非線性物理單擺龐加萊映射課件

1、非線性物理單擺龐加萊映射1第一章第一章 非線性振動初步非線性振動初步非線性物理單擺龐加萊映射2第三節(jié)第三節(jié) 受迫振蕩受迫振蕩1 1線性單擺的受迫振動線性單擺的受迫振動2. 2. 龐加萊截面龐加萊截面3. 3. 初識單擺的復(fù)雜運動初識單擺的復(fù)雜運動非線性物理單擺龐加萊映射3 驅(qū)動單擺方程驅(qū)動單擺方程驅(qū)動力寫成指數(shù)驅(qū)動力寫成指數(shù)這是非齊次線性微分方程這是非齊次線性微分方程, , 其通解是它的齊次線性方程的通解其通解是它的齊次線性方程的通解和和它的一個特解的和它的一個特解的和1. 1. 齊次方程的通解齊次方程的通解: : 類似線性阻尼單擺，得：類似線性阻尼單擺，得：tcos2222fxdtdxdtx

2、dm2/mlff/)tcos()( t0eatx220ti2222fexdtdxdtxd)()( )(txtxtx小擺角驅(qū)動單擺的通解小擺角驅(qū)動單擺的通解1線性單擺的受迫振動線性單擺的受迫振動( (小驅(qū)動力的單擺小驅(qū)動力的單擺) )非線性物理單擺龐加萊映射42. 非齊次方程的特解非齊次方程的特解: 設(shè)求導(dǎo)：消去公因子 ti)(aetxtiiaedtdxti222aedtxdtiefaaia222ifa2)(22222224)(2212tgiefati2222fexdtdxdtxd代入小擺角驅(qū)動單擺的通解小擺角驅(qū)動單擺的通解1線性單擺的受迫振動線性單擺的受迫振動( (小驅(qū)動力的單擺小驅(qū)動力的單擺

3、) )非線性物理單擺龐加萊映射5代入、 以后特解為：非齊次線性微分方程的通解非齊次線性微分方程的通解第一項隨時間衰減，經(jīng)一段時間后第一項將衰減到零，最后僅剩下第二部分衰減過程常稱為過渡過程。過渡過程。)2tgtcos(4)()(22122222ftx)2tgtcos(4)()tcos()(22122222t0feaxxtx小擺角驅(qū)動單擺的通解小擺角驅(qū)動單擺的通解)ti(i)(eeftxti)(aetxiefa)2tgtcos(4)()(22122222fxxtx1線性單擺的受迫振動線性單擺的受迫振動( (小驅(qū)動力的單擺小驅(qū)動力的單擺) )非線性物理單擺龐加萊映射6諧振特性諧振特性研究幅頻特性幅

4、頻特性：將分母根號下對頻率求導(dǎo)并令其等于零：共振頻率共振頻率 r小于系統(tǒng)自振頻率小于系統(tǒng)自振頻率 ，共振時的最大振幅共振時的最大振幅為：共振時最大振幅與阻尼有關(guān)222224)(fa04)()(22222dddvdf2222)(22r2共振共振頻率頻率22r2fa222arctg1線性單擺的受迫振動線性單擺的受迫振動( (小驅(qū)動力的單擺小驅(qū)動力的單擺) )非線性物理單擺龐加萊映射7龐加萊截面與龐加萊映射龐加萊截面與龐加萊映射 相圖可把非線性系統(tǒng)的狀態(tài)形象地描繪出來，但是隨阻尼相圖可把非線性系統(tǒng)的狀態(tài)形象地描繪出來，但是隨阻尼力與驅(qū)動力的加入，其相圖也會變得越來越復(fù)雜。例如，即使力與驅(qū)動力的加入，

5、其相圖也會變得越來越復(fù)雜。例如，即使是弱驅(qū)動力與弱阻尼單擺是弱驅(qū)動力與弱阻尼單擺- -杜芬方程，相圖已復(fù)雜多了。杜芬方程，相圖已復(fù)雜多了。 龐加萊在相空間里取一常數(shù)坐標截面，稱為龐加萊在相空間里取一常數(shù)坐標截面，稱為龐加萊截面龐加萊截面，研究，研究相軌線與該截面的交點，用以分析系統(tǒng)的復(fù)雜行為。相軌線與該截面的交點，用以分析系統(tǒng)的復(fù)雜行為。 在在n n 維相空間里取一個維相空間里取一個n n-1-1維面。相軌線通過截面時留下點的維面。相軌線通過截面時留下點的一幅圖象反映了軌線運行情況。一幅圖象反映了軌線運行情況。人們將這種把時間上的連續(xù)運動人們將這種把時間上的連續(xù)運動轉(zhuǎn)變?yōu)殡x散的圖象處理方法稱為

