概率4.1隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

1、概率論概率論 4.1 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望小結(jié)小結(jié) 布置作業(yè)布置作業(yè)概率論概率論 在前面的課程中，我們討論了隨機(jī)變量及其分在前面的課程中，我們討論了隨機(jī)變量及其分布，只要知道了隨機(jī)變量布，只要知道了隨機(jī)變量X的概率分布，那么的概率分布，那么X的的全部概率特征也就知道了全部概率特征也就知道了. 然而，在實(shí)際問題中，概率分布一般是較難然而，在實(shí)際問題中，概率分布一般是較難確定的確定的. 有時(shí)一些實(shí)際應(yīng)用中，人們并不需要知有時(shí)一些實(shí)際應(yīng)用中，人們并不需要知道隨機(jī)變量的一切概率性

2、質(zhì)，只要知道它的某些道隨機(jī)變量的一切概率性質(zhì)，只要知道它的某些數(shù)字特征就夠了數(shù)字特征就夠了.在這些數(shù)字特征中，最常用的是在這些數(shù)字特征中，最常用的是數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望、方差、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)方差、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)概率論概率論 一、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望一、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 1、概念的引入：、概念的引入： 例例1 X是從是從1、2、1、3、1、2中任取得一個(gè)數(shù)，中任取得一個(gè)數(shù)， X的分布如下，如何定義的分布如下，如何定義X的平均值呢？的平均值呢？設(shè)設(shè)X取值取值N次，其中次，其中1、2、3出現(xiàn)的次數(shù)分別為出現(xiàn)的次數(shù)分別為n1、n2、n3nnnNNN 312123概率論概率論 當(dāng)當(dāng)N很大時(shí)，頻率接近于概

3、率，很大時(shí)，頻率接近于概率，X的平均值時(shí)，用的平均值時(shí)，用概概率代替頻率率代替頻率，得平均值為，得平均值為這樣得到一個(gè)確定的數(shù)這樣得到一個(gè)確定的數(shù). 我們就用這個(gè)數(shù)作為隨機(jī)變我們就用這個(gè)數(shù)作為隨機(jī)變量量X 的平均值的平均值 .123123ppp 123()123E Xppp 321123666 概率論概率論 定義定義1 設(shè)設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，它的分布律是是離散型隨機(jī)變量，它的分布律是: PX=xk=pk , k=1,2,注意注意 :離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個(gè)絕對收斂離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個(gè)絕對收斂的級數(shù)的和的級數(shù)的和.數(shù)學(xué)期望簡稱期望，又稱為均值。數(shù)學(xué)期望簡稱期望，又稱為均值。即)

4、(XE隨機(jī)變量隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望，記為，記為 ,1()kkkE Xx p 1kkkx p 若若級級數(shù)數(shù)絕絕對對收收斂斂，1kkkx p 則則級級數(shù)數(shù)的的和和為為概率論概率論 例例2解：解：X的分布律為的分布律為( ),().XPE X 設(shè)設(shè)求求,0,1,2,0!keP Xkkk 101()!(1)!()kkkkXeE XkeeekkE X 的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望為為即即1()kkkE Xx p 概率論概率論 定義定義2 設(shè)設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為 f (x),如果積分如果積分絕對收斂絕對收斂,則稱此積分值為則稱此積分值為X的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望,

5、 即即注意注意 : 連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個(gè)絕對收斂的連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個(gè)絕對收斂的積分積分.( )xf x dx ()( )E Xx f x dx 概率論概率論 設(shè)設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為f (x),在在數(shù)軸上取很密的分點(diǎn)數(shù)軸上取很密的分點(diǎn)x0 x1x2 ,則則X落在小區(qū)落在小區(qū)間間xi, xi+1)的概率是的概率是1( )iixxf x dx+( )iif xx=D小區(qū)間小區(qū)間xi, xi+1)陰影面積近似為陰影面積近似為iixxf)(1( )()iiif xxx+-概率論概率論 由于由于xi與與xi+1很接近很接近, 所以區(qū)間所以區(qū)

