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文檔簡介
1、第三講全等三角形與角平分線問題中考要求板塊考試要求a級要求b級要求c級要求全等三角形的性質(zhì)及判定會識別全等三角形掌握全等三角形的概念、判定和性質(zhì),會用全等三角形的性質(zhì)和判定解決簡單問題會運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)和判定解決有關(guān)問題知識點(diǎn)睛全等三角形的性質(zhì):對應(yīng)角相等,對應(yīng)邊相等,對應(yīng)邊上的中線相等,對應(yīng)邊上的高相等,對應(yīng)角的角平分線相等,面積相等尋找對應(yīng)邊和對應(yīng)角,常用到以下方法:(1)全等三角形對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊,兩個對應(yīng)角所夾的邊是對應(yīng)邊(2)全等三角形對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角,兩條對應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角(3)有公共邊的,公共邊常是對應(yīng)邊(4)有公共角的,公共角常是對應(yīng)角(5)有對頂角的,對頂
2、角常是對應(yīng)角(6)兩個全等的不等邊三角形中一對最長邊(或最大角)是對應(yīng)邊(或?qū)?yīng)角),一對最短邊(或最小角)是對應(yīng)邊(或?qū)?yīng)角)要想正確地表示兩個三角形全等,找出對應(yīng)的元素是關(guān)鍵全等三角形的判定方法:(1) 邊角邊定理(sas):兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等 (2) 角邊角定理(asa):兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(3) 邊邊邊定理(sss):三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(4) 角角邊定理(aas):兩個角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(5) 斜邊、直角邊定理(hl):斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等全等三角形的應(yīng)用:運(yùn)用三角形全等可以證明線段
3、相等、角相等、兩直線垂直等問題,在證明的過程中,注意有時會添加輔助線奧數(shù)賽點(diǎn):能通過判定兩個三角形全等進(jìn)而證明兩條線段間的位置關(guān)系和大小關(guān)系而證明兩條線段或兩個角的和、差、倍、分相等是幾何證明的基礎(chǔ)重、難點(diǎn)重點(diǎn):本節(jié)的重點(diǎn)是全等三角形的概念和性質(zhì)以及判定,全等三角形的性質(zhì)是以后證明三角形問題的基礎(chǔ),也是學(xué)好全章的關(guān)鍵。同時全等三角形的判定也是本章的重點(diǎn),特別是幾種判定方法,尤其是當(dāng)在直角三角形中時,hl的判定是整個直角三角形的重點(diǎn)難點(diǎn):本節(jié)的難點(diǎn)是全等三角形性質(zhì)和判定定理的靈活應(yīng)用。為了能熟練的應(yīng)用性質(zhì)定理及其推論,要把性質(zhì)定理和推論的條件和結(jié)論弄清楚,哪幾個是條件,決定哪個結(jié)論,如何用數(shù)學(xué)符
