最新高中數(shù)學(xué)理高考一輪復(fù)習(xí)教案9.3二項(xiàng)式定理

1、第三節(jié)二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理的應(yīng)用(1)能用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理(2)會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開(kāi)式有關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)一二項(xiàng)式定理1定理公式(ab)ncancan1bcankbkcbn(nn*)叫作二項(xiàng)式定理2通項(xiàng)tk1cankbk為展開(kāi)式的第k1項(xiàng)易誤提醒(1)二項(xiàng)式的通項(xiàng)易誤認(rèn)為是第k項(xiàng)實(shí)質(zhì)上是第k1項(xiàng)(2)(ab)n與(ba)n雖然相同，但具體到它們展開(kāi)式的某一項(xiàng)時(shí)是不相同的，所以公式中的第一個(gè)量a與第二個(gè)量b的位置不能顛倒(3)通項(xiàng)是tk1cankbk(k0,1,2，n)其中含有tk1，a，b，n，k五個(gè)元素，只要知道其中四個(gè)即可求第五個(gè)元素自測(cè)練習(xí)1.6的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)解析：由

2、題意可知常數(shù)項(xiàng)為c(2x)2460.答案：602.8的展開(kāi)式中的有理項(xiàng)共有_項(xiàng)解析：tr1c()8rrrcxr為4的倍數(shù)，故r0,4,8共3項(xiàng)答案：3知識(shí)點(diǎn)二二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)1二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)(1)二項(xiàng)式系數(shù)二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)c(k0,1，n)叫作二項(xiàng)式系數(shù)(2)項(xiàng)的系數(shù)項(xiàng)的系數(shù)是該項(xiàng)中非字母因數(shù)部分，包括符號(hào)等，與二項(xiàng)式系數(shù)是兩個(gè)不同的概念2二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容對(duì)稱性與首末兩端等距離的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即cc增減性當(dāng)k<時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)逐漸增大；當(dāng)k>時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)逐漸減小最大值當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，最大值為cn；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系

3、數(shù)相等，且同時(shí)取得最大值，最大值為cn或cn3.各二項(xiàng)式系數(shù)的和(ab)n的展開(kāi)式的各個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)的和等于2n，即ccccc2n.二項(xiàng)展開(kāi)式中，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和，即cccccc2n1.易誤提醒二項(xiàng)式系數(shù)與展開(kāi)式項(xiàng)的系數(shù)的異同：在tk1cankbk中，c就是該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，它與a，b的值無(wú)關(guān)；tk1項(xiàng)的系數(shù)指化簡(jiǎn)后除字母以外的數(shù)，如a2x，b3y，tk1c2nk·3kxnkyk，其中c2nk3k就是tk1項(xiàng)的系數(shù)自測(cè)練習(xí)3(2015·高考四川卷)在(2x1)5的展開(kāi)式中，含x2的項(xiàng)的系數(shù)是_(用數(shù)字填寫(xiě)答案)解析：由二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)tr1c(

4、2x)5r(1)r(r0,1，5)知，當(dāng)r3時(shí)，t4c(2x)53(1)340x2，所以含x2的項(xiàng)的系數(shù)是40.答案：404c3c5c(2n1)c_.解析：設(shè)sc3c5c(2n1)·c(2n1)c，s(2n1)c(2n1)c3cc，2s2(n1)(cccc)2(n1)·2n，s(n1)·2n.答案：(n1)·2n考點(diǎn)一二項(xiàng)展開(kāi)式中特定項(xiàng)與系數(shù)問(wèn)題|1(2016·海淀模擬)3的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為()a12 b12c6 d6解析：由題意可得，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為tr1c·(x2)3rr(2)rcx63r，令63r0，得r2，3的展開(kāi)式中的常

5、數(shù)項(xiàng)為t21(2)2c12，故選a.答案：a2(2015·高考安徽卷)7的展開(kāi)式中x5的系數(shù)是_(用數(shù)字填寫(xiě)答案)解析：由題意知，展開(kāi)式的通項(xiàng)為tr1c(x3)7rrcx214r，令214r5，則r4，t5cx535x5，故x5的系數(shù)為35.答案：353若n展開(kāi)式中含有x2項(xiàng)，則n的最小值是_解析：n的展開(kāi)式的通項(xiàng)是tr1c·nr·(x)rc·(1)r·xrn.依題意得，關(guān)于r的方程rn2，即r有正整數(shù)解；又2與5互質(zhì)，因此n2必是5的倍數(shù)，即n25k，n5k2，n的最小值是3.答案：3求二項(xiàng)展開(kāi)式中的指定項(xiàng)，一般是利用通項(xiàng)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)通項(xiàng)公式

