3.4基本不等式第一課時(shí)ppt課件

1、（第一課時(shí)）1;.2 這是這是2002年在北京召開(kāi)的第年在北京召開(kāi)的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)會(huì)標(biāo)根據(jù)中國(guó)古代數(shù)屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)會(huì)標(biāo)根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去象一個(gè)風(fēng)車(chē)，代表中國(guó)人民熱情好學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去象一個(gè)風(fēng)車(chē)，代表中國(guó)人民熱情好客?？?。3思考：這會(huì)標(biāo)中含有怎樣的幾何思考：這會(huì)標(biāo)中含有怎樣的幾何圖形？圖形？思考：你能否在這個(gè)圖案中找出一思考：你能否在這個(gè)圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系？些相等關(guān)系或不等關(guān)系？4ab22ba 22ba 1、正方形、正方形ABCD的的面積面積S=、四個(gè)直角三角形的、四個(gè)直角三角形的面積和面積和S =

2、=ab2、S與與S有什么有什么樣的不等關(guān)系？樣的不等關(guān)系？ 探究：探究：S S問(wèn)：那么它們有相等的情況嗎？問(wèn)：那么它們有相等的情況嗎？56ADBCEFGHba22ab： 一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b，我們有，我們有當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立。時(shí)，等號(hào)成立。222ababABCDE(FGH)ab7思考：你能給出不等式思考：你能給出不等式 的證明嗎？的證明嗎？abba2220)(2ba0)(2ba2()0ab所以222.abab所以時(shí)當(dāng)ba 時(shí)當(dāng)ba 222abab證明：（作差法）證明：（作差法） 2)(ba8結(jié)論：結(jié)論：一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b，總

3、有，總有 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立時(shí)，等號(hào)成立222abab文字?jǐn)⑹鰹槲淖謹(jǐn)⑹鰹? : 兩數(shù)的平方和不小于它們積的兩數(shù)的平方和不小于它們積的2 2倍倍. . 適用范圍：適用范圍：a,bR0,0, ,ababa b如果我們用分別代替可得到什么結(jié)論？90,0, ,ababa b如果我們用分別代替可得到什么結(jié)論？22()()2abab2abab替換后得到：替換后得到： 即：即：)0, 0(ba2abab 即：即：你能用不等式的性質(zhì)直接推導(dǎo)這個(gè)不等式嗎？你能用不等式的性質(zhì)直接推導(dǎo)這個(gè)不等式嗎？102abab證明：要證證明：要證 只要證只要證_ab 要證，只要證要證，只要證_0ab要證，只要證

4、要證，只要證2(_)0顯然顯然, 是成立的是成立的.當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)時(shí), 中的等號(hào)成立中的等號(hào)成立. 分析法分析法22(0,0,() ,() )abaabb2abab)0, 0(ba證明不等式：證明不等式：2 ab2 abba11特別地，若特別地，若a0，b0，則，則_2abab通常我們把上式寫(xiě)作：通常我們把上式寫(xiě)作：(0,0)2ababab當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，這個(gè)不等式就叫做基本不等式時(shí)取等號(hào)，這個(gè)不等式就叫做基本不等式.基本不等式基本不等式在數(shù)學(xué)中，我們把在數(shù)學(xué)中，我們把 叫做正數(shù)叫做正數(shù)a，b的的， 叫做正數(shù)叫做正數(shù)a，b的的；2abab文字?jǐn)⑹鰹椋何淖謹(jǐn)⑹鰹椋簝蓚€(gè)兩

5、個(gè)數(shù)的數(shù)的算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)它們的它們的幾何平均數(shù)幾何平均數(shù).適用范圍：適用范圍：a0,b012你能用這個(gè)圖得出基本不等式的幾何解釋嗎你能用這個(gè)圖得出基本不等式的幾何解釋嗎? ?RtACDRtDCB，BCDC所以DCAC2DCBC ACab所以ABCDEabO如圖如圖, AB是圓的直徑是圓的直徑, O為圓心，點(diǎn)為圓心，點(diǎn)C是是AB上一點(diǎn)上一點(diǎn), AC=a, BC=b. 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)C作垂直于作垂直于AB的弦的弦DE,連接連接AD、BD、OD.如何用如何用a, b表示表示CD? CD=_如何用如何用a, b表示表示OD? OD=_2abab13你能用這個(gè)圖得出基本不等式的幾何解釋嗎你能用這個(gè)圖得出

