第39屆澳大利亞數(shù)學(xué)奧林匹克試題)設(shè)p為大于1的整數(shù),集合fp表示各項(xiàng)均為非負(fù)整數(shù),且滿足遞推關(guān)系式:an+1=(p+1)an-9an-1(n1)的所有非常數(shù)數(shù)列an的集合.證明:存在fp中的一個(gè)數(shù)列an,滿足對任意的一個(gè)在fp中的數(shù)列bn,有anbn(nn+).3.(第九屆加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克試題)設(shè)0<a<1,定義a1=1+a,an=+a(n2).證明:對一切自然數(shù)n,都有an>1.4.(1980年芬蘭、英寺國、匈牙利和

9、瑞典四國數(shù)學(xué)奧林匹克試題)數(shù)列a0,a1,an,滿足:a0=,ah+1=ak+ak2(k=0,1,2,n-1).證明:1-<an<1.5.(2010年哥倫比亞數(shù)學(xué)奧林匹克試題)已知數(shù)列a0,a1,an,滿足a0=1,an=n2a0+(n-1)2a1+22an-2+an-1(n1).證明:an+1an(n1).6.(2005年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽河北預(yù)賽試題)已知數(shù)列an滿足:a1=1,an+1an-1=an2.()證明:an;()求整數(shù)m,使得|a2005-m|最小. 4.求和不等式:例4:(2005年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽安徽預(yù)賽試題)已知在數(shù)列an中,a1=t,a2=t2,其中t>

10、0,x=是函數(shù)f(x)=an-1x3-3(t+1)an-an+1x+1(n2)的一個(gè)極值點(diǎn).()求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;()若<t<2,bn=(nn+).求證:+<2n-.解析:()因(x)=3an-1x2-3(t+1)an-an+1;由()=0tan-1-(t+1)an-an+1=0an+1=(t+1)an-tan-1an+1-an=t(an-an-1)an+1-an=(t-1)tn;當(dāng)t=1時(shí),an=1;當(dāng)t1時(shí),由an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)=t+(t-1)(t+t2+tn-1)=(t+t2+tn)-(t+t2+tn-1)=tn.又因an

11、=1適合該式,故an=tn;()由bn=(an+)=(tn+);又由函數(shù)f(t)=(tn+)(<t<2)<f(2)=2n-1+<2n-1+<+=(2n-1)+(-)=2n-(+)<2n-2=2n-.練習(xí)4:1.(2010年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖北預(yù)賽試題)已知數(shù)列an滿足:a1=1,an+1=(an+)(nn+).sn是其前n項(xiàng)和.證明:當(dāng)n2時(shí),2n-1<sn<2n-.2.(2007年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇預(yù)賽試題)在數(shù)列an中,已知a1=2,an+1an+an+1-2an=0.對于任意正整數(shù)n,有<m(m為常數(shù),且m為整數(shù)),求m的最小值.3

12、.(中等數(shù)學(xué).2012年第9期.數(shù)學(xué)奧林匹克訓(xùn)練題(157)已知數(shù)列an滿足a1=2,a2=6,+=(n2).()求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;()令bn=,sn為數(shù)列bn的前n項(xiàng)和.證明:sn<2. 4 數(shù)列的基本問題 4.(中等數(shù)學(xué).2005年第5期.數(shù)學(xué)奧林匹克訓(xùn)練題(76)設(shè)1<x1<2,對于n=1,2,定義xn+1=1+xn-xn2.當(dāng)m3時(shí),證明:<.5.(中等數(shù)學(xué).2008年第8期.數(shù)學(xué)奧林匹克訓(xùn)練題(110)數(shù)列an滿足a1=1,an+1=2an-n2+3n(nn+).()求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;()設(shè)bn=,sn=.證明:當(dāng)n2時(shí),<sn<.6.(中

13、等數(shù)學(xué).2009年第2期.數(shù)學(xué)奧林匹克訓(xùn)練題(115)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn,a1=1,且2sn=anan+1(nn+).()求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;()構(gòu)造數(shù)列bn:b1=1,當(dāng)n2時(shí),bn=.求證:無論給定多么大的正整數(shù)m,都必定存在一個(gè)n,使b1+b2+bn>m. 5.單調(diào)有界:例5:(2008年第八屆中國西部數(shù)學(xué)奧林匹克試題)設(shè)整數(shù)m(m2),a為正實(shí)數(shù),b為非零實(shí)數(shù),數(shù)列xn定義如下:x1=b,xn+1=axnm+b(n=1,2,).證明:()當(dāng)b<0且m為偶數(shù)時(shí),數(shù)列xn有界的充要條件是abm-1-2;()當(dāng)b<0且m為奇數(shù),或b>0時(shí),數(shù)列xn有界的充