6、間xi, xi+1)中的值中的值可以用可以用xi來近似代替來近似代替.( )iiiix f xxD這正是這正是( )x f x dx- 的漸近和式的漸近和式. 近似近似,iixxf )(因此因此X與以概率與以概率取值取值xi的離散型的離散型r.v 該離散型該離散型r.v 的數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)期望期望是是小區(qū)間小區(qū)間xi, xi+1)陰影面積近似為陰影面積近似為iixxf)(概率論概率論 例例3( , ),().XU a bE X設(shè)設(shè)求求1( )0Xaxbf xba 解解的的概概率率密密度度為為其其它它()( )2baXxabE Xxf x dxdxba 的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望為為( , ).a b即即數(shù)

7、數(shù)學(xué)學(xué)期期望望位位于于區(qū)區(qū)間間的的中中點(diǎn)點(diǎn)()( )E Xx f x dx 概率論概率論 例例4XEE X ( )(0),().0( )0 xXexf x 解解的的概概率率密密度度為為其其它它01()( )xXE Xxf x dxx edx 的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望為為()( )E Xx f x dx 概率論概率論 常見分布的數(shù)學(xué)期望常見分布的數(shù)學(xué)期望XEE X 14.( )(0),().XB n pE Xnp 1.( ,),().XPE X 2.( ),().abXU a bE X 3.( , ),().2XNE X 25.( ,),().概率論概率論 四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) 1.

8、 設(shè)設(shè)C是常數(shù)，則是常數(shù)，則E(C)=C; 5. 設(shè)設(shè)X、Y 相互獨(dú)立，則相互獨(dú)立，則 E(XY)=E(X)E(Y); 2. 若若k是常數(shù)，則是常數(shù)，則E(kX)=kE(X); 3. E(X+Y) = E(X)+E(Y);請注意請注意:由由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出不一定能推出X,Y 獨(dú)立獨(dú)立4. ()()( )E aXbYcaE XbE Yc概率論概率論 ()() ( , )( , )( , )()( )3E XYxy f x y dxdyxf x y dxdyyf x y dxdyE XE Y 性性質(zhì)質(zhì) 得得證證。,( , ).( ),( ),XYX Yf x yfxfy證證

9、設(shè)設(shè)（）的的概概率率密密度度其其邊邊緣緣概概率率密密度度為為則則 設(shè)設(shè)X、Y 相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，概率論概率論 四、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望四、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 1. 問題的提出：問題的提出： 設(shè)已知設(shè)已知r.v.X的分布，計(jì)算的分布，計(jì)算X的函數(shù)的函數(shù)g(X)的期望的期望; 一種方法是，因?yàn)橐环N方法是，因?yàn)間(X)也是隨機(jī)變量，故由也是隨機(jī)變量，故由X的分的分布求出布求出g(X)的分布，就可以按期望的定義計(jì)算的分布，就可以按期望的定義計(jì)算Eg(X). 求隨機(jī)變量函數(shù)求隨機(jī)變量函數(shù)g(X)分布一般是比較復(fù)雜的分布一般是比較復(fù)雜的 . 那么是否可以不求那么是否可以不求g(X)的分布而只根據(jù)的

10、分布而只根據(jù)X的分的分布求得布求得Eg(X)呢？呢？概率論概率論 (1) 當(dāng)當(dāng)X為離散型時(shí)為離散型時(shí),它的分布律為它的分布律為P(X= xk)=pk ;(2) 當(dāng)當(dāng)X為連續(xù)型時(shí)為連續(xù)型時(shí),它它的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為f(x).若若 dxxfxgXgEYE)()()()(定理定理 設(shè)設(shè)Y是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量X的函數(shù)的函數(shù):Y=g (X) (g是連續(xù)函數(shù)是連續(xù)函數(shù))1( ) ()()kkkE YE g Xg xp 1(1,2,),()kkkkg xp 若若絕絕對對收收斂斂，則則有有( ) ( )g x f x dx 絕絕對對收收斂斂，則則有有概率論概率論 1(),( ) ()( ) ( ),kkk