6、后，令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為零；求有理項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為整數(shù)等)，解出項(xiàng)數(shù)r1，代回通項(xiàng)公式即可考點(diǎn)二二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)與各項(xiàng)系數(shù)和問(wèn)題|(1)若n展開(kāi)式中只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是()a360 b180c90 d45(2)若a1(x1)4a2(x1)3a3(x1)2a4(x1)a5x4，則a2a3a4_.解析(1)展開(kāi)式中只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開(kāi)式總共11項(xiàng)，所以n10，通項(xiàng)公式為tr1c()10r·rc2rx5r，所以r2時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為180.(2)x4(x1)14c(x1)4c(x1)3c(x1)2c(x1)c，對(duì)照a1(x1)4a2(x1)3

7、a3(x1)2a4(x1)a5x4得a2c，a3c，a4c，所以a2a3a4ccc14.答案(1)b(2)14(1)賦值法研究二項(xiàng)式的系數(shù)和問(wèn)題“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對(duì)形如(axb)n、(ax2bxc)m(a，br)的式子求其展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦值法，只需令x1即可；對(duì)形如(axby)n(a，br)的式子求其展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令xy1即可(2)二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的確定方法(1)如果n是偶數(shù)，則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大(2)如果n是奇數(shù)，則中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等并最大(2015·成都一中模擬)設(shè)(x21)(2x1)9a0a1(x2)a2(x2)2

8、a11(x2)11，則a0a1a2a11的值為()a2 b1c1 d2解析：令等式中x1可得a0a1a2a11(11)(1)92，故選a.答案：a考點(diǎn)三多項(xiàng)式展開(kāi)式中特定項(xiàng)或系數(shù)問(wèn)題|在高考中，常常涉及一些多項(xiàng)式二項(xiàng)式問(wèn)題，主要考查學(xué)生的化歸能力，歸納起來(lái)常見(jiàn)的命題角度有：1幾個(gè)多項(xiàng)式和的展開(kāi)式中的特定項(xiàng)(系數(shù))問(wèn)題2幾個(gè)多項(xiàng)式積的展開(kāi)式中的特定項(xiàng)(系數(shù))問(wèn)題3三項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)(系數(shù))問(wèn)題探究一幾個(gè)多項(xiàng)式和的展開(kāi)式中的特定項(xiàng)(系數(shù))問(wèn)題1(2016·商丘月考)在(1x)5(1x)6(1x)7(1x)8的展開(kāi)式中，含x3的項(xiàng)的系數(shù)是()a74 b121c74 d121解析：展開(kāi)式中

9、含x3項(xiàng)的系數(shù)為c(1)3c(1)3c(1)3c(1)3121.答案：d探究二幾個(gè)多項(xiàng)式積的展開(kāi)式中的特定項(xiàng)(系數(shù))問(wèn)題2(2015·高考全國(guó)卷)(ax)(1x)4的展開(kāi)式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為32，則a_.解析：法一：直接將(ax)(1x)4展開(kāi)得x5(a4)x4(64a)x3(46a)x2(14a)xa，由題意得1(64a)(14a)32，解得a3.法二：(1x)4展開(kāi)式的通項(xiàng)為tr1cxr，由題意可知，a(cc)ccc32，解得a3.答案：3探究三三項(xiàng)展開(kāi)式中特定項(xiàng)(系數(shù))問(wèn)題3(2015·高考全國(guó)卷)(x2xy)5的展開(kāi)式中，x5y2的系數(shù)為()a10 b20

10、c30 d60解析：(x2xy)5(x2x)y5的展開(kāi)式中只有c(x2x)3y2中含x5y2，易知x5y2的系數(shù)為cc30，故選c.答案：c(1)對(duì)于幾個(gè)多項(xiàng)式和的展開(kāi)式中的特定項(xiàng)(系數(shù))問(wèn)題，只需依據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，從每一項(xiàng)中分別得到特定的項(xiàng)，再求和即可(2)對(duì)于幾個(gè)多項(xiàng)式積的展開(kāi)式中的特定項(xiàng)問(wèn)題，一般都可以根據(jù)因式連乘的規(guī)律，結(jié)合組合思想求解，但要注意適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用分類方法，以免重復(fù)或遺漏(3)對(duì)于三項(xiàng)式問(wèn)題一般先變形化為二項(xiàng)式再解決30.一般與特殊的思想在二項(xiàng)式問(wèn)題中的應(yīng)用(賦值法)【典例】若(2x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，則(a0a2a4)2(a1a3)2的值是_思維點(diǎn)撥要

11、求解的問(wèn)題與二項(xiàng)式系數(shù)有關(guān)考慮賦值法，令x±1，可求得奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和解析令x1，得a0a1a2a3a4(2)4，令x1，得a0a1a2a3a4(2)4.故(a0a2a4)2(a1a3)2(a0a2a4a1a3)(a0a2a4a1a3)(2)4×(2)4(34)41.答案1方法點(diǎn)評(píng)賦值法是求展開(kāi)式中的系數(shù)與系數(shù)和的常用方法，注意所賦的值要有利于問(wèn)題的解決，可以取一個(gè)或幾個(gè)值，常賦的值為0，±1.一般地，若f(x)a0a1xa2x2anxn，則f(x)的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為f(1)，奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a0a2a4，偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a1a3a5.跟蹤練習(xí)若(1x