4、號表示,即書寫格式,都要在講練中反復(fù)強(qiáng)化例題精講與角平分線相關(guān)的問題角平分線的兩個性質(zhì):角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等;到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上它們具有互逆性角平分線是天然的、涉及對稱的模型,一般情況下,有下列三種作輔助線的方式:1 由角平分線上的一點(diǎn)向角的兩邊作垂線,2 過角平分線上的一點(diǎn)作角平分線的垂線,從而形成等腰三角形,3 ,這種對稱的圖形應(yīng)用得也較為普遍, 【例1】 在中,為邊上的點(diǎn),已知,求證:【解析】 延長到,使,連結(jié),在和中,又【例2】 已知中,、分別是及平分線求證:【解析】 平分,同理在與中,【點(diǎn)評】其實(shí)就是等腰三角形底角平分線相等【例3】 如圖,在中,、分別
5、平分、,且與的交點(diǎn)為求證:【解析】 在上截取,連結(jié),可推出,進(jìn)而證明,進(jìn)而得【例4】 如圖,已知的周長是,分別平分和,于,且,求的面積adocb【解析】 點(diǎn)為中角平分線的交點(diǎn),點(diǎn)到三邊距離相等【補(bǔ)充】如圖所示:,、相交于點(diǎn)求證:平分【解析】 利用證得,根據(jù)已知可得,利用證得,利用證得,平分【例5】 (2006年北京中考題)已知中,、分別平分和,、交于點(diǎn),試判斷、的數(shù)量關(guān)系,并加以證明【解析】理由是:在上截取,連結(jié)利用證得利用證得【點(diǎn)評】此題是一道非常經(jīng)典的例題,老師應(yīng)當(dāng)著重分析【例6】 如圖,已知是上的一點(diǎn),又,求證:【解析】 ,【例7】 (北京中考題)如圖所示,是和的平分線,求證:【解析】
6、是和的角平分線,在和中(sas),【例8】 如圖所示,已知中,平分,、分別在、上,求證:【解析】 延長到,使,連結(jié),利用證明,又,平分,【例9】 如圖所示,ad是的角平分線,de、df分別是的高,則等于_【解析】 易證aedadc,def為等腰三角形又由,則,則【例10】 (北京市中考模擬題)如圖,在四邊形中,平分,過作,并且,則等于多少?【解析】 作,可推出,易證,【例11】 (理工附中0607學(xué)年下學(xué)期期中考試)在中,延長到,與 的角平分線相交于點(diǎn),與的角平分線交于,依次類推與的角平分線交于,求大小 (初二第屆希望杯試)如右上圖,是的角平分線,是角的平分線,與 交于,若,求的度數(shù)【解析】
7、根據(jù)結(jié)論易得:,同理,延長交于,則, 即得【補(bǔ)充】(“希望杯”競賽試題)長方形abcd中,ab=4,bc=7,bad的角平分線交bc于點(diǎn)e,efed交ab于f,則ef=_【解析】 由ab=4,ae平分bad可知be=ab=cd=4 由基本圖可知befcde,故ef=de又bc=7,be=4,故ce=3 由勾股定理可知,de=5 從而可知ef=5【例12】 (北京市西城區(qū)2006年抽樣測試八年級(上)附加題,黃岡市數(shù)學(xué)競賽試題)如圖所示,在中,是的外角平分線,是上異于點(diǎn)的任意一點(diǎn),試比較與的大小,并說明理由 【解析】 ,理由如下如圖所示,在的延長線上截取,連接因?yàn)槭堑耐饨瞧椒志€,故在和中,公用,
8、因此,從而在中,而,故 【補(bǔ)充】如圖所示,是中的外角平分線,于,是的中點(diǎn),求證 且 【解析】 如圖所示,延長到,使,連接 在和中,故,從而、三點(diǎn)共線,且是的中點(diǎn),是的中位線,故,且【補(bǔ)充】在中,是的平分線是上任意一點(diǎn)求證: 【解析】 在上截取,連結(jié),根據(jù)證得,又中,【例13】 如圖,在中,的平分線交與求證:【解析】 方法一:在上取一點(diǎn),使得連結(jié)在和中,又,方法二:在的延長線上取一點(diǎn)使得,連結(jié)在和中,又,方法三:延長到點(diǎn)使得,連結(jié)則有又,又, 方法四:如圖,作平分交、于、點(diǎn)延長到,使,連結(jié),又即且,同理,【例14】 如圖,中,平分交于點(diǎn)求證:【解析】 方法一:在上截取點(diǎn)使,連結(jié)平分,在與中, ,