6、轉(zhuǎn)變?yōu)殡x散的圖象處理方法稱為龐加萊映射龐加萊映射。2. .龐加萊映射龐加萊映射非線性物理單擺龐加萊映射8 單周期運動單周期運動，軌線每次重復(fù)地運行在原有軌道上，它總是在截，軌線每次重復(fù)地運行在原有軌道上，它總是在截面的同一位置穿過，截面上只留下一個點。面的同一位置穿過，截面上只留下一個點。兩倍周期運動兩倍周期運動，每個，每個周期內(nèi)相軌線兩在不同位置穿過，截面上留下兩個點；周期內(nèi)相軌線兩在不同位置穿過，截面上留下兩個點；四周期運四周期運動動，每個周期內(nèi)相軌線四次在不同位置穿過，截面上就留下四個，每個周期內(nèi)相軌線四次在不同位置穿過，截面上就留下四個點；推廣到點；推廣到無周期運動無周期運動，截面上將

7、出現(xiàn)留下無窮多點。，截面上將出現(xiàn)留下無窮多點。 2. .龐加萊映射龐加萊映射龐加萊截面與軌線龐加萊截面與軌線運動運動非線性物理單擺龐加萊映射92. .龐加萊映射龐加萊映射龐加萊截面與軌線龐加萊截面與軌線運動運動單周期運動單周期運動，軌線每次重復(fù)地運行在原有軌道上，它總是在截面的同一位置，軌線每次重復(fù)地運行在原有軌道上，它總是在截面的同一位置穿過，截面上只留下一個點。穿過，截面上只留下一個點。兩倍周期運動兩倍周期運動，每個周期內(nèi)相軌線兩在不同位置穿過，截面上留下兩個點；，每個周期內(nèi)相軌線兩在不同位置穿過，截面上留下兩個點；四周期運動四周期運動，每個周期內(nèi)相軌線四次在不同位置穿過，截面上留下四個點

8、，每個周期內(nèi)相軌線四次在不同位置穿過，截面上留下四個點; ;無周期運動無周期運動，截面上將出現(xiàn)留下無窮多點。，截面上將出現(xiàn)留下無窮多點。非線性物理單擺龐加萊映射10單擺的三維相空間單擺的三維相空間2. .龐加萊映射龐加萊映射阻尼單擺的運動方程阻尼單擺的運動方程引入新變量引入新變量, ,即相位即相位 ：可得到描述單擺運動的可得到描述單擺運動的三維相空間三維相空間 , ,相角相角 有周期性，有周期性，把把2 np p 和和2(n+1)p p 平面連接起來，相空間擴展為圓環(huán)。原來圓平面連接起來，相空間擴展為圓環(huán)。原來圓形軌線成了在圓環(huán)面的環(huán)線。取某常數(shù)位相，即在該位相處截形軌線成了在圓環(huán)面的環(huán)線。取

9、某常數(shù)位相，即在該位相處截取一平面，環(huán)線在穿過時留下了一個點。取一平面，環(huán)線在穿過時留下了一個點。tfdtddtdcossin2222dtd, 非線性物理單擺龐加萊映射11單擺的三維相空間單擺的三維相空間2. .龐加萊映射龐加萊映射非線性物理單擺龐加萊映射12 它的相圖有一個奇怪吸引子它的相圖有一個奇怪吸引子( (無周期運動無周期運動) )。相軌線繞著該吸。相軌線繞著該吸引子一圈又一圈地不停地轉(zhuǎn)動，引子一圈又一圈地不停地轉(zhuǎn)動，結(jié)果相空間的軌線越來越復(fù)雜。結(jié)果相空間的軌線越來越復(fù)雜。圖中那一團相軌線就是在繞了圖中那一團相軌線就是在繞了1000圈后在該吸引子附近的形狀。圈后在該吸引子附近的形狀。

