概率論于數(shù)理統(tǒng)計(jì)

1、1 上一節(jié)我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，上一節(jié)我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，它體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均水平，是隨它體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均水平，是隨機(jī)變量的一個重要的數(shù)字特征機(jī)變量的一個重要的數(shù)字特征. 但是在一些場合，僅僅知道平均值是不但是在一些場合，僅僅知道平均值是不夠的夠的.2a 乙儀器測量結(jié)果乙儀器測量結(jié)果 例如，某零件的真實(shí)長度為例如，某零件的真實(shí)長度為a，現(xiàn)用甲、乙，現(xiàn)用甲、乙兩臺儀器各測量兩臺儀器各測量10次，將測量結(jié)果次，將測量結(jié)果X用坐標(biāo)上用坐標(biāo)上的點(diǎn)表示如圖：的點(diǎn)表示如圖： 若讓你就上述結(jié)果評價一下兩臺儀器的優(yōu)劣，若讓你就上述結(jié)果評價一下兩臺儀器的優(yōu)劣，你認(rèn)為哪臺儀器好一些

2、呢？你認(rèn)為哪臺儀器好一些呢？ a甲儀器測量結(jié)果甲儀器測量結(jié)果較好較好測量結(jié)果的測量結(jié)果的均值都是均值都是 a因?yàn)橐覂x器的測量結(jié)果集中在均值附近因?yàn)橐覂x器的測量結(jié)果集中在均值附近3又如又如,甲、乙兩門炮同時向一目標(biāo)射擊甲、乙兩門炮同時向一目標(biāo)射擊10發(fā)炮發(fā)炮彈，其落點(diǎn)距目標(biāo)的位置如圖：彈，其落點(diǎn)距目標(biāo)的位置如圖：你認(rèn)為哪門炮射擊效果好一些呢你認(rèn)為哪門炮射擊效果好一些呢? ?甲炮射擊結(jié)果甲炮射擊結(jié)果乙炮射擊結(jié)果乙炮射擊結(jié)果較好較好因?yàn)橐遗诘膹椫c(diǎn)較集中在中心附近因?yàn)橐遗诘膹椫c(diǎn)較集中在中心附近 . . 中心中心中心中心4 為此需要引進(jìn)另一個數(shù)字特征為此需要引進(jìn)另一個數(shù)字特征,用它來用它來度量隨機(jī)變

3、量取值在其中心附近的離散度量隨機(jī)變量取值在其中心附近的離散程度程度.這個數(shù)字特征就是我們這一節(jié)要介紹的這個數(shù)字特征就是我們這一節(jié)要介紹的方方 差差5若若E X - E(X)2 存在存在, 則稱其為隨機(jī)則稱其為隨機(jī)稱稱)(XD為為 X 的的均方差均方差或或標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差. 4.2.1 方差的概念方差的概念定義定義 即即 D (X ) = E X - E(X)2 變量變量 X 的的方差方差, 記為記為D (X ) 或或 Var (X ) 兩者量綱相同兩者量綱相同 D(X ) 描述描述 r.v. X 的取值偏離平均值的取值偏離平均值 的平均偏離程度的平均偏離程度 數(shù)數(shù) 顯然顯然 D (X )06, 2

4、 , 1,)(kpxXPkk若若 X 為離散型為離散型 r.v.，分布律為，分布律為12)()(kkkpXExXD若若 X 為連續(xù)型為連續(xù)型r.v. ，概率密度為，概率密度為 f (x)dxxfXExXD)()()(2計(jì)算方差的常用公式：計(jì)算方差的常用公式：)()()(XEXEXD227 4.2.2 方差的性質(zhì)方差的性質(zhì)1o D (C) = 02o D (aX ) = a2D(X)D(aX+b ) = a2D(X)3o)()(2)()()(YEYXEXEYDXDYXD特別地，若特別地，若X ,Y 相互獨(dú)立，則相互獨(dú)立，則)()()(YDXDYXD8若若nXX,1相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，baaan,

