山西農(nóng)業(yè)大學文理學院物理系PPT演示課件

1、1山西農(nóng)業(yè)大學文理學院物理系山西農(nóng)業(yè)大學文理學院物理系武秀榮武秀榮 編編第二章第二章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動2第二章第二章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動基本要求：基本要求： 1掌握角位移、角速度、角加速度等概念的物理意義及角掌握角位移、角速度、角加速度等概念的物理意義及角量與線量關(guān)系；量與線量關(guān)系； 2掌握轉(zhuǎn)動定律，理解轉(zhuǎn)動慣量的物理意義；掌握轉(zhuǎn)動定律，理解轉(zhuǎn)動慣量的物理意義； 3掌握角動量，沖量矩的概念及角動量原理和角動量守恒掌握角動量，沖量矩的概念及角動量原理和角動量守恒定律；定律； 4理解力矩的功和轉(zhuǎn)動動能的概念，會用轉(zhuǎn)動動能定理理解力矩的功和轉(zhuǎn)動動能的概念，會用轉(zhuǎn)動動能定理（定軸）計算。（定軸）

2、計算。注：注：研究對象由質(zhì)點變?yōu)閯傮w，運動由平動研究對象由質(zhì)點變?yōu)閯傮w，運動由平動轉(zhuǎn)動，學習時轉(zhuǎn)動，學習時可用可用類比法類比法。3 特征：特征：質(zhì)點組（系統(tǒng)）內(nèi)任兩質(zhì)點間距離在運動中恒不變（剛體）質(zhì)點組（系統(tǒng)）內(nèi)任兩質(zhì)點間距離在運動中恒不變（剛體）, ,故故可在質(zhì)點力學（牛頓運動定律）的基礎(chǔ)上推出剛體轉(zhuǎn)動的規(guī)律?？稍谫|(zhì)點力學（牛頓運動定律）的基礎(chǔ)上推出剛體轉(zhuǎn)動的規(guī)律。一、基本概念一、基本概念 剛體：剛體：物體運動時，形狀大小不會改變的物體（受力、靜止、運動時）物體運動時，形狀大小不會改變的物體（受力、靜止、運動時） 研究內(nèi)容：研究內(nèi)容：物體（剛體）的轉(zhuǎn)動（略振動）物體（剛體）的轉(zhuǎn)動（略振動）

3、基本方法：基本方法：以質(zhì)點力學為基礎(chǔ)以質(zhì)點力學為基礎(chǔ), ,將剛體看成由無數(shù)個細微部分（質(zhì)點）將剛體看成由無數(shù)個細微部分（質(zhì)點）構(gòu)成的質(zhì)點組（系統(tǒng)）構(gòu)成的質(zhì)點組（系統(tǒng)） 21 剛體的平動和轉(zhuǎn)動（運動學）剛體的平動和轉(zhuǎn)動（運動學） 顯然剛體在平動時，在任意時間內(nèi)，顯然剛體在平動時，在任意時間內(nèi)，位移、速度、加速度對于位移、速度、加速度對于剛體上各點來剛體上各點來說都是相等的，故剛體可簡化為說都是相等的，故剛體可簡化為質(zhì)質(zhì)點。點。1 1定義：若連接剛體上任意兩點的直線在運動中恒不改變向。定義：若連接剛體上任意兩點的直線在運動中恒不改變向。 例：火車在直線軌道上行駛例：火車在直線軌道上行駛, ,升降機

