平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義教學設計

1、平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義(教學設計)?？谝宦氈?林召高一、學情分析：本教學設計設計對象為普通中學學生，學生在學習本節(jié)內容之前，已熟知了實數(shù)的運算體系，掌握了向量的概念、夾角及其線性運算，具備了功等物理知識，并且初步體會了研究向量運算的一般方法：即先由特殊模型（主要是物理模型）抽象出概念，然后再從概念出發(fā)，在與實數(shù)運算類比的基礎上研究性質和運算律。這為學生學習數(shù)量積做了很好的鋪墊，使學生倍感親切。但也正是這些干擾了學生對數(shù)量積概念的理解，一方面，相對于線性運算而言，數(shù)量積的結果發(fā)生了本質的變化，兩個有形有數(shù)的向量經過數(shù)量積運算后，形卻消失了，學生對這一點是很難接受的；另一方面，由于受實數(shù)

2、乘法運算的影響，也會造成學生對數(shù)量積理解上的偏差，特別是對性質和運算律的理解。因而數(shù)量積的概念與運算律的理解就成為了本節(jié)課教學的難點。二、教學目標（三維目標）：1、知識與技能：（1）理解平面向量數(shù)量積的幾何意義及其物理意義； （2）掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義；掌握平面向量數(shù)量積的重要性質及運算律；（3）理解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關系；（4）了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關長度、角度和垂直的問題，能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系。2、過程與方法：這節(jié)課主要采用類比法，數(shù)形結合法和探究式教學法。通過按照 “物理模型概念性質運算律應用”這種研究思路來

3、研究了向量的數(shù)量積運算。先有物理模型引入數(shù)量積的概念，接著了解了數(shù)量積的幾何意義，進一步總結出數(shù)量積的性質，再通過類比實數(shù)乘法運算律，用數(shù)形結合的思想證明驗證，得到了數(shù)量積的三條運算律。最后我們將數(shù)量積的性質和運算律來解決了一些問題，3、情感態(tài)度與價值：（1）通過用向量數(shù)量積解決問題的思想的學習，使學生加深認識數(shù)學知識之間的聯(lián)系，體會數(shù)學知識抽象性、概括性和應用性，培養(yǎng)起學生學習數(shù)學的興趣，形成學數(shù)學、用數(shù)學的思維和意識；（2）通過對向量數(shù)量積及所產生的思想方法的學習及探索，不斷培養(yǎng)自主學習、主動探索、善于反思、勤于總結的科學態(tài)度和鍥而不舍的鉆研精神，并提高參與意識和合作精神。三、教學重難點：

4、重點：平面向量數(shù)量積的概念，用平面向量的數(shù)量積表示向量的模及向量的夾角。難點：平面向量數(shù)量積的定義及運算律的理解，平面向量數(shù)量積的應用。四、課時安排： 1課時五、教學過程：教學環(huán)節(jié)教學內容師生互動設計意圖    創(chuàng)設情景，引出新課用問題方式引導學生用類比的方法學習新的向量運算。向量有加法、減法和數(shù)乘運算，類比實數(shù)運算，既然有數(shù)乘向量，我們會想：存不存在兩個向量相乘的運算呢？如果存在，類比前面的線性運算，兩個向量乘積的結果會是什么？它可能會具有什么樣的性質，擁有哪些運算律？帶著這些問題，這節(jié)課我們就來探究學習向量的另一種運算，向量的數(shù)量積。導入課題：平面向

5、量數(shù)量積的物理背景及其含義。若一個物體在力的作用下產生的位移為，那么力所做的功，其中是和的夾角。功是力在位移方向上的分量與位移大小的乘積，f和s在物理中叫矢量，w叫標量，在數(shù)學中，我們把f和s叫做向量，w其實就是一個數(shù)量。從中我們得到一個啟發(fā)：能否將功看成是兩個“向量相乘”的一種運算的結果？從而得出平面向量的“數(shù)量積”的概念。前面我們學習了向量的線性運算，那么向量的線性運算包含了那些運算？這些運算的結果是什么？生：向量的加法、減法及數(shù)乘運算。這些運算的結果都是向量。  明白新舊知識的聯(lián)系性。以疑惑的方式提出問題，一下子引入課題，給學生一種沖擊，激起學生的求知欲和學習興趣。以物理問題為

6、背景，初步認識向量的數(shù)量積，為引入向量的數(shù)量積的概念做鋪墊。                      師生探究,構建新知定義向量數(shù)量積。弄清定義中涉及哪些量？它們有怎樣的關系？運算結果是向量還是數(shù)量？已知兩個非零向量與，把數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內積），記作：，即（其中是與的夾角）。定義說明：規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積為零。記法“·”中間的“·”不可以省

