第三章、經(jīng)典單方程計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型：多元線性回歸模型

1、第三章、經(jīng)典單方程計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型：多元線性回歸模型一、內(nèi)容提要本章將一元回歸模型拓展到了多元回歸模型，其基本的建模思想與建模方法與一元的情形相同。主要內(nèi)容仍然包括模型的基本假定、模型的估計、模型的檢驗以及模型在預(yù)測方面的應(yīng)用等方面。只不過為了多元建模的需要，在基本假設(shè)方面以及檢驗方面有所擴(kuò)充。本章仍重點介紹了多元線性回歸模型的基本假設(shè)、估計方法以及檢驗程序。與一元回歸分析相比，多元回歸分析的基本假設(shè)中引入了多個解釋變量間不存在（完全）多重共線性這一假設(shè)；在檢驗部分，一方面引入了修正的可決系數(shù)，另一方面引入了對多個解釋變量是否對被解釋變量有顯著線性影響關(guān)系的聯(lián)合性F檢驗，并討論了F檢驗與擬合優(yōu)度

2、檢驗的內(nèi)在聯(lián)系。本章的另一個重點是將線性回歸模型拓展到非線性回歸模型，主要學(xué)習(xí)非線性模型如何轉(zhuǎn)化為線性回歸模型的常見類型與方法。這里需要注意各回歸參數(shù)的具體經(jīng)濟(jì)含義。本章第三個學(xué)習(xí)重點是關(guān)于模型的約束性檢驗問題，包括參數(shù)的線性約束與非線性約束檢驗。參數(shù)的線性約束檢驗包括對參數(shù)線性約束的檢驗、對模型增加或減少解釋變量的檢驗以及參數(shù)的穩(wěn)定性檢驗三方面的內(nèi)容，其中參數(shù)穩(wěn)定性檢驗又包括鄒氏參數(shù)穩(wěn)定性檢驗與鄒氏預(yù)測檢驗兩種類型的檢驗。檢驗都是以F檢驗為主要檢驗工具，以受約束模型與無約束模型是否有顯著差異為檢驗基點。參數(shù)的非線性約束檢驗主要包括最大似然比檢驗、沃爾德檢驗與拉格朗日乘數(shù)檢驗。它們?nèi)砸怨烙嫙o約

3、束模型與受約束模型為基礎(chǔ)，但以最大似然原理進(jìn)行估計，且都適用于大樣本情形，都以約束條件個數(shù)為自由度的分布為檢驗統(tǒng)計量的分布特征。非線性約束檢驗中的拉格朗日乘數(shù)檢驗在后面的章節(jié)中多次使用。二、典型例題分析例1某地區(qū)通過一個樣本容量為722的調(diào)查數(shù)據(jù)得到勞動力受教育的一個回歸方程為 R2=0.214式中，edu為勞動力受教育年數(shù)，sibs為該勞動力家庭中兄弟姐妹的個數(shù)，medu與fedu分別為母親與父親受到教育的年數(shù)。問（1）sibs是否具有預(yù)期的影響？為什么？若medu與fedu保持不變，為了使預(yù)測的受教育水平減少一年，需要sibs增加多少？（2）請對medu的系數(shù)給予適當(dāng)?shù)慕忉?。?）如果兩個

4、勞動力都沒有兄弟姐妹，但其中一個的父母受教育的年數(shù)為12年，另一個的父母受教育的年數(shù)為16年，則兩人受教育的年數(shù)預(yù)期相差多少？解答：（1）預(yù)期sibs對勞動者受教育的年數(shù)有影響。因此在收入及支出預(yù)算約束一定的條件下，子女越多的家庭，每個孩子接受教育的時間會越短。根據(jù)多元回歸模型偏回歸系數(shù)的含義，sibs前的參數(shù)估計值-0.094表明，在其他條件不變的情況下，每增加1個兄弟姐妹，受教育年數(shù)會減少0.094年，因此，要減少1年受教育的時間，兄弟姐妹需增加1/0.094=10.6個。推薦精選（2）medu的系數(shù)表示當(dāng)兄弟姐妹數(shù)與父親受教育的年數(shù)保持不變時，母親每增加1年受教育的機會，其子女作為勞動者

5、就會預(yù)期增加0.131年的教育機會。（3）首先計算兩人受教育的年數(shù)分別為10.36+0.131´12+0.210´12=14.45210.36+0.131´16+0.210´16=15.816因此，兩人的受教育年限的差別為15.816-14.452=1.364例2以企業(yè)研發(fā)支出（R&D）占銷售額的比重為被解釋變量（Y），以企業(yè)銷售額（X1）與利潤占銷售額的比重（X2）為解釋變量，一個有32容量的樣本企業(yè)的估計結(jié)果如下：其中括號中為系數(shù)估計值的標(biāo)準(zhǔn)差。（1）解釋log(X1)的系數(shù)。如果X1增加10%，估計Y會變化多少個百分點？這在經(jīng)濟(jì)上是一個很大