4、運動均為平動。升降機運動均為平動。bcab剛體的平動過程剛體的平動過程一、剛體的平動一、剛體的平動第二章第二章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動4如電機的轉(zhuǎn)如電機的轉(zhuǎn)子，車輪、砂輪、子，車輪、砂輪、門、窗的轉(zhuǎn)動。門、窗的轉(zhuǎn)動。軸上點不動，其軸上點不動，其它點繞周做圓周它點繞周做圓周運動。運動。 二、剛體繞定軸轉(zhuǎn)動二、剛體繞定軸轉(zhuǎn)動 1 1定義：定義：剛體上各質(zhì)點在運動中都繞同一（不動）直線作圓周運動，這種運動稱剛體的轉(zhuǎn)動，這一直線稱為轉(zhuǎn)動，這一直線稱為剛體的剛體的轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸，如地球自轉(zhuǎn)。，如地球自轉(zhuǎn)。 若轉(zhuǎn)軸在所選參考系中位置、方若轉(zhuǎn)軸在所選參考系中位置、方向固定不變，稱為向固定不變，稱為定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動。

5、z1o2oaabb1r2r 5 2特征和描述方法特征和描述方法 特征：特征：剛體是作為一整體轉(zhuǎn)動的（除轉(zhuǎn)軸外），其剛體是作為一整體轉(zhuǎn)動的（除轉(zhuǎn)軸外），其上每一點的半徑在同一時間內(nèi)轉(zhuǎn)過同樣大的角度，故在上每一點的半徑在同一時間內(nèi)轉(zhuǎn)過同樣大的角度，故在剛體上任取一點剛體上任取一點p p，考慮，考慮p p對轉(zhuǎn)軸上對應(yīng)點的運動（圓周對轉(zhuǎn)軸上對應(yīng)點的運動（圓周運動）運動）, , 即可代表剛體的轉(zhuǎn)動規(guī)律。即可代表剛體的轉(zhuǎn)動規(guī)律。 描述：描述：在剛體上任取一質(zhì)點在剛體上任取一質(zhì)點p，過，過p點作一垂直于定軸點作一垂直于定軸的平面，稱為的平面，稱為轉(zhuǎn)動平面轉(zhuǎn)動平面，o為軸與平面交點，剛體轉(zhuǎn)動時，為軸與平面交點

6、，剛體轉(zhuǎn)動時，p點在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)繞點在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)繞o點作點作圓周運動，圓周運動，故用故用角量描述方便。角量描述方便。t內(nèi)：p 點具有、，其它各點都在各自轉(zhuǎn)動平面內(nèi)作圓周運動，且、 、與p點對應(yīng)的、相等（整體運動） z1o2oaabb1r2r xp 轉(zhuǎn)動平面轉(zhuǎn)軸 o p p點點在在t內(nèi)的內(nèi)的、即可代替剛體轉(zhuǎn)動即可代替剛體轉(zhuǎn)動的的、，這樣剛體的轉(zhuǎn)動就變成剛體上，這樣剛體的轉(zhuǎn)動就變成剛體上任一點任一點p p在其它的轉(zhuǎn)動平面內(nèi)繞軸的圓周運動了，在其它的轉(zhuǎn)動平面內(nèi)繞軸的圓周運動了，有關(guān)公式可利用有關(guān)公式可利用順時針為負。；正逆時角位置 針為 （從上下俯視）6z角位移,dtd角速度,dtd角加速度2222t

7、nntaaarrarar v注：注：剛體上各質(zhì)點的位移、速度，加速度不一定相等，（半徑不同）。剛體上各質(zhì)點的位移、速度，加速度不一定相等，（半徑不同）。則確定與剛體轉(zhuǎn)向按右螺旋定方向向線段長度按比例在轉(zhuǎn)軸上畫出有大小: (1)是該點的線速度vvr (2)方向矢積的方向，該點切線方向大?。簉r,:vvsin.相反與減速一致與加速方向 :;:(3)dtd3 3角速度矢量角速度矢量（為充分反映剛體轉(zhuǎn)動情況，常用矢量表示角速度（為充分反映剛體轉(zhuǎn)動情況，常用矢量表示角速度）o vrt020021tt)-(022027 例題例題1 1 一飛輪轉(zhuǎn)速一飛輪轉(zhuǎn)速n n =1500r/min=1500r/min，