12、x2)6a0a1xa2x2a12x12，則a2a4a12_.解析：令x1，則a0a1a2a1236，令x1，則a0a1a2a121，a0a2a4a12.令x0，則a01，a2a4a121364.答案：364a組考點(diǎn)能力演練1若n的展開(kāi)式中的所有二項(xiàng)式系數(shù)之和為512，則該展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為()a84b84c36 d36解析：由二項(xiàng)式系數(shù)之和為2n512，得n9.又tr1(1)rcx183r，令183r0，得r6，故常數(shù)項(xiàng)為t784.故選b.答案：b2已知(1ax)(1x)5的展開(kāi)式中x2的系數(shù)為5，則a()a4 b3c2 d1解析：(1x)5中含x與x2的項(xiàng)為t2cx5x，t3cx210x2，x

13、2的系數(shù)為105a5，a1.答案：d3(2016·青島模擬)設(shè)(1x)na0a1xa2x2anxn，若a1a2an63，則展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)是()a15x2 b20x3c21x3 d35x3解析：(1x)na0a1xa2x2anxn，令x0，得a01.令x1，則(11)na0a1a2an64，n6，又(1x)6的展開(kāi)式二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的系數(shù)最大，(1x)6的展開(kāi)式系數(shù)最大項(xiàng)為t4cx320x3.答案：b4(2016·西城一模)若m的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為128，則展開(kāi)式中的系數(shù)是()a21 b21c7 d7解析：2m128，m7，展開(kāi)式的通項(xiàng)tr1c(3x)7r

14、3;rc37r(1)rx7，令7r3，解得r6，的系數(shù)為c376(1)621，故選a.答案：a5(2016·廣州調(diào)研)已知a2cosdx，則二項(xiàng)式5的展開(kāi)式中x的系數(shù)為()a10 b10c80 d80解析：a2cosdx2sin2，展開(kāi)式的通項(xiàng)為tr1c(2)rx103r，令103r1，則r3，t4c(2)3x80x.答案：d6.6的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)解析：6的通項(xiàng)為tk1cx6kkkcx62k，令62k0，得k3，故展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為.答案：7(2015·高考天津卷)在6的展開(kāi)式中，x2的系數(shù)為_(kāi)解析：二項(xiàng)式6展開(kāi)式的第r1項(xiàng)為tr1cx6r·rxrcrx62r，

15、令62r2，解得r2，故x2的系數(shù)為c2.答案：8若(12x)2 015a0a1xa2x2a2 015x2 015，則_.解析：當(dāng)x00時(shí)，左邊1，右邊a0，a01當(dāng)x時(shí)，左邊0，右邊a0011答案：19已知(a21)n展開(kāi)式中的各項(xiàng)系數(shù)之和等于5的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)，而(a21)n的展開(kāi)式的系數(shù)最大的項(xiàng)等于54，求正數(shù)a的值解：5展開(kāi)式的通項(xiàng)tr1c5r·r5rcx，令205r0，得r4，故常數(shù)項(xiàng)t5c·16，又(a21)n展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為2n，由題意，得2n16，n4.(a21)4展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)是中間項(xiàng)t3，從而c(a2)254，a.10(1)求證：122225

16、n1(nn*)能被31整除；(2)求sccc除以9的余數(shù)解：(1)證明：122225n125n132n1(311)n1c×31nc×31n1c×31c131(c×31n1c×31n2c)，顯然c×31n1c×31n2c為整數(shù)，原式能被31整除(2)sccc2271891(91)91c×99c×98c×9c19(c×98c×97c)2.c×98c×97c是整數(shù)，s被9除的余數(shù)為7.b組高考題型專練1(2014·高考湖北卷)若二項(xiàng)式7的展開(kāi)式中的系數(shù)

17、是84，則實(shí)數(shù)a()a2 b.c1 d.解析：tr1c·(2x)7r·r27rcar·.令2r73，則r5.由22·ca584得a1，故選c.答案：c2(2014·高考四川卷)在x(1x)6的展開(kāi)式中，含x3項(xiàng)的系數(shù)為()a30 b20c15 d10解析：在(1x)6的展開(kāi)式中，含x2的項(xiàng)為t3c·x215x2，故在x(1x)6的展開(kāi)式中，含x3的項(xiàng)的系數(shù)為15.答案：c3(2015·高考湖北卷)已知(1x)n的展開(kāi)式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為()a29 b210c211 d212解析：因?yàn)?1x)n的展開(kāi)式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的