11、g xpXE YE g Xg x f x dxX離散型連續(xù)型=- = 該公式的重要性在于該公式的重要性在于: 當(dāng)我們求當(dāng)我們求Eg(X)時(shí)時(shí), 不必不必知道知道g(X)的分布，而只需知道的分布，而只需知道X的分布就可以了的分布就可以了. 這給求隨機(jī)變量函數(shù)的期望帶來很大方便這給求隨機(jī)變量函數(shù)的期望帶來很大方便.概率論概率論 dxdyyxfyxgYXgEZE),(),(),()(1)若二維連續(xù)型若二維連續(xù)型r.v.( X ,Y )的概率密度為的概率密度為f(x,y)，則，則設(shè)設(shè)Z是是r.v.X ,Y 函數(shù)函數(shù)Z=g(X,Y)，g是連續(xù)函數(shù)是連續(xù)函數(shù),則則(2)若二維離散型若二維離散型r.v.(

12、X ,Y )的概率分布為的概率分布為 ,ijijP Xx Yyp則概率論概率論 2301( )20其他xxxf x 解：解：一個(gè)樣品的價(jià)值為一個(gè)樣品的價(jià)值為Y=5-0.5X ,求求E(Y) 某礦物的一個(gè)樣品含有雜質(zhì)的比例為某礦物的一個(gè)樣品含有雜質(zhì)的比例為X， 其概率其概率密度為密度為 E YE X( )50.5 ()xxx dx 120350.5()4.652概率論概率論 ,1sin() 0,0( , )2220X Yxyxyf x y 設(shè)設(shè)二二維維連連續(xù)續(xù)型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量（）的的概概率率密密度度為為其其它它解：解：求求E(X) , E(XY)/2/2001sin()24E Xxxy dx

13、dy （ ）()( , )E XYxyf x y dxdy /2/2001sin()122xyxy dxdy 概率論概率論 五、數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用五、數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用例例7 若若 XB(n,p)，求，求X的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望 .10iiXi 如如第第 次次試試驗(yàn)驗(yàn)成成功功設(shè)設(shè)如如第第 次次試試驗(yàn)驗(yàn)失失敗敗i=1,2，n則則 X= X1+X2+Xn因?yàn)橐驗(yàn)?P(Xi =1)= p,()10 (1)=iE Xppp 1()()niiE XE Xnp 可見，服從參數(shù)為可見，服從參數(shù)為n和和p的二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量的二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望是的數(shù)學(xué)期望是 n p.概率論概率論 例例8 （風(fēng)險(xiǎn)型決策模型）

14、某漁船要對下個(gè)月是否出海（風(fēng)險(xiǎn)型決策模型）某漁船要對下個(gè)月是否出海打魚作出決策，如果出海后是好天，可獲收益打魚作出決策，如果出海后是好天，可獲收益5000元，元，若出海后天氣變壞，將損失若出海后天氣變壞，將損失2000元；若不出海，都要元；若不出海，都要損失損失1000元，據(jù)預(yù)測下個(gè)月好天的概率為元，據(jù)預(yù)測下個(gè)月好天的概率為0.6，天氣變，天氣變壞的概率為壞的概率為0.4，應(yīng)如何選擇最佳方案？，應(yīng)如何選擇最佳方案？X解解將將出出海海的的收收益益作作為為隨隨機(jī)機(jī)變變量量)50000.6( 2000)0.42200X E E( (顯顯然然出出海海的的收收益益比比不不出出海海的的收收益益好好概率論概