6、基本不等式的幾何解釋嗎? ?如何用如何用a, b表示表示CD? CD=_如何用如何用a, b表示表示OD? OD=_2ababOD與與CD的大小關(guān)系怎樣的大小關(guān)系怎樣? OD_CD如圖如圖, AB是圓的直徑是圓的直徑, O為圓心，點(diǎn)為圓心，點(diǎn)C是是AB上一點(diǎn)上一點(diǎn), AC=a, BC=b. 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)C作垂直于作垂直于AB的弦的弦DE,連接連接AD、BD、OD.2abab幾何意義：半徑不小于弦長(zhǎng)的一半幾何意義：半徑不小于弦長(zhǎng)的一半ADBEOCab14重要不等式基本不等式（均值不等式）適用范圍文字?jǐn)⑹觥?”成立條件222abab2ababa=ba=b兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平

7、均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)幾何平均數(shù)兩數(shù)的平方和不小于它們兩數(shù)的平方和不小于它們積的積的2 2倍倍 a,bRa0,b0填表比較：填表比較：注意從不同角度認(rèn)識(shí)基本不等式注意從不同角度認(rèn)識(shí)基本不等式15 例例1：(1)如圖如圖,用籬笆圍成一個(gè)面積為用籬笆圍成一個(gè)面積為100m2的矩形菜園的矩形菜園,問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？多少時(shí)，所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？解：如圖設(shè)解：如圖設(shè)BC=x ，CD=y ， 則則xy=100，籬笆的長(zhǎng)為，籬笆的長(zhǎng)為2(x+y)m. 2xyxy2 10020,xy 2()40 xy當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，時(shí)，等

8、號(hào)等號(hào)成立成立因此，這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬都為因此，這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬都為10m時(shí)，所用的籬笆最短，最短的籬笆是時(shí)，所用的籬笆最短，最短的籬笆是40m. xy此時(shí)此時(shí)x=y=10. x=yABDC1001010 xyxxyy解，可得若若x、y皆為正數(shù)，皆為正數(shù)，則當(dāng)則當(dāng)xy的值是常數(shù)的值是常數(shù)P時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，時(shí)，x+y有最小值有最小值_.2 P22xyxyP16例例1：(2)如圖，用一段長(zhǎng)為如圖，用一段長(zhǎng)為36m的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，問(wèn)這個(gè)矩形菜園的的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，問(wèn)這個(gè)矩形菜園的長(zhǎng)和寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是多少？長(zhǎng)和寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大，最大面積

9、是多少？解：如圖，設(shè)解：如圖，設(shè)BC=x ，CD=y ， 則則 2(x + y)= 36 , x + y =18矩形菜園的面積為矩形菜園的面積為xy m22xyxy得得 xy 81當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，等號(hào)成立時(shí)，等號(hào)成立 因此，這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬都為因此，這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬都為9m時(shí)，時(shí)， 菜園面積最大，最大面積是菜園面積最大，最大面積是81m21892即即x=y=9xyABDC若若x、y皆為正數(shù)，皆為正數(shù)，則當(dāng)則當(dāng)x+y的值是常數(shù)的值是常數(shù)S時(shí)，時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，時(shí)，xy有最大值有最大值_；214S21422xySxyxyS 17各項(xiàng)皆為正數(shù)；各項(xiàng)皆為正數(shù)；和或積為定值；和或積