14、要條件是abm-1.解析:首先注意到:函數(shù)f(x)=axm+b在(0,+)內(nèi)單調(diào)遞增.()(必要性)若abm-1<-2,則abm>-2babm+b>-b>0x1>-b>0f(x1)>f(-b)>0x3>x2>0f(x3)>f(x2)>0x4>x3>0xn+1>xn>-b>0;又由xn+1=axnm+bxn+2-xn+1=a(xn+1m-xnm)=a(xn+1-xn)(xn+1m-1+xn+1m-2xn+xnm-1)>amxnm-1(xn+1-xn)>am(-b)m-1(xn+1-x

15、n)>2m(xn+1-xn)xn+1-xn>(2m)n-1(x2-x1)xn>x1+(x2-x1)1+(2m)+(2m)2+(2m)n-2數(shù)列xn為無界數(shù)列,矛盾,所以,abm-1-2;(充分性)由abm-1-2abm-2b0<abm+b-b0<x2-b,假設(shè)0<xn<-b0<xnm<(-b)m=bm0<xn+1=axnm+b<abm+b<-bxnb,-b數(shù)列xn為有界數(shù)列;()當(dāng)b>0時(shí),xn>0,首先證明:數(shù)列xn有界的充要條件是方程f(x)=x有正根x0.(必要性)反證:假設(shè)f(x)=x無正根,則函數(shù)f(

16、x)-x在(0,+)上的最小值t>0f(xn)-xntxn+1-xntxnx1+(n-1)t數(shù)列xn為無界數(shù)列,矛盾,所以,方程f(x)=x有正根x0;(充分性)由方程f(x)=x有正根x0ax0m+b=x0x1=b<x0;設(shè)xn<x0xn+1=f(xn)<f(x0)=x0,所以xn<x00<xn<x0數(shù)列xn為有界數(shù)列; 又因ax0m+b-x0=0ax0m-1+=1(而函數(shù)g(x)=axm-1+(x)=a(m-1)xm-2-g(x)的最小值=g()=b)b1abm-1; 當(dāng)b<0且為奇數(shù)時(shí),x1=b,xn+1=axnm+by1=-b,yn+1=

17、aynm+(-b),轉(zhuǎn)化為上述情況.練習(xí)5:1.(1994年保加利亞數(shù)學(xué)奧林匹克試題)實(shí)數(shù)列a0,a1,an,由下述等式定義:an+1=2n-3an,n=0,1,2,.()求依賴于a0和n的an的表達(dá)式;()求a0,使得對任意正整數(shù)n,an+1>an.2.(2009年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽吉林初賽試題)已知數(shù)列an中,a1>0,且an+1=.()試求a1的取值范圍,使得an+1>an對任何正整數(shù)n都成立;()若a1=4,設(shè)bn=|an+1-an|(n=1,2,3,),并以sn表示數(shù)列bn的前n項(xiàng)的和,證明:sn<. 數(shù)列的基本問題 5 3.(2012年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江西預(yù)賽

18、試題)數(shù)列an定義如下:a1=1,對于每個(gè)nn,a4n+1,a4n+2,a4n+3構(gòu)成等差為2的等差數(shù)列,而a4n+3,a4n+4,a4n+5構(gòu)成公比為的等比數(shù)列.證明:an為有界數(shù)列,并求出其最小上界.4.(2004年第45屆國際數(shù)學(xué)奧林匹克預(yù)選題)已知無窮數(shù)列a0,a1,a2,滿足條件an=|an+1-an+2|,其中a0,a1是兩個(gè)不同的正數(shù).問這個(gè)數(shù)列是否有界？5.(2007年保加利亞數(shù)學(xué)奧林匹克試題)設(shè)a1>,對于n1,有an+1=.證明:()an>n-;()數(shù)列bn=2n(-1)(n=1,2,)是收斂的.6.(2005年越南數(shù)學(xué)奧林匹克試題)考察實(shí)數(shù)數(shù)列xn,定義:x1

19、=a,xn+1=3xn3-7xn2+5xn,n=1,2,其中a為實(shí)數(shù).求所有a的值,使得當(dāng)n趨于無限大時(shí),數(shù)列xn有確定的界限,并求該界限值. 6.收斂極限:例6:(2003年越南數(shù)學(xué)奧林匹克試題)給定一個(gè)實(shí)數(shù)a(a0),考慮下述的實(shí)數(shù)序列xn:x1=0,xn+1(xn+a)=a+1,n=1,2,3,.()求數(shù)列xn的通項(xiàng)公式;()證明:數(shù)列xn存在極限,并求這個(gè)極限.解析:()由xn+1(xn+a)=a+1xn+1=,其特征方程x=有根x=1,-a-1若a-2,則=-(a+1)=(-a-1)nxn=;若a=-2,則=-1=-nxn=1-;()由():若a=-2,則xn=1-xn=1;若a=-