10、右下角是龐加萊截面圖，圖形右下角是龐加萊截面圖，圖形不僅簡單得多，而且顯示出某種不僅簡單得多，而且顯示出某種結(jié)構(gòu)。由龐加萊截面圖可見，轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)。由龐加萊截面圖可見，轉(zhuǎn)子的相軌線盡管極其復(fù)雜，但它子的相軌線盡管極其復(fù)雜，但它不是毫無規(guī)律的，而是具有某種不是毫無規(guī)律的，而是具有某種內(nèi)在的規(guī)律性在內(nèi)。內(nèi)在的規(guī)律性在內(nèi)。受驅(qū)轉(zhuǎn)子的運動受驅(qū)轉(zhuǎn)子的運動2. .龐加萊映射龐加萊映射非線性物理單擺龐加萊映射133. 3. 初識單擺的復(fù)雜運動初識單擺的復(fù)雜運動小驅(qū)動力單擺小驅(qū)動力單擺阻尼單擺方程為：阻尼單擺方程為： 小驅(qū)動力作用小驅(qū)動力作用 作小幅度振動作小幅度振動 tfdtddtdcossin2222tfdtd

11、dtdcos222)tcos(4)()(22222ft非線性物理單擺龐加萊映射143. 3. 初識單擺的復(fù)雜運動初識單擺的復(fù)雜運動小驅(qū)動力單擺小驅(qū)動力單擺)tcos(4)()(22222ft)tsin(4)()(22222fdttd222222224)(/fdtd非線性物理單擺龐加萊映射153. 3. 初識單擺的復(fù)雜運動初識單擺的復(fù)雜運動小驅(qū)動力單擺的相軌線方程小驅(qū)動力單擺的相軌線方程是橢圓方程。說明：是橢圓方程。說明：1. 在小驅(qū)動力下在小驅(qū)動力下單擺的相軌線是閉合橢圓曲線單擺的相軌線是閉合橢圓曲線2. 說明小驅(qū)動力受驅(qū)阻尼單擺存在一個周期吸引子。說明小驅(qū)動力受驅(qū)阻尼單擺存在一個周期吸引子。

12、3. 驅(qū)動頻率及阻尼力系數(shù)為定值時，橢圓的半徑驅(qū)動力矩驅(qū)動頻率及阻尼力系數(shù)為定值時，橢圓的半徑驅(qū)動力矩 f 增增大而增大大而增大，( (即擺角在增大即擺角在增大) )。222222224)(/fdtd小驅(qū)動力單擺小驅(qū)動力單擺非線性物理單擺龐加萊映射163. 3. 初識單擺的復(fù)雜運動初識單擺的復(fù)雜運動隨著驅(qū)動力的增大，相軌線的半徑也增大，這就意味著擺角的隨著驅(qū)動力的增大，相軌線的半徑也增大，這就意味著擺角的增大，使得增大，使得sinsin的的小擺角近似已不再適用小擺角近似已不再適用, ,相軌線的表達式將相軌線的表達式將無法得到，此時相軌線只能根據(jù)單擺的運動方程，用數(shù)值計算無法得到，此時相軌線只能

13、根據(jù)單擺的運動方程，用數(shù)值計算來求得。來求得。數(shù)值計算結(jié)果數(shù)值計算結(jié)果tfdtddtdcossin2222下面將給出當下面將給出當 1/41/4，v v2/32/3為定值時，為定值時，f f 由小到大取一系列由小到大取一系列數(shù)值時的數(shù)值計算結(jié)果。數(shù)值時的數(shù)值計算結(jié)果。非線性物理單擺龐加萊映射173. 3. 初識單擺的復(fù)雜運動初識單擺的復(fù)雜運動1. 附近出現(xiàn)對稱性破缺附近出現(xiàn)對稱性破缺 a. a. 小擺角的對稱橢圓在小擺角的對稱橢圓在 附近變?yōu)榈靶?，說明這里發(fā)生附近變?yōu)榈靶?，說明這里發(fā)生了對稱性破缺；了對稱性破缺； b. b. 蛋形的朝向與相角的取值有關(guān)；蛋形的朝向與相角的取值有關(guān)； c. c.

14、 這時單擺仍作單周期運動，在龐加萊截面上是一個單點。這時單擺仍作單周期運動，在龐加萊截面上是一個單點。數(shù)值計算結(jié)果數(shù)值計算結(jié)果1f1f非線性物理單擺龐加萊映射183. 3. 初識單擺的復(fù)雜運動初識單擺的復(fù)雜運動數(shù)值計算結(jié)果數(shù)值計算結(jié)果非線性物理單擺龐加萊映射193. 3. 初識單擺的復(fù)雜運動初識單擺的復(fù)雜運動數(shù)值計算結(jié)果數(shù)值計算結(jié)果非線性物理單擺龐加萊映射203. 3. 初識單擺的復(fù)雜運動初識單擺的復(fù)雜運動數(shù)值計算結(jié)果數(shù)值計算結(jié)果2 f = 1.093 附近做附近做準周期運動準周期運動： a.當驅(qū)動力繼續(xù)上升時當驅(qū)動力繼續(xù)上升時, ,相軌線偏離閉相軌線偏離閉合的單周期軌道，復(fù)雜化起來。合的單周