10、為定值；注意等號(hào)成立的條件注意等號(hào)成立的條件.一一“正正”二二“定定”三三“相等相等”利用基本不等式求最值時(shí)，要注意利用基本不等式求最值時(shí)，要注意已知已知 x, y 都是正數(shù)都是正數(shù), P, S 是常數(shù)是常數(shù).(1) xy=P x+y2 P( (當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) x=y 時(shí)時(shí), 取取“=”號(hào)號(hào)) ).(2) x+y=S xy S2( (當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) x=y 時(shí)時(shí), 取取“=”號(hào)號(hào)) ).14“和定積最大，積定和最小”18變式變式：如圖，用一段長(zhǎng)為如圖，用一段長(zhǎng)為24m 的籬笆圍一個(gè)一邊靠墻的矩形花園，問(wèn)這個(gè)矩形的籬笆圍一個(gè)一邊靠墻的矩形花園，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，花園的面積最大，最

11、大面積是多少？的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，花園的面積最大，最大面積是多少？解：如圖，設(shè)解：如圖，設(shè)BC=x ，CD=y ， 則籬笆的長(zhǎng)為則籬笆的長(zhǎng)為矩形花園的面積為矩形花園的面積為xy m2xyABDC22xy得得 1442xy 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立時(shí)，等號(hào)成立因此，這個(gè)矩形的長(zhǎng)為因此，這個(gè)矩形的長(zhǎng)為12m、寬為、寬為6m時(shí)，時(shí)，花園面積最大，最大面積是花園面積最大，最大面積是72m2即即 xy 72即即x=12，y=6x +2y= 24 x=2y2422xy2xy2241226xyxxyy解，可得19變式變式：如圖，用一段長(zhǎng)為如圖，用一段長(zhǎng)為24m 的籬笆圍一個(gè)一邊靠墻的矩形花園，問(wèn)這個(gè)矩

12、形的籬笆圍一個(gè)一邊靠墻的矩形花園，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，花園的面積最大，最大面積是多少？的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，花園的面積最大，最大面積是多少？解：如圖，設(shè)解：如圖，設(shè)BC=x ，CD=y ， 則籬笆的長(zhǎng)為則籬笆的長(zhǎng)為矩形花園的面積為矩形花園的面積為xy m22xyxyxyABDCx + y不是不是 定值定值.2=24為為 222xyxy得得 2xy 144當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立時(shí)，等號(hào)成立因此，這個(gè)矩形的長(zhǎng)為因此，這個(gè)矩形的長(zhǎng)為12m、寬為、寬為6m時(shí)，時(shí)，花園面積最大，最大面積是花園面積最大，最大面積是72m224122即即 xy 72即即x=12，y=6x +2y= 24 x

13、=2y2241226xyxxyy解，可得20變式變式：如圖，用一段長(zhǎng)為如圖，用一段長(zhǎng)為24m 的籬笆圍一個(gè)一邊靠墻的矩形花園，問(wèn)這個(gè)矩形的籬笆圍一個(gè)一邊靠墻的矩形花園，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，花園的面積最大，最大面積是多少？的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，花園的面積最大，最大面積是多少？分析：設(shè)分析：設(shè)AB=x ，BC=242x ， x242xABDC21變式變式：如圖，用一段長(zhǎng)為如圖，用一段長(zhǎng)為24m 的籬笆圍一個(gè)一邊靠墻的矩形花園，問(wèn)這個(gè)矩形的籬笆圍一個(gè)一邊靠墻的矩形花園，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，花園的面積最大，最大面積是多少？的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，花園的面積最大，最大面積是多少？解：設(shè)解：

14、設(shè)AB=x ，BC=242x ， 矩形花園的面積為矩形花園的面積為x(242x) m21(242 )2 (242 )2xxxx212242()7222xx當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)2x=242x,即即x=6時(shí)，等號(hào)成立時(shí)，等號(hào)成立因此，這個(gè)矩形的長(zhǎng)為因此，這個(gè)矩形的長(zhǎng)為12m、寬為、寬為6m時(shí)，時(shí)，花園面積最大，最大面積是花園面積最大，最大面積是72m2(其中其中2x+(24- -2x)=24 是定值是定值)AB242xDC22變式變式：如圖，用一段長(zhǎng)為如圖，用一段長(zhǎng)為24m 的籬笆圍一個(gè)一邊靠墻的矩形花園，問(wèn)這個(gè)矩形的籬笆圍一個(gè)一邊靠墻的矩形花園，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，花園的面積最大，最大面積