20、1,則xn=0xn=0;若a(-2,-1)(-1,0),則|-a-1|<1xn=-(a+1);若a(-,-2)(0,+),則|-a-1|>1xn=1.練習(xí)6:1.(中等數(shù)學(xué).2007年第6期.數(shù)學(xué)奧林匹克訓(xùn)練題(10)設(shè)x1=a,x2=b,xn+2=+c(n=1,2,),其中,a、b、c為給定的實(shí)數(shù).()求數(shù)列xn的通項(xiàng)公式;()問:當(dāng)c為何值時(shí),極限xn存在？如果存在請求出其值.2.(2003年保加利亞數(shù)學(xué)奧林匹克試題)設(shè)a1>0,an+1=an+,對任意的n1成立,證明:()ann對任意的n>1成立;()數(shù)列是收斂的,并求其極限.3.(2008年越南數(shù)學(xué)奧林匹克試題

21、)實(shí)數(shù)列xn被定義為:x1=0,x2=2,xn+2=+(n=1,2,).證明:當(dāng)n+時(shí),數(shù)列xn有極限,并求出這個(gè)極限. 6 數(shù)列的基本問題 4.(2007年越南數(shù)學(xué)奧林匹克試題)已知實(shí)數(shù)a(a>2),且fn(x)=a10xn+10+xn+x+1(n=1,2,).證明:對于所有的正整數(shù)n,方程fn(x)=a恰有一個(gè)實(shí)數(shù)根xn(0,+),且當(dāng)n+時(shí),數(shù)列xn收斂.5.(2005年克羅地亞數(shù)學(xué)奧林匹克試題)給定一數(shù)列an,nn+,其中,a1=1,an=a1a2an-1+1,n2.求m的最小值,滿足對任意mn+,m成立. (中等數(shù)學(xué).2009年第6期.數(shù)學(xué)奧林匹克訓(xùn)練題(19)已知數(shù)列an由a

22、1=,an+1=an2+an-12+a12(nn+)確定.若對于任意的n(nn+),+<m恒成立.求m的最小值.6.(中等數(shù)學(xué).2011年第12期.數(shù)學(xué)奧林匹克訓(xùn)練題(148)給定正數(shù),若存在一個(gè)無窮正數(shù)數(shù)列an滿足:1+an+1<an+an(n=1,2,).證明:1. 7.建立遞推:例7:(2005年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽河南預(yù)賽試題)如圖: y設(shè)p1(1,),p2(4,2),pn(xn,yn)是曲線c:y2=3x(y p40)上的n個(gè)點(diǎn).點(diǎn)ai(i=1,2,n)在x軸的正半軸上,滿 p2 p3足ai-1aipi是正三角形(a0是坐標(biāo)原點(diǎn)). p1()求點(diǎn)an(an,0)的橫坐標(biāo)an關(guān)

23、于n的表達(dá)式; o a1 a2 a3 x()試求+的值(a表示這個(gè)數(shù)的整數(shù)部分,當(dāng)2005<c<2005.6時(shí),取=44.78;當(dāng)2006<c<200.5時(shí),=44.785).解析:()由ai-1aipi是正三角形pn的的橫坐標(biāo)等于點(diǎn)an-1與an的橫坐標(biāo)的等差中項(xiàng),即xn=yn=;由a0=0,x1=1a1=2;又由yn=|an-1an|=(an-an-1)=(an-an-1)(an-an-1)2=2(an-1+an)an-12-2(an+1)an-1+an2-2an=0an+12-2(an+1)an+1+an2-2an=0an-1,an+1是方程x2-2(an+1)x

24、+an2-2an=0的兩個(gè)不相等(an+1>an-1)的根an-1+an+1=2(an+1)(an+1-an)-(an-an-1)=2an+1-an=(a1-a0)+2n=2+2nan=n(n+1);()因=<<=2(-)+<2(-)<88.2;=>>=2(-)+<2(-)>87.3+=88.練習(xí)7:1.(2006年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽甘肅預(yù)賽試題)設(shè)a、b為正整數(shù),兩直線l1:y=-x+b與l2:y=x的交點(diǎn)是(x1,y1),對于自然數(shù)n(n2),過點(diǎn)(0,b)和(xn-1,0)的直線與直線l2的交點(diǎn)記為(xn,yn).求數(shù)列xn、yn的通項(xiàng)