5、21為常數(shù)為常數(shù)則則niiiniiiXDabXaD121)(若若X ,Y 相互獨(dú)立相互獨(dú)立)()()(YDXDYXD)()()(YEXEXYE4o 對任意常數(shù)對任意常數(shù)C, D (X ) E(X C)2 , 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)C = E(X )時等號成立時等號成立5o D (X ) = 0 P (X = E(X)=1 稱為稱為X 依概率依概率 1 等于常數(shù)等于常數(shù) E(X)9性質(zhì)性質(zhì) 1 的證明：的證明：0)()(2CECECD性質(zhì)性質(zhì) 2 的證明：的證明：2)()()(baXEbaXEbaXD2)()(bEbXEXaE22)(XEXaE)(2XDa102)()()(YXEYXEYXD)()(2

6、)()(22YEYXEXEYEYEXEXE)()(2)()(YEYXEXEYDXD性質(zhì)性質(zhì) 3 的證明：的證明：當(dāng)當(dāng) X ,Y 相互獨(dú)立時，相互獨(dú)立時，)()()()()(YEXEXYEYEYXEXE注意到，注意到，)()()(YDXDYXD 1122)()(XECXEXECXE性質(zhì)性質(zhì) 4 的證明：的證明：22)()(XECXEXE當(dāng)當(dāng)C = E(X )時，顯然等號成立；時，顯然等號成立；當(dāng)當(dāng)C E(X )時，時，0)(2XEC)(2XDCXE2)()(XECXD12 4.2.3 方差的計(jì)算方差的計(jì)算例例1 設(shè)設(shè)X P ( ), 求求D ( X ).解解0!)(kkkekXE11)!1(kk

7、ke)()1()(2XEXXEXE!) 1()1(0kekkXXEkk2222)!2(kkke22)(XE)()()(22XEXEXD13例例2 設(shè)設(shè) X B( n , p)，求求 D(X ).解一解一 仿照上例求仿照上例求 D (X ).解二解二 引入隨機(jī)變量引入隨機(jī)變量nXXX,21發(fā)生次試驗(yàn)事件第發(fā)生次試驗(yàn)事件第AiAiXi, 0, 1nXXX,21相互獨(dú)立相互獨(dú)立，ni, 2 , 1)1 ()(ppXDiniiXX1故故)1 ()()(1pnpXDXDnii14例例3 設(shè)設(shè) X N ( , 2), 求求 D( X )解解dxexXDx222)(221)()(dtetttx222221令

8、215常用隨機(jī)變量的方差分布方差概率分布參數(shù)為p 的 0-1分布pXPpXP1)0() 1(p(1-p)B(n,p)nkppCkXPknkkn, 2 , 1 , 0)1 ()(np(1-p)P(), 2 , 1 , 0!)(kkekXPk16分布方差概率密度U(a,b)其它, 0,1)(bxaabxf12)(2abE()其它, 0, 0,)(xexfx21N(, 2)222)(21)(xexf217例例4 已知已知X ,Y 相互獨(dú)立相互獨(dú)立, 且都服從且都服從 N (0,0.5), 求求 E( | X Y | ).解解) 5 . 0 , 0(),5 . 0 , 0(NYNX1)(, 0)(YX

9、DYXE故故) 1 , 0( NYX dzezYXEz2221|)(|222202dzezz18).(,., 020,cos)(2YDXYxxxfX的方差的方差求隨機(jī)變量求隨機(jī)變量其他其他的概率密度為的概率密度為設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 解解xxfxYEd)()(2, 24dcos2022 xxxxxfxYEd)()(42 204dcosxxx例例519,)()()(22YEYEYD因因?yàn)闉?2242424316 .2202 ,2431624 22)()()(YEYEYD所以所以20解解)()()(525233DXDXD)(43XD )()( 4236XEXE 121312112103

10、1)2()(66666 XE,6493 ).(,52121121213131023XDX求求設(shè)設(shè)例例62123333231213121121031)2()( XE)52(3 XD故故,91 )()( 4236XEXE .92954 22標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X 的期望的期望E(X )、方差、方差D(X )都存在都存在, 且且D(X ) 0, 則稱則稱)()(XDXEXX為為 X 的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量. 顯然，顯然，1)(,0)(XDXE231.1.僅知僅知 r.v.的期望與方差并不能確的期望與方差并不能確定其分布定其分布XP -1 0 1 0.1 0.8 0.1YP -2 0 20.025 0.95 0.025與2 . 0)(, 0)(XDXE2 . 0)(, 0)(YDYE有相同的期望方差但是分布卻不相同例如例如說明說明: :24例例7 已知已知 X 服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布, E