6、的影響嗎？（2）針對R&D強度隨銷售額的增加而提高這一備擇假設(shè)，檢驗它不隨X1而變化的假設(shè)。分別在5%和10%的顯著性水平上進(jìn)行這個檢驗。（3）利潤占銷售額的比重X2對R&D強度Y是否在統(tǒng)計上有顯著的影響？解答：（1）log(x1)的系數(shù)表明在其他條件不變時，log(x1)變化1個單位，Y變化的單位數(shù)，即DY=0.32Dlog(X1)»0.32(DX1/X1)=0.32´100%，換言之，當(dāng)企業(yè)銷售X1增長100%時，企業(yè)研發(fā)支出占銷售額的比重Y會增加0.32個百分點。由此，如果X1增加10%，Y會增加0.032個百分點。這在經(jīng)濟(jì)上不是一個較大的影響。（2）

7、針對備擇假設(shè)H1：，檢驗原假設(shè)H0：。易知計算的t統(tǒng)計量的值為t=0.32/0.22=1.468。在5%的顯著性水平下，自由度為32-3=29的t 分布的臨界值為1.699（單側(cè)），計算的t值小于該臨界值，所以不拒絕原假設(shè)。意味著R&D強度不隨銷售額的增加而變化。在10%的顯著性水平下，t分布的臨界值為1.311，計算的t 值小于該值，拒絕原假設(shè)，意味著R&D強度隨銷售額的增加而增加。（3）對X2，參數(shù)估計值的t統(tǒng)計值為0.05/0.046=1.087，它比在10%的顯著性水平下的臨界值還小，因此可以認(rèn)為它對Y在統(tǒng)計上沒有顯著的影響。例3、假設(shè)要求你建立一個計量經(jīng)濟(jì)模型來說明在

8、學(xué)校跑道上慢跑一英里或一英里以上的人數(shù)，以便決定是否修建第二條跑道以滿足所有的鍛煉者。你通過整個學(xué)年收集數(shù)據(jù)，得到兩個可能的解釋性方程：方程A： 方程B： 其中：某天慢跑者的人數(shù) 推薦精選該天降雨的英寸數(shù)該天日照的小時數(shù)該天的最高溫度（按華氏溫度）第二天需交學(xué)期論文的班級數(shù)請回答下列問題：（1）這兩個方程你認(rèn)為哪個更合理些，為什么？（2）為什么用相同的數(shù)據(jù)去估計相同變量的系數(shù)得到不同的符號？答：方程B更合理些。原因是：方程B中的參數(shù)估計值的符號與現(xiàn)實更接近些，如與日照的小時數(shù)同向變化，天長則慢跑的人會多些；與第二天需交學(xué)期論文的班級數(shù)成反向變化，這一點在學(xué)校的跑道模型中是一個合理的解釋變量。解

9、釋變量的系數(shù)表明該變量的單位變化在方程中其他解釋變量不變的條件下對被解釋變量的影響，在方程A和方程B中由于選擇了不同的解釋變量，如方程A選擇的是“該天的最高溫度”而方程B選擇的是“第二天需交學(xué)期論文的班級數(shù)”，由此造成與這兩個變量之間的關(guān)系不同，所以用相同的數(shù)據(jù)估計相同的變量得到不同的符號。例4、有如下生產(chǎn)函數(shù)：（0.257） (0.219) 其中括號內(nèi)數(shù)值為參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差。請檢驗以下零假設(shè)：（1）產(chǎn)出量的資本彈性和勞動彈性是等同的；（2）存在不變規(guī)模收益，即 。例5、假定以校園內(nèi)食堂每天賣出的盒飯數(shù)量作為被解釋變量，盒飯價格、氣溫、附近餐廳的盒飯價格、學(xué)校當(dāng)日的學(xué)生數(shù)量（單位：千人）作為解釋變量

10、，進(jìn)行回歸分析；假設(shè)不管是否有假期，食堂都營業(yè)。不幸食堂內(nèi)的計算機被一次病毒侵犯，所有的存儲丟失，無法恢復(fù)，你不能說出獨立變量分別代表著哪一項！下面是回歸結(jié)果（括號內(nèi)為標(biāo)準(zhǔn)差）：括號內(nèi)表示t值； ，。要求：（1）試判定每項結(jié)果對應(yīng)著哪一個變量？（2）對你的判定結(jié)論做出說明。答案并不唯一，猜測為：為學(xué)生數(shù)量，為附近餐廳的盒飯價格，為氣溫，為校園內(nèi)食堂的盒飯價格； 理由是被解釋變量應(yīng)與學(xué)生數(shù)量成正比，并且應(yīng)該影響顯著；與本食堂盒飯價格成反比，這與需求理論相吻合；與附近餐廳的盒飯價格成正比，因為彼此是替代品；與氣溫的變化關(guān)系不是十分顯著，因為大多數(shù)學(xué)生不會因為氣溫升高不吃飯。例5、考慮以下方程（括號