25、公式.2.(2006年第六屆中國西部數(shù)學(xué)奧林匹克試題)設(shè)k是一個(gè)不小于3的正整數(shù),是一個(gè)實(shí)數(shù).證明:如果cos(k-1)和cosk都是有理數(shù),那么,存在正整數(shù)n(n>k),使得cos(n-1)和cosn都是有理數(shù).3.(2006年克羅地亞數(shù)學(xué)奧林匹克試題)對于任意正整數(shù)n,證明:tann150+cotn150是一個(gè)正偶數(shù).4.(2007年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇預(yù)賽試題)已知數(shù)列bn=(1+)n-(1-)n(n=0,1,2,).()n是什么數(shù)時(shí),bn是整數(shù)？ 數(shù)列的基本問題 7 ()如果n是奇數(shù),并且bn是整數(shù),那么,n是多少？5.(第三十屆加拿大國家隊(duì)測試題)求函數(shù)f:r+r+,使?jié)M足f(

26、f(x)=6x-f(x).6.(1988年第29屆國際數(shù)學(xué)奧林匹克預(yù)選題)整數(shù)數(shù)列an滿足:a1=2,a2=7,-<an+1-,n2.求證:對所有n>1,an為奇數(shù). 8.二階變換:例8:等價(jià)定理:如果數(shù)列an(an0,n=0,1,2,)滿足下列遞推關(guān)系中的一個(gè),那么,它也滿足其余兩個(gè)遞推關(guān)系.an+2+pan+1+qan=0;anan+2-an+12=(a0a2-a12)qn;an+12+pan+1an+qan2=(a12-a0a2)qn.解析:由an+2+pan+1+qananan+2-an+12=an(-pan+1-qan)-an+12=-panan+1-qan2-an+12

27、=an+1(-pan-an+1)-qan2=qan+1an-1-qan2=q(an+1an-1-an2)數(shù)列anan+2-an+12是以a0a2-a12為首項(xiàng),公比為q的等比數(shù)列anan+2-an+12=(a0a2-a12)qn;:由anan+2-an+12=(a0a2-a12)qnan+1an+3-an+22=(a0a2-a12)qn+1an+1an+3-an+22=q(anan+2-an+12)an+1(an+3+qan+1)=an+2(an+2+qan)=,記=-pan+2+pan+1+qan=0;:由an+2+pan+1+qanan+12+pan+1an+qan2=an+12+(pan

28、+1+qan)an=an+12-anan+2(由)=(a12-a0a2)qn;:由an+12+pan+1an+qan2=(a12-a0a1)qn(qan)2+pan+1(qan)+qan+12+(a0a2-a12)qn+1=0;an+12+pan+1an+qan2=(a12-a0a2)qnan+22+(pan+1)an+2+qan+12+(a0a2-a12)qn+1=0qan,an+2是方程x2+(pan+1)x+(a0a2-a12)qn+1=0的兩根qan+an+2=-pan+1an+2+pan+1+qan=0;練習(xí)8:1.(2001年第50屆保加利亞數(shù)學(xué)奧林匹克試題)已知數(shù)列an滿足a0=

29、4,a1=22,且an-6an-1+an-2=0(n2).證明:存在兩個(gè)正整數(shù)數(shù)列xn和yn滿足an=.2.(2005年奧地利數(shù)學(xué)奧林匹克試題)設(shè)a、b、c是給定的實(shí)數(shù),定義sn為它們的n次冪之和:sn=an+bn+cn,其中,n是正整數(shù).已知s1=2,s2=6,s3=14,證明:對任意整數(shù)n(n>1),都有|sn2-sn-1sn+1|=8.3.設(shè)a1=1,a2=-1,an=-an-1-2an-2(n3).證明:當(dāng)n2時(shí),2n+1-7an-12是一個(gè)完全平方數(shù).4.已知數(shù)列a1=a2=a3=1,且an+3=.證明:a2n-1a2n+3-a2n+12=2. (2007年克羅地亞數(shù)學(xué)奧林匹克

30、試題)非零實(shí)數(shù)列滿足xn2-xn+1xn-1=1(n2).證明:對于n2,為定值.5.(2004年中國國家隊(duì)測試題)已知數(shù)列cn滿足:c0=1,c1=0,c2=2005,cn+2=-3cn-4cn-1+2008(n=1,2,).記an=5(cn+2-cn)(502-cn-1-cn-2)+4n×2004×501(n=1,2,).問n>2時(shí),an是否為完全平方數(shù)？6.(2010年第十屆中國西部數(shù)學(xué)奧林匹克試題)設(shè)k為大于1的整數(shù),數(shù)列an定義如下:a0=0,al=1,an+1=kan+an-1(n=1,2,).求所有滿足如下條件的k:存在非負(fù)整數(shù)t、m(tm),及正整數(shù)p