15、率論 例例9 明星片利潤計(jì)算明星片利潤計(jì)算1994年中國郵政有獎(jiǎng)明星片一組編號年中國郵政有獎(jiǎng)明星片一組編號000001到到999999，搖獎(jiǎng)后，每組中獎(jiǎng)號碼為：，搖獎(jiǎng)后，每組中獎(jiǎng)號碼為：X解解將將每每張張明明星星片片獲獲得得的的獎(jiǎng)獎(jiǎng)金金作作為為隨隨機(jī)機(jī)變變量量一等獎(jiǎng)（一等獎(jiǎng)（3000元）：元）：768691，929617，009949二等獎(jiǎng)二等獎(jiǎng)（1000元）元）：33793，78768三等獎(jiǎng)（三等獎(jiǎng)（300元）：元）：6122，2258四等獎(jiǎng)（四等獎(jiǎng)（50元）：元）：127五等獎(jiǎng)（五等獎(jiǎng)（4元郵票）：元郵票）：46紀(jì)念獎(jiǎng)（紀(jì)念獎(jiǎng)（0.5元紀(jì)念明星片）：元紀(jì)念明星片）：7每張明星片售價(jià)每張明星

16、片售價(jià)0.5元，成本為元，成本為0.18元，試試測算平均獲利元，試試測算平均獲利概率論概率論 71)0.299iiiXx p E E( (0.5-0.18-0.299=0.021郵郵政政每每張張明明星星片片平平均均獲獲利利概率論概率論 例例10 一民航送客車載有一民航送客車載有20位旅客自機(jī)場開出位旅客自機(jī)場開出,旅客旅客有有10個(gè)車站可以下車個(gè)車站可以下車,如到達(dá)一個(gè)車站沒有旅客下車如到達(dá)一個(gè)車站沒有旅客下車就不停車就不停車.以以X表示停車的次數(shù)，求表示停車的次數(shù)，求E(X).(設(shè)每位旅設(shè)每位旅客在各個(gè)車站下車是等可能的客在各個(gè)車站下車是等可能的,并設(shè)各旅客是否下車并設(shè)各旅客是否下車相互獨(dú)立

17、相互獨(dú)立)01,2,101iiXii 解解引引入入隨隨機(jī)機(jī)變變量量在在第第 站站沒沒有有人人下下車車在在第第 站站有有人人下下車車1210XXXX 易易知知概率論概率論 2020990,11,1,2,101010iiP XP Xi 209()1,1,2,1010iE Xi 由由此此1210121020()()()()()91018.78410E XE XXXE XE XE X 進(jìn)進(jìn)而而次次概率論概率論 概率論概率論 1 某人的一串鑰匙上有某人的一串鑰匙上有n把鑰匙把鑰匙,其中只有一把能打其中只有一把能打開自己的家門開自己的家門,他隨意地試用這串鑰匙中的某一把他隨意地試用這串鑰匙中的某一把去開門

18、去開門,若每把鑰匙試開一次后除去若每把鑰匙試開一次后除去,求打開門時(shí)試求打開門時(shí)試開次數(shù)的數(shù)學(xué)期望開次數(shù)的數(shù)學(xué)期望.20( )00 xXexf xxYe 求求的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望。概率論概率論 1 解解 設(shè)試開次數(shù)為設(shè)試開次數(shù)為X,分布率為：是離散型隨機(jī)變量，其X于是于是 E(X) 11nkkn=1 (1)2n nn+=12n+=31)()(022 dxeedxxfeYExxxP(X=k)=1/n, k=1, 2, , n概率論概率論 七、小結(jié)七、小結(jié) 這一講，我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，這一講，我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，它反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，是隨機(jī)變量它反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，是隨機(jī)變量的一個(gè)重要的數(shù)字特征的一個(gè)重要的數(shù)字特征. 接下來的一講中，我們將向大家介紹隨機(jī)變接下來的一講中，我們將向大家介紹隨機(jī)變量另一個(gè)重要的數(shù)字特征：量另一個(gè)重要的數(shù)字特征：方差方差概率論概率論 一旅客一旅客8:20到車站到車站,求他候車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望求他候車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望. 例例3 按規(guī)定按規(guī)定,某車站每天某車站每天8:009:00,9:00