15、是多少？的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，花園的面積最大，最大面積是多少？解：設(shè)解：設(shè)AB=x ，BC=242x ， 矩形花園的面積為矩形花園的面積為x(242x) m2(242 )yxx令因此，這個(gè)矩形的長(zhǎng)為因此，這個(gè)矩形的長(zhǎng)為12m、寬為、寬為6m時(shí)，時(shí)，花園面積最大，最大面積是花園面積最大，最大面積是72m2當(dāng)當(dāng)x=6時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)y取得最小值為取得最小值為72222422(6)72yxxx 則(012)x23例：某工廠要建造一個(gè)長(zhǎng)方體形無(wú)蓋貯水池，其容積為例：某工廠要建造一個(gè)長(zhǎng)方體形無(wú)蓋貯水池，其容積為4800m3，深為，深為3m。如果池底每。如果池底每平方米的造價(jià)為平方米的造價(jià)為150元，池壁每

16、平方米的造價(jià)為元，池壁每平方米的造價(jià)為120元，怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低？元，怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低？最低總造價(jià)是多少？最低總造價(jià)是多少？3mxy分析：水池呈長(zhǎng)方體形，它的高是分析：水池呈長(zhǎng)方體形，它的高是3m，底面的長(zhǎng)，底面的長(zhǎng)與寬沒(méi)有確定。如果底面的長(zhǎng)與寬確定了，水池總與寬沒(méi)有確定。如果底面的長(zhǎng)與寬確定了，水池總造價(jià)也就確定了。因此應(yīng)當(dāng)考察底面的長(zhǎng)與寬取什造價(jià)也就確定了。因此應(yīng)當(dāng)考察底面的長(zhǎng)與寬取什么值時(shí)水池總造價(jià)最低。么值時(shí)水池總造價(jià)最低。24元。水池總造價(jià)為，寬為解：設(shè)底面的長(zhǎng)為zymxm,根據(jù)題意，得)3232(12034800150yxz)(720240000yx，可得由容積

17、為34800m160048003xyxy因此，由基本不等式與不等式的性質(zhì)，可得由基本不等式與不等式的性質(zhì)，可得xyyx2720240000)(7202400003mxy25即即時(shí)，等式成立，即當(dāng)4029760016002720240000yxyxzz所以，將水池的地面設(shè)計(jì)成邊長(zhǎng)為所以，將水池的地面設(shè)計(jì)成邊長(zhǎng)為40m的正方形時(shí)總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是的正方形時(shí)總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是297600元。元。26鞏固練習(xí)：鞏固練習(xí)：1、做一個(gè)體積為、做一個(gè)體積為32m3，高為，高為2m的長(zhǎng)方體紙盒，底面的長(zhǎng)與寬取什么值時(shí)用紙最少？的長(zhǎng)方體紙盒，底面的長(zhǎng)與寬取什么值時(shí)用紙最少？2、如圖，有一張單欄的豎向

18、張貼的海報(bào)，它的印刷面積為、如圖，有一張單欄的豎向張貼的海報(bào)，它的印刷面積為72dm2（圖中陰影部分），上、下空白各寬（圖中陰影部分），上、下空白各寬2dm，左右空白，左右空白各寬各寬1dm，則四周空白部分面積的最小值是，則四周空白部分面積的最小值是_dm2.1dm2dmmyx45627221R,2( ) ,a bababab那那么么當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), ,等等號(hào)號(hào)成成立立(2)( 0, 0)2abababab，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。小結(jié)：小結(jié)：求最值時(shí)注意把握求最值時(shí)注意把握 “一正，二定，三相等一正，二定，三相等”已知已知 x, y 都是正數(shù)都是正數(shù), P, S 是常數(shù)是常數(shù).(1) xy=P x+y2 P( (當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) x=y 時(shí)時(shí), 取取“=”號(hào)號(hào)) ).(2) x+y=S xy S2( (當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) x=y 時(shí)時(shí), 取