31、、q,使得at+kap=am+kaq. 9.轉(zhuǎn)化二階:例9:(1972年奧地利數(shù)學(xué)奧林匹克試題)設(shè)非零數(shù)列an滿足a1,a2,都是整數(shù),an+2=,n=1,2,3,其中b是某個(gè)給定的整數(shù).求證:數(shù)列an的每一項(xiàng)都是整數(shù).解析:由an+2=anan+2-an+12=ban+1an+3-an+22=ban+1an+3-an+22=anan+2-an+12an+1(an+1+an+3)=an+2(an+an+2)=數(shù)列是常數(shù)數(shù)列,且常數(shù)=p是整數(shù)=pan+2=pan+1-an,由a1,a2都是整數(shù)數(shù)列an的每一項(xiàng)都是整數(shù).練習(xí)9: 8 數(shù)列的基本問題 1.(1963年莫斯科數(shù)學(xué)奧林匹克試題)已知數(shù)列

32、an:a1=a2=1,an+2=,證明:an為整數(shù).2.(1991年全蘇數(shù)學(xué)冬令營試題)已知正數(shù)列an滿足a1=a2=1,a3=249,且an+3=,n=1,2,3,.求證:對于n1,an是整數(shù).3.(2004年德國數(shù)學(xué)奧林匹克試題)已知數(shù)列a1,a2,a3,定義如下:a1=1,a2=1,a3=2,an+3=(an+1an+2+7),n>0,求證:對于所有的正整數(shù)n,an是整數(shù).4.(2002年英國數(shù)學(xué)奧林匹克試題)證明:數(shù)列y0=1,yn+1=,nn的各項(xiàng)都是由整數(shù)構(gòu)成. (1985年第26屆國際數(shù)學(xué)奧林匹克(imo)預(yù)選題)設(shè)a0=1,且對n=0,1,2,有an+1=(k+1)an+

33、k(an+1)+2,其中k是給定的正整數(shù).求證:對于n0,an是整數(shù).5.(2003年中國西部數(shù)學(xué)奧林匹克試題)已知數(shù)列an滿足a0=0,an+1=kan+,n=0,1,2,其中k為給定的正整數(shù).證明:數(shù)列an的每一項(xiàng)都是整數(shù),且2k|a2n,n=0,1,2,.6.(2011年第14屆中國香港數(shù)學(xué)奧林匹克試題)數(shù)列an滿足:x1為一正實(shí)數(shù);xn+1=xn+2(n=1,2,).證明:在x1,x2,x2011中,至少可以找到670個(gè)無理數(shù). 10.遞推變換:例10:(2008年第八屆中國西部數(shù)學(xué)奧林匹克試題)實(shí)數(shù)數(shù)列an滿足a00,1,a1=1-a0,an+1=1-an(1-an)(n=1,2,)

34、.證明:對任意的正整數(shù)n,都有a0a1an(+)=1.解析:由an+1=1-an(1-an)an+1-1=an(an-1)an=a1a2an=(an+1-1)=-(an+1-1)a0a1a2an=1-an+1;又由an+1-1=an(an-1)=-=-+=+(-)+(-)+(-)=+(-)=+(-)=a0a1an(+)=(1-an+1)=1.練習(xí)10:1.(2009年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖北初賽試題)設(shè)數(shù)列an(n0)滿足a1=2,am+n+am-n-m+n=(a2m+a2n),其中m,nn,mn.()證明:對一切nn,有an+2=2an+1-an+2;()證明:+<1.2.(2008年全國

35、高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖北初賽試題)設(shè)數(shù)列an滿足:a1=1,a2=2,=(n1). ()求an+1與an之間的遞推關(guān)系式an+1=f(an);()證明:63<a2008<78.3.(2003年克羅地亞數(shù)學(xué)奧林匹克試題)實(shí)數(shù)數(shù)列an滿足:am+n+am-n=(a2m+a2n),其中mn0.如果a1=1,求a2003.4.(2004年巴爾干數(shù)學(xué)奧林匹克試題)對于所有非負(fù)整數(shù)m和n(mn),數(shù)列a0,a1,a2,滿足am+n+am-n-m+n-1=(a2m+ 數(shù)列的基本問題 9 a2n).若a1=3,求a2004.5.(2004年克羅地亞數(shù)學(xué)奧林匹克試題)實(shí)數(shù)數(shù)列xn、yn、zn:nn+,定義為

36、:xn+1=,yn+1=,zn+1=,且首項(xiàng)x1=2,y1=4,z1滿足x1y1z1=x1+y1+z1.()證明:對所有的nn+,有xn21,yn21,zn21;()有使得xk+yk+zk=0成立的正整數(shù)k嗎？6.(2009年越南數(shù)學(xué)奧林匹克試題)已知數(shù)列xn滿足:x1=,xn=(n=2,3,).若yn=(n=1,2,).證明:數(shù)列yn有極限,并求出這個(gè)極限. 11.遞推分析:例11:(2011年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖北初賽試題)已知數(shù)列an滿足a1=,an+1=an+(nn*).證明:對一切nn*,有:()an<an+1<1;()an>-.解析:()顯然an>0,所以an