11、內(nèi)為估計標(biāo)準(zhǔn)差）：推薦精選括號內(nèi)為對應(yīng)參數(shù)的估計標(biāo)準(zhǔn)差值 ； ， 其中：年的每位雇員的工資和薪水年的物價水平年的失業(yè)率要求：（1）對個人收入估計的斜率系數(shù)進(jìn)行假設(shè)檢驗；（盡量在做本題之前不參考結(jié)果）（2）討論在理論上的正確性，對本模型的正確性進(jìn)行討論；是否應(yīng)從方程中刪除？為什么？答：各參數(shù)的t值：在5%的顯著性水平下，自由度為19-3-1=15的t分布臨界值，比較t值與臨界值，可知參數(shù)顯著不為零，但是不能拒絕=0的假設(shè)，的影響不顯著。2）回歸式表明影響工資水平的數(shù)要是當(dāng)期物價水平，前期的物價水平對它的影響不大，而事業(yè)領(lǐng)域工資工資水平的反省變動也符合經(jīng)濟(jì)理論，故可以將從模型中刪除。三、教材部分習(xí)

12、題1.多元線性回歸模型的基本假設(shè)有哪些？2.在多元線性回歸分析中，t檢驗和F檢驗有何不同？在一元線性回歸分析中二者是否有等價作用？答：在多元線性回歸分析中，t檢驗長被用作檢驗回歸方程中各個參數(shù)的顯著性，而F檢驗則被用作檢驗整個回歸關(guān)系（聯(lián)合關(guān)系）的顯著性。各個解釋變量聯(lián)合起來對解釋變量有顯著的線性關(guān)系，并不意味著每一個解釋變量分別對被解釋變量有顯著的線性關(guān)系。在一元線性回歸中，二者具有等佳作用，因為二者都是對共同假設(shè)解釋變量的參數(shù)為0進(jìn)行檢驗。4.在一項大學(xué)生一學(xué)期平均成績Y和每周在學(xué)習(xí)X1、睡覺X2、娛樂X3與其他活動X4所用的時間關(guān)系研究中，建立四元回歸模型。如果這些活動所用的時間總和為一

13、周的總小時數(shù)168.。問：1）.“保持其他變量不變而改變其中一個變量”的說話有無意義？2）.該模型是否違背基本假設(shè)？如何修改模型以使其更合理？答：1）.無意義。由于X1+X2+X3+X4=168其中一個變量變化時，至少有一個其他變量也得變化。2）.四個變量之間存在完全共線性，違背了基本假設(shè)?？梢匀サ羝渲械囊粋€變量，如去掉代表其他活動時間的X4。另外三個變量之間不存在明顯的共線性問題，這時X1前的參系數(shù)就測度了當(dāng)其他兩個變量不變時，每周增加1小時的學(xué)習(xí)時間所帶來的成績的平均變化。9.下表給出了三變量的模型的回歸結(jié)果。推薦精選方差來源平方和SS自由度d.f平方和的均值MSS來自回歸ESS來自殘差R

14、SS來自總離差TSS6596566042141）.求樣本容量n，殘差平方和RSS，回歸平方和ESS以及他們的自由度；2）求擬合優(yōu)度以調(diào)整的擬合優(yōu)度；3）檢驗假設(shè)：X2和X3對Y無影響。應(yīng)采用什么假設(shè)檢驗？為什么？4）根據(jù)以上信息，你能否確定X2和X3各自對Y的影響？答：1）樣本容量n=d.f+1=15， RSS=TSS-ESS=66042-65965=77， ESS的自由度d.f=n-k-1=15-3=12，RSS的d.f=k=22）擬合度R2=ESS/TSS=0.9988，修正擬合度=1-（1-R2）（n-1）/（n-k-1）=1-0.0012*14/12=0.99863）應(yīng)該采用聯(lián)合假設(shè)檢驗，即F檢驗。才能判斷X2和X3一起是否對Y有影響。4）不能。二者X2、X3的變化解釋了Y變化的99.8%。但未知回歸模型X2、X3前的參數(shù)估計值。10、在一項對某社區(qū)家庭對某種消費品的需求調(diào)查中。得到表中資料（略）1）估計回歸方程的參數(shù)及隨機擾動項的方差，并計算；2）對方程進(jìn)行F檢驗，對參數(shù)進(jìn)行t檢驗，并構(gòu)造參數(shù)95%的置信區(qū)間；3）如果商品單價變?yōu)?5原，則某一月搜如為20000元的家庭對其消費的支出的估計是多少？并構(gòu)造該估計值95%的置信區(qū)間。答：回歸方程為， 括號內(nèi)為對應(yīng)參數(shù)的t值.隨即擾動項的方差=Sum square resid/(n-k