15、期軌道，復(fù)雜化起來。 b.在在f = 1.093時時相圖上，相軌線雖在相圖上，相軌線雖在-p,pp,p 的單擺勢谷來回環(huán)繞，但始終無的單擺勢谷來回環(huán)繞，但始終無法達到周期重復(fù)狀態(tài)。法達到周期重復(fù)狀態(tài)。 c.在龐加萊截面上，相點處于一條曲在龐加萊截面上，相點處于一條曲線上，可以認定系統(tǒng)處于線上，可以認定系統(tǒng)處于準周期狀態(tài)準周期狀態(tài)（接近正確的周期運動）。（接近正確的周期運動）。 d.龐加萊截面上的圖形與所取截面的龐加萊截面上的圖形與所取截面的位置位置( (即相角即相角) )有關(guān)。有關(guān)。非線性物理單擺龐加萊映射213. 3. 初識單擺的復(fù)雜運動初識單擺的復(fù)雜運動數(shù)值計算結(jié)果數(shù)值計算結(jié)果非線性物理單

16、擺龐加萊映射223. 3. 初識單擺的復(fù)雜運動初識單擺的復(fù)雜運動數(shù)值計算結(jié)果數(shù)值計算結(jié)果3. f = 1.15 附近進入混沌狀態(tài)附近進入混沌狀態(tài) a. 運動已擴展到勢谷運動已擴展到勢谷( )兩側(cè)的勢谷內(nèi)。兩側(cè)的勢谷內(nèi)。 b. 運動會在一個勢谷內(nèi)繞上幾圈，然后隨機地進入到相鄰的運動會在一個勢谷內(nèi)繞上幾圈，然后隨機地進入到相鄰的勢谷內(nèi)再繞上幾圈，往復(fù)不已。勢谷內(nèi)再繞上幾圈，往復(fù)不已。 c. 在龐加萊截面上，相點已離開曲線擴散開來。在龐加萊截面上，相點已離開曲線擴散開來。pp,非線性物理單擺龐加萊映射233. 3. 初識單擺的復(fù)雜運動初識單擺的復(fù)雜運動數(shù)值計算結(jié)果數(shù)值計算結(jié)果非線性物理單擺龐加萊映射

17、243. 3. 初識單擺的復(fù)雜運動初識單擺的復(fù)雜運動數(shù)值計算結(jié)果數(shù)值計算結(jié)果非線性物理單擺龐加萊映射253. 3. 初識單擺的復(fù)雜運動初識單擺的復(fù)雜運動數(shù)值計算結(jié)果數(shù)值計算結(jié)果非線性物理單擺龐加萊映射263. 3. 初識單擺的復(fù)雜運動初識單擺的復(fù)雜運動數(shù)值計算結(jié)果數(shù)值計算結(jié)果非線性物理單擺龐加萊映射273. 3. 初識單擺的復(fù)雜運動初識單擺的復(fù)雜運動結(jié)論結(jié)論 綜上所述，受驅(qū)單擺的運動狀態(tài)有如下特點綜上所述，受驅(qū)單擺的運動狀態(tài)有如下特點： (1) 在小驅(qū)動力下，單擺作規(guī)則的周期運動。當驅(qū)動力矩增在小驅(qū)動力下，單擺作規(guī)則的周期運動。當驅(qū)動力矩增加到某加到某臨界值時，單擺從周期的運動狀態(tài)進入隨機運動狀態(tài)，臨界值時，單擺從周期的運動狀態(tài)進入隨機運動狀態(tài)，這種狀態(tài)常被稱為這種狀態(tài)常被稱為混沌混沌。 (2) 混沌狀態(tài)并不是混亂一片混沌狀態(tài)并不是混亂一片。從相圖上看，相軌線的分布。從相圖上看，相軌線的分布雖然彌散開來，但并不均勻地分布到整個區(qū)間，而是有疏有密雖然彌散開來，但并不均勻地分布到整個區(qū)間，而是有疏有密地分布著。在龐加來截面上，起始時相點雖然隨機地分布著，地分