37、+1=an+>an;所以,對一切kn*,ak+1=ak+<ak+akak+1,所以-<,所以,當(dāng)n2時(shí),-<<1+=1+(1-)=2->1+>1an<1.()顯然a1=>-;由an<1,知ak+1=ak+<ak+akak>ak+1ak+1=ak+>ak+akak+1=ak+akak+1->.當(dāng)n2時(shí),->>=1-an>>-.練習(xí)11:1.已知數(shù)列an滿足a1=1,anan+1=n+1(nn*).證明:2(-1).2.(第49屆莫斯科數(shù)學(xué)奧林匹克試題)設(shè)a1=1,且an=+,其中n=2,3

38、,10.求證:0<a10-<10-370.3.(第16屆莫斯科數(shù)學(xué)奧林匹克試題)設(shè)x0=109,xn=,n=1,2,.求證:0<x36-<10-9.4.(1985年加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克試題)設(shè)1<x1<2,令xn+1=1+xn-xn2,n=1,2,3,.求證:|xn-|<2-n,n=3,4,5,.5.(2006年第三十二屆俄羅斯數(shù)學(xué)奧林匹克試題)正數(shù)數(shù)列xn、yn滿足條件:x1、x2、y1、y2都大于1,且對一切正整數(shù)n,有xn+2=xn+xn+12,yn+2=yn2+yn+1.證明:存在正整數(shù)n,使得xn>yn.6.(1988年瑞典數(shù)學(xué)奧林匹克試

39、題)數(shù)列a1,a2,a3,滿足a1=1,an+1=,n=1,2,3,.求證:存在正數(shù),使得2. 12.不等遞推:例12:(2004年第一屆東南地區(qū)數(shù)學(xué)奧林匹克競賽試題)()是否存在正整數(shù)的無窮數(shù)列an,使得對任意的正整數(shù)n,都有an+122anan+2;()是否存在正無理數(shù)的無窮數(shù)列an,使得對任意的正整數(shù)n,都有an+122anan+2.解析:由an>0,an+122anan+2()2()n-1an=a1 10 數(shù)列的基本問題 a1()n-1()0+1+2+(n-2)=a1()n-1(=;()令a22<2k-2,則an<1,與ak是正整數(shù)矛盾,所以,不存在;()令an=()

40、(n-1)(n-2),即滿足.練習(xí)12:1.(1964年北京市高中數(shù)學(xué)競賽試題)設(shè)正數(shù)列a1,a2,an,滿足an2an-an+1,n=1,2,3,.求證:對任意nn+,有an<.2.(1997年第十二屆中國數(shù)學(xué)奧林匹克試題)設(shè)非負(fù)數(shù)列a1,a2,滿足條件an+man+am,m,nn+.求證:對任意nm,均有anma1+(-1)am.3.(2005年羅馬尼亞數(shù)學(xué)奧林匹克試題)設(shè)數(shù)列akk1為一非負(fù)整數(shù)列,且對任意k1,滿足aka2k+a2k+1.()證明:對任意正整數(shù)n,可以在數(shù)列中找到n個(gè)連續(xù)的零項(xiàng);()寫出一個(gè)滿足以上條件,且存在無限個(gè)非零項(xiàng)的數(shù)列.4.(中等數(shù)學(xué).2008年第6期.

41、數(shù)學(xué)奧林匹克訓(xùn)練題(15)已知數(shù)列an:a1=8,a2=10,an+1+an-1<an.求證:2n-1an<4n+4.5.(2010年新加坡數(shù)學(xué)奧林匹克試題)對于所有的k(k=1,2,n)均有a11,ak+1ak+1.證明:a13+a23+an3(a1+a2+an)2.6.(中等數(shù)學(xué).2010年第5期.數(shù)學(xué)奧林匹克訓(xùn)練題(129)已知數(shù)列xn滿足x1=a(a>0),且對所有正整數(shù)n有:xn+1(n+2)xn-.求證:存在正整數(shù)n,使得xn>2010！. 13.凸凹數(shù)列:例13:實(shí)數(shù)列an滿足:ak+ak+22ak+1(k=0,1,2,),則稱數(shù)列an為“凹數(shù)列”.證明:

42、凹數(shù)列an有如下性質(zhì):()性質(zhì):對任意m、nn,有an-am(n-m)(am+1-am);對0k<m<n,有;對0m<pq<n,且m+n=p+q,有am+anap+aq;()性質(zhì):對0in,有ai(1-)a0+an;對0in,有aimaxa0,an;若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn,則snn(a1+an);()性質(zhì):若數(shù)列an的子列的下標(biāo)成等差數(shù)列,則該子列也是凹數(shù)列;若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn,則數(shù)列是凹數(shù)列.解析:()(i)當(dāng)n=m時(shí),不等式顯然成立;(ii)當(dāng)n>m時(shí),令bk=ak+1-ak,由ak+ak+22ak+1ak+2-ak+1ak+1-akbk+1bkb

43、m+k-1bmam+k-am+k-1am+1-aman-am=(an-an-1)+(an-1+an-2)+(am+1-am)(n-m)(am+1-am);(iii)當(dāng)n<m時(shí),an-am(n-m)(am+1-am)am-an(m-n)(am+1-am)成立.特別地,當(dāng)m=1時(shí),有ana1+(n-1)(a2-a1); 由知,an-am(n-m)(am+1-am)當(dāng)n>m時(shí),am+1-am;當(dāng)m>k時(shí),ak-am(k-m)(am+1-am)am-ak(m-k)(am+1-am)am+1-am; 由知,(注意到:m+n=p+qn-p=q-m,n-q=p-m)an-ap(ap-am)

44、,am 數(shù)列的基本問題 11 -aq(aq-an),兩式相加得(an-ap)+(am-aq)(ap-am)+(aq-an)(1+)(am+an)-(ap+aq)0(1+>0)am+anap+aq; ()在中,令m=i,k=0得ai(1-)a0+an; 設(shè)maxa0,an=m,由ai(1-)a0+an(1-)m+m=maimaxa0,an; 由am(m-k)an+(n-m)ak,令m=i,k=1得:ai(i-1)an+(n-i)a1snan+a1=n(a1+an);()設(shè)數(shù)列an的子列的下標(biāo)為等差數(shù)列kn,則kn+kn+2=2kk+1+2是凹數(shù)列; 由ai+(n-i)an+1(n-i+1)

45、ansn-1+an+1an2sn-1+n(n-1)an+1(n-1)(n+2)an2sn-1+n(n-1)(sn+1-sn)(n-1)(n+2)(sn-sn-1)+2是凹數(shù)列.練習(xí)13:1.(第18屆波蘭數(shù)學(xué)奧林匹克試題)數(shù)列ak滿足:ak-1+ak+12ak(1kn,n2).證明:若a0=an=0,則a0,a1,an中沒有正數(shù).2.(2009年中歐數(shù)學(xué)奧林匹克試題)設(shè)an為嚴(yán)格單調(diào)的正整數(shù)數(shù)列,且對于四元數(shù)組(i,j,k,t)(1i<jk<t).若i+t=j+k,則ai+at>aj+ak.求a2009的最小值.3.(1988年第29屆國際數(shù)學(xué)奧林匹克預(yù)選題)數(shù)列ak,k=1

46、,2,是一非負(fù)實(shí)數(shù)列,滿足ak-2ak+1+ak+20及1,k=1,2,.求證:對任意正整數(shù)k,有0ak-ak+1<.4.(2009年第九屆中國西部數(shù)學(xué)奧林匹克試題)實(shí)數(shù)列a1,a2,an(n3)滿足a1+a2+an=0,且2akak-1+ak+1(k=2,3,n-1).求最小的(n),使得對所有的k1,2,n,都有|ak|(n)max|a1|,|an|.5.(2010年伊朗數(shù)學(xué)奧林匹克試題)如果對于每一個(gè)i(0<i<1389),均有ai,則稱實(shí)數(shù)列a0,a1,a1389為一個(gè)“凹數(shù)列”.試求最大的實(shí)數(shù)c,使得對于每一個(gè)非負(fù)的凹數(shù)列,均有c.6.(2009年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖

47、南預(yù)賽試題)如果一個(gè)數(shù)列an的任意相鄰三項(xiàng)ai-1、ai、ai+1滿足ai-1ai+1ai2,則稱該數(shù)列為“對數(shù)性凸數(shù)列”.設(shè)正項(xiàng)數(shù)列a0,a1,an是“對數(shù)性凸數(shù)列”.求證:()()()(). 14.不等分析:例14:(2006年中國數(shù)學(xué)奧林匹克試題)已知數(shù)列an滿足條件:a1=,2an-3an-1=,n2.設(shè)m為正整數(shù),m2.證明:當(dāng)nm時(shí),有:(an+m-(<.解析:由2an-3an-1=an=an-1+=+()n-1,令bn=,則b1=,且bn-bn-1=()n-1bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+(bn-bn-1)=+()2+()n-1=1-()nan=()n1-()