7、略，也不可以用“ ”代替。如何確定兩個非零向量的數(shù)量積的符號，什么情況下值為零？數(shù)量積運算結果的符號取決于與的夾角（）的大小仿照物理問題建構“數(shù)學模型”。引入“向量數(shù)量積”的概念 線性運算的結果是向量，而數(shù)量積的結果則是數(shù)量，這個數(shù)量的大小不僅和向量與的模有關，還和它們的夾角有關。   學生討論，并完成下表：的范圍·的符號00<900 =900 900<1800 認識向量的數(shù)量積的實際背景。使學生在形式上認識數(shù)量積的定義。 引導學生通過自主研究，明確兩個向量的夾角決定它們的數(shù)量積的符號，進一步從細節(jié)上理

8、解向量數(shù)量積的定義。向量投影的概念：我們把叫做向量在方向上（在方向上）的投影。數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積·等于的長度與在的方向上的投影的乘積。、 、 、數(shù)量積的幾何意義是什么？數(shù)量積·等于的長度與在的方向上的投影的乘積。    學生自主完成，師根據(jù)學生解答情況點評：20； 0；20； 10。這里將數(shù)量積的幾何意義提前，使學生從代數(shù)和幾何兩個方面對數(shù)量積的特征有了更加充分的認識。  通過學生自主完成，一方面使學生嘗試計算數(shù)量積，鞏固對定義的理解；同時也為數(shù)量積的性質埋下伏筆。數(shù)量積的性質：設和都是非零向量，則1、

9、83;=0   2、當與同向時，；當與反向時， 特別地，或 3、練習：判斷下列說法是否正確嘗試將例1中的 的結論推廣到一般向量，你能得到哪些結論？ 得到數(shù)量積的性質1、2 比較與的大小，你有什么結論？得到數(shù)量積的性質3 學生嘗試練習，師根據(jù)學生解答情況點評：1、正確； 2、錯誤；3、錯誤； 4、錯誤。第4題的解答（反例：當時，有。但不能得到）。結合實數(shù)，有進行類比、辯析。將例1的結論推廣得到數(shù)量積的運算性質，使學生感到親切自然，同時也培養(yǎng)了學生由特殊到一般的思維品質和類比創(chuàng)新的意識。通過嘗試練習，鞏固對數(shù)量積的性質的理解?；仡檶崝?shù)運算

10、中有關乘法的運算律。類比數(shù)量積的運算律，體會不同運算的運算律不盡相同，需要研究。已知向量、和實數(shù)，則  我們學過了實數(shù)乘法的哪些運算律？這些運算律對向量的數(shù)量積運算是否也適用？答:交換律：ab=ba  結合律：(ab)c=a(bc)分配律：(a+b)c=ac+bc猜想：·= ·（·）= (·)分析猜想： 的正確性是顯而易見的。的正確性與否？請同學們先討論：猜測的左右兩邊的結果各是什么？它們一定相等嗎？答：左邊是與向量共線的向量，而右邊則是與向量共線的向量，顯然在向量與向量不共線的情況下猜測是不正確的。學生活動：證明運算律2（

11、猜想）在證明時，學生可能只考慮到>0的情況,為了幫助學生完善證明，提出以下問題：當<0時，向量與，與的方向的關系如何？此時，向量與及與的夾角與向量與的夾角相等嗎？師生活動：證明運算律（3）（猜想）要求學生通過對過去所學過的運算律的回顧類比得出數(shù)量積的運算律。通過討論糾錯來理解不同運算的運算律不盡相同，看到數(shù)學的法則與法則間的相互聯(lián)系與區(qū)別，體會法則，學習研究的重要性。 學會利用定義證明運算律（1）(2)，運算律(3)的圖形構造有些困難，先讓學生討論，后根據(jù)學生的情況加以指導或共同完成。   例題剖析，鞏固新知課本第105頁例2對任意向量，是否

12、有以下結論：（1）(+)2=2+2·+2 （2）(+)·(-)= 22課本第105頁例3已知=6，=4, 與的夾角為600，求（+2）·（-3）。課本第105頁例4已知=3，=4, 且與不共線，k為何值時，向量+k與-k互相垂直？ 例2學生獨立完成。  例3師生共同完成，并思考此運算過程類似于哪種實數(shù)運算？ 例4師生共同完成，并討論：通過本題，你有什么體會？通過計算鞏固對定義的理解。讓學生體會解題中運算律的作用，比較向量運算與數(shù)運算的異同。學會利用數(shù)量積來解決垂直問題，體會用數(shù)量積將幾何問題代數(shù)化的解題思想，體現(xiàn)向量的工具性。嘗試練習，體驗成功1、課本第106頁練習2、32、思考題：用向量方法證明：直徑所對的圓周角為直角 加強學生的練習。通過觀察、問答等方式對學生的掌握情況有了進一步的了解和把握。  歸納總結，升華提高小結： 1、本節(jié)課我們學習的主要內容是什么？2、平面向量的數(shù)量積有哪些應用？3、我們是按照怎樣的思維模式進行概念的歸納和性質的探究？在運算律的探究過程中，滲透了哪些數(shù)學思想？ 4、類比向量的線性運算，我們還應該怎樣研究數(shù)量積？讓學生回顧總結本節(jié)課的學習內容及探究、解決問題的方法。師生共同歸納總結。通過師生共同總結，加強了學生對概念法則的理解和掌握，體會整