9、 又,方法二:如圖,延長到,使,連結(jié),且,又【鞏固】已知等腰,的平分線交于,則【解析】 解法一:如圖,在上截取,連接,過作,交于,于是,又,故顯然是等腰梯形,又,解法二:如圖,延長到,使,在上截取,為公共邊,故,故,故,解法三:如圖,延長到,使延長到,使連接、,公共,又,而又公共,【例15】 如圖所示,在中,是的平分線,是的中點(diǎn),且交的延長線于,求證 【解析】 如圖所示,延長到,使,連接、因?yàn)?,故,則因?yàn)?,故因?yàn)?,故因?yàn)?,故因?yàn)槠椒?,故在和中,故,從而,因此點(diǎn)評:實(shí)質(zhì)上,本題還是利用了“見到角平分線,考慮對稱圖形”的思想【例16】 如圖所示,在中,為的中點(diǎn),是的平分線,若且交的延長線于,求證
10、【解析】 題目中有角平分線和垂直的條件,因此可以考慮將圖形補(bǔ)成等腰,之后再證明是的中位線即可如圖所示,延長、相交于點(diǎn),在和中,故,從而,而,故是的中位線,從而【例17】 如圖所示,在中,平分,于,求證 【解析】 如圖所示,延長、相交于取的中點(diǎn),連接,則,故,則容易證明,故因此【例18】 如圖,中,、分別為兩底角的外角平分線,于,于求證:【解析】 ,、是角平分線在與中,【例19】 已知:和分別是的和的外角平分線,求證: ; 【解析】 大凡涉及角平分線的問題,常常隱含著全等三角形的問題,從而獲得等邊、等角,以助證題如圖所示,延長、分別交直線于、兩點(diǎn),則易證得,于是可得、分別為、的中點(diǎn)至此,命題容易
11、獲證【例20】 在中,、分別是三角形的外角、的角平分線,垂足分別是、求證:, 【解析】 延長、相交于點(diǎn),延長、相交于點(diǎn),易證,且【鞏固】在中,、分別是三角形的內(nèi)角、的角平分線,垂足分別是、求證:,【解析】 延長、相交于點(diǎn),延長、相交于點(diǎn),易證,且【例21】 在中,、分別為、邊上的高,求證: 【解析】 取、的中點(diǎn),連結(jié),從而得,又因,故【例22】 如圖,平分,平分,點(diǎn)在上 探討線段、和之間的等量關(guān)系 探討線段與之間的位置關(guān)系【解析】 ; 在線段上取點(diǎn),使,連結(jié)在和中,而在和中,【例23】 如圖,在中,、分別是、的平分線,求證:【解析】 如圖,作,交于,交于為等腰三角形,且平分為中點(diǎn),且平分,且為
12、等腰三角形,且為的中點(diǎn)又,且為中點(diǎn),即可以發(fā)現(xiàn)四邊形為矩形,于是【例24】 如圖所示,是的中點(diǎn),求證 【解析】 如圖所示,設(shè)交于,要證明,實(shí)際上就是證明,而條件不好運(yùn)用,我們可以倍長中線到,連接交于點(diǎn),交于點(diǎn)容易證明,則,從而,而,故,從而,故而,故,亦即家庭作業(yè)【習(xí)題1】在中,的平分線交于,過作,為垂足,求證: 【解析】 延長交的延長線于,過作交于,容易證得,且為之中點(diǎn),故易得【習(xí)題2】如圖,在中,的平分線交與求證:【解析】 在上取一點(diǎn),使得,連結(jié)在和中,又,【習(xí)題3】(04年山東中考題)是的角平分線,交的延長線于,交于求證: 【解析】 由“角平分線+垂直”聯(lián)想到等腰三角形的“三線合一”,故恢復(fù)等腰三角形延長交的延長線于點(diǎn),易證得,所以為的中點(diǎn),又,所以為的中位線,故這道題目是典型的“補(bǔ)圖”,凸顯題目中的條件【習(xí)題4】如圖所示,ad平行于bc,ad=4,bc=2,那么ab=_【解析】 過e做ef交ab于f,使afad,易證adeafe;efbebc則abadbc6【習(xí)題5】中,為中點(diǎn),交的平分線于點(diǎn),于 于求證: 【解析】 連接、垂直平分,平分,又,(),月測備選【備選1】(2001年河南省中考題)在中,平分,求的值 【解析】
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