48、n=()n-;所 12 數(shù)列的基本問題 以,(an+m-(<(m-(<(1-)(m-(<m-1; 由均值不等式:(1-)m=(1-)m×1×1××1(mn-m個(gè)1)<mn=()mn=n,又由二項(xiàng)式定理:當(dāng)m2時(shí),(1+)m1+cm1×+cm2()2=-(1-)m<()n1-<(,所以,只須證:(m-(<m-1(m-(<m-1;令t=(0,1),則只須證:t(m-tm-1)<m-1m(t-1)<tm-1m>tm-1+tm-2+t+1,顯然成立. 注:數(shù)列an:an=(1+)n有如下

49、性質(zhì):數(shù)列an單調(diào)遞增:由=<=1+(1+)n<(1+)n+1an<an+1;數(shù)列an為有界數(shù)列:2an<3:(1+)n=e.練習(xí)14:1.(2011年第62屆羅馬尼亞數(shù)學(xué)奧林匹克試題)n是正整數(shù),a1,a2,an是實(shí)數(shù),對任意1mn,有am+am+1+anm+(m+1)+n.證明:a12+a22+an2n(n+1)(2n+1).2.(中等數(shù)學(xué).2012年第8期.數(shù)學(xué)奧林匹克問題(326)設(shè)n為正整數(shù).證明:.3.(2005年摩洛哥數(shù)學(xué)奧林匹克試題)已知無窮正數(shù)數(shù)列an滿足:存在mr,使得aim(i=1,2,);對任意的正整數(shù)i、j(ij),均有|ai-aj|.求證:m

50、1.4.(1992年圣彼得堡數(shù)學(xué)奧林匹克試題)數(shù)列fn定義如下:f1=1,f2=2,且fn+2=fn+1+fn,n=1,2,3,.求證:對于任意正整數(shù)n,均有1+.5.(2006年中國數(shù)學(xué)奧林匹克試題)實(shí)數(shù)列an滿足:a1=,ak+1=-ak+,k=1,2,.證明:-1n()n(-1)(-1)(-1).6.(2004年中國數(shù)學(xué)奧林匹克試題)給定正整數(shù)n(n2),設(shè)正整數(shù)ay(i=1,2,n)滿足a1<a2<<an及1.求證:對任意實(shí)數(shù)x,有()2. 15.周期數(shù)列:例15:(2004年北歐數(shù)學(xué)奧林匹克試題)設(shè)f1=0,f2=1,fn+2=fn+1+fn,n=1,2,.證明:存

51、在一個(gè)嚴(yán)格遞增的無窮等差數(shù)列與數(shù)列fn無公共的數(shù).解析:由f1=0,f2=1,fn+2=fn+1+fnf3=1,f4=2,f5=3,f6=5,f7=8,f8=13,f9=21,f10=34,f11=55,f12=89,f13=144,f14=233,f15=377f10(mod8),f21(mod8),f31(mod8),f42(mod8),f53(mod8),f65(mod8),f70(mod8),f85(mod8),f95(mod8),f102(mod8),f117(mod8),f121(mod8),f130(mod8),f141(mod8),f151(mod8),猜測:數(shù)列fn(mod8

52、)是以t=12為周期的周期數(shù)列. 由fn+2=fn+1+fnfn+3=fn+2+fn+1=(fn+1+fn)+fn+1=2fn+1+fnfn+6=2fn+4+fn+3=2(fn+3+fn+1)+fn+3=3fn+3+2fn+1=3(2fn+1+fn)+2fn+1=8fn+1+3fnfn+12=8fn+7+3fn+6=8(fn+6+fn+5)+3fn+6=11fn+6+8fn+5=11(8fn+1+3fn)+8(fn+4+fn+3)=88fn+1+33fn+8(2fn+3+fn+2)=88fn+1+33fn+16 數(shù)列的基本問題 13 (2fn+1+fn)+8(fn+1+fn)=128fn+1+57fn=8(16fn+1+7fn)+fnfn+2fn(mod8). 數(shù)列fn(mod8)在一個(gè)周期內(nèi)的值依次為0,1,1,2,3,5,0,5,5,2,7,1,其中沒有4,6數(shù)列8n+4,8n+6均滿足. 練習(xí)15:1.(2007年第57屆拉脫維亞數(shù)學(xué)奧林匹克試題)已知實(shí)數(shù)數(shù)列an滿足:a1=4,a2=2,a3=1,且對任意的正整數(shù)n,有=.求證:()數(shù)列中所有項(xiàng)均不等于零;()該數(shù)列是一個(gè)周期數(shù)列;()對任意的正整數(shù)k,a1k+a2k+a100k是一個(gè)完全平方數(shù).2.已知實(shí)