一元二次方程根的分布情況歸納總結(jié)

1、精品資料歡迎下載一元二次方程 ax2bxc 0 根的分布情況設(shè)方程 ax2bx c 0 a0 的不等兩根為 x1 , x2 且 x1x2 ，相應(yīng)的二次函數(shù)為 f x ax2bx c0 ，方程的根即為二次函數(shù)圖象與x 軸的交點，它們的分布情況見下面各表（每種情況對應(yīng)的均是充要條件）分布情況大致圖象（a0）得出的結(jié)論大致圖象（a0）得出的結(jié)論綜合結(jié)論（不討論a表一：（兩根與 0 的大小比較即根的正負(fù)情況）兩個負(fù)根即兩根都小于 0兩個正根即兩根都大于 0一正根一負(fù)根即一個根小于0，x1 0, x2 0x1 0, x2 0一個大于 0 x1 0 x200bbf 0 0002a2af 0 0f 0 00

2、0bbf 0 0002a2af 0 0f 0 000bba f 0 0002a2aa f 0 0a f 00）分布情況大致圖象（a0）精品資料歡迎下載表二：（兩根與 k 的大小比較）兩根都小于 k 即兩根都大于k 即一個根小于 k ，一個大于k 即x1k, x2kx1k, x2kx1kx2kkk得出的結(jié)論大致圖象（a0）得出的結(jié)論綜合結(jié)論（不討論a00bbkk2a2af k 0f k000bbkk2a2afk0fk000bbkk2a2aa fk0afk0f k0f k0af k0）分布情況大致圖象（a0）兩根都在m, n 內(nèi)精品資料歡迎下載表三：（根在區(qū)間上的分布）兩根有且僅有一根在m, n

3、內(nèi)一根在m,n 內(nèi)，另一根在p, q（圖象有兩種情況，只畫了一種）內(nèi)， mnpq得出的結(jié)論大致圖象（a0）得出的結(jié)論綜合結(jié)論（不討論a）0fm0fn0bmn2a0fm0fn0bmn2af mf n0f mf n0f mf n0fm0fn0fp0fq0fm0fn0fp0fq0fmfn0fpfq0根在區(qū)間上的分布還有一種情況：兩根分別在區(qū)間m, n 外，即在區(qū)間兩側(cè)x1m, x2n ，（圖形分別如下）精品資料歡迎下載需滿足的條件是（ 1） afm0（ 2） afm00 時，n0；0 時，n0ff對以上的根的分布表中一些特殊情況作說明：（ 1）兩根有且僅有一根在m, n 內(nèi)有以下特殊情況：1若 f

4、m0或 f n0 ，則此時 fmf n0 不成立，但對于這種情況是知道了方程有一根為m 或 n ，可以求出另外一根， 然后可以根據(jù)另一根在區(qū)間m, n 內(nèi)，從而可以求出參數(shù)的值。 如方程 mx2m2 x20在區(qū)間 1,3上有一根，因為f 1 0，所以 mx2m2 x2 x 1mx 2 ，另一根為2 ，由123得 2mmm2 即為所求；32方程有且只有一根，且這個根在區(qū)間m, n 內(nèi)，即0，此時由0 可以求出參數(shù)的值，然后再將參數(shù)的值帶入方程，求出相應(yīng)的根，檢驗根是否在給定的區(qū)間內(nèi)，如若不在，舍去相應(yīng)的參數(shù)。如方程x24mx 2m 60有且一根在區(qū)間3, 0 內(nèi) ， 求 m 的 取 值 范 圍

5、。 分 析 ： 由 f3 f 00即14m15 m30 得出3 m15；由0 即 16m24 2m60 得出 m1 或 m3，當(dāng)14332m1時，根 x23,0 ，即 m1滿足題意；當(dāng)m33,0 ，故 m時，根 x不滿足題意；1522綜上分析，得出3m1或 m14函數(shù)與方程思想：若 y = f ( x) 與 x 軸有交點 x0f ( x0 )=0若 y = f ( x )與 y = g ( x )有交點 ( x0 ， y0 )f ( x)= g( x) 有解 x0 。根的分布練習(xí)題例 1、已知二次方程2m1 x22mxm10 有一正根和一負(fù)根，求實數(shù)m 的取值范圍。精品資料歡迎下載解：由2m

6、1 f0 0即2m 1 m 1 0m 1 即為所求的范圍。，從而得12例 2、已知二次函數(shù)2y m 2 x 2m 4 x 3m 3與 x 軸有兩個交點，一個大于1，一個小于1，求實數(shù)m 的取值范圍。解：由 m 2f 10 即m22m 1 02m1即為所求的范圍。2例 3、已知二次方程mx22m3 x40 只有一個正根且這個根小于1，求實數(shù) m 的取值范圍。解：由題意有方程在區(qū)間0,1上只有一個正根，則f 0 f 104 3m 1 0m1即為所3求范圍。（注：本題對于可能出現(xiàn)的特殊情況方程有且只有一根且這個根在0,1 內(nèi)，由0 計算檢驗，均不復(fù)合題例 4. 已知關(guān)于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0.(1)若方程有兩根，其中一根在區(qū)間( 1， 0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1， 2)內(nèi)，求 m 的范圍 .(2)若方程兩根均在區(qū)間(0， 1)內(nèi)，求 m 的范圍1.若方程 4x( m3)2xm0 有兩個不相同的實根，求m 的取值范圍。2.已知函數(shù)y4xm 2x1有且只有一個零點，求m 的取值范圍，并求出該零點3.關(guān)于 x 的一元二次方程x2 2axa20 ，當(dāng) a 為何實數(shù)時：（ 1）不同兩根