8、受到制動后均勻地減速，經(jīng)，受到制動后均勻地減速，經(jīng)t t=50s=50s后靜止。后靜止。 （1 1）求角加速度）求角加速度 和飛輪從制動開始到靜止所轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)和飛輪從制動開始到靜止所轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)n n ； （2 2）求制動開始后）求制動開始后t t=25s =25s 時飛輪的加速度時飛輪的加速度 ； （3 3）設(shè)飛輪的半徑）設(shè)飛輪的半徑r r=1m=1m，求，求 在在t=25st=25s 時邊緣上一點的速度和加速度。時邊緣上一點的速度和加速度。解解三、舉例三、舉例 0oanaav （1 1）設(shè)初角度設(shè)初角度為為 0 0方向如圖所示，量值為方向如圖所示，量值為 0 0=2=21500/60=501

9、500/60=50 rad/srad/s，對于勻變速轉(zhuǎn)動，對于勻變速轉(zhuǎn)動，可以應(yīng)用以角量表示的運動方程，在可以應(yīng)用以角量表示的運動方程，在t t=50s =50s 時時刻刻 =0 =0 ，代入方程，代入方程 = = 0 0+t +t 得得2201435050sradsrad/./t 從開始制動到靜止，飛輪的角位移從開始制動到靜止，飛輪的角位移 及及轉(zhuǎn)數(shù)轉(zhuǎn)數(shù)n n 分別為分別為radatt125050215050212200轉(zhuǎn)625212502n8rad/srad/srad/s5782525500.t （2 2）t t=25s=25s時飛輪的角速度為時飛輪的角速度為 的方向與的方向與 0 0相同

10、相同 ；（3 3）t t=25s =25s 時飛輪邊緣上一點時飛輪邊緣上一點p p 的速度。的速度。rvm/ssinsin578900.rrrvv 的方向垂直于的方向垂直于 和和 構(gòu)成的平面，如圖所示相應(yīng)的切向構(gòu)成的平面，如圖所示相應(yīng)的切向加速度和向心加速度分別為加速度和向心加速度分別為vr2143m/s.ra由由 2m/s3210166.ranaaan22m/sm/s)(3223221016614310166.naaa 邊緣上該點的加速度邊緣上該點的加速度 , ,其中其中 的方向與的方向與 的方向相反，的方向相反， 的方的方向指向軸心，向指向軸心， 的大小為的大小為vanaaa 的方向幾乎和

11、的方向幾乎和 相同相同。ana 0oanaavp9例題例題2 2 一飛輪在時間一飛輪在時間t t內(nèi)轉(zhuǎn)過角度內(nèi)轉(zhuǎn)過角度 at+bt3-ct4 , ,式中式中a、b、c 都是常量。求它的都是常量。求它的角速度、角速度、角加速度。角加速度。解：解：飛輪上某點角位置可用飛輪上某點角位置可用 表示為表示為 at+btat+bt3 3-ct-ct4 4將此式對將此式對t t求導數(shù)，即得飛輪角速度的表達式為求導數(shù)，即得飛輪角速度的表達式為324343)(ctbtactbtatdtd角加速度是角速度角加速度是角速度對對t t的導數(shù)，因此得的導數(shù)，因此得23212643ctbtctbtadtddtd)(由此可見

12、飛輪作的是由此可見飛輪作的是變加速轉(zhuǎn)動變加速轉(zhuǎn)動。10amfi 開門窗的常識告訴我們，使剛體轉(zhuǎn)動，產(chǎn)生角加速度的大小，不僅與力開門窗的常識告訴我們，使剛體轉(zhuǎn)動，產(chǎn)生角加速度的大小，不僅與力有關(guān)，且與力的作用點有關(guān)，于是引入力矩概念。有關(guān)，且與力的作用點有關(guān)，于是引入力矩概念。二、定軸轉(zhuǎn)動動力學二、定軸轉(zhuǎn)動動力學一、剛體平動動力學剛體平動動力學（相當于一質(zhì)點，質(zhì)點質(zhì)量為剛體的質(zhì)量）。（相當于一質(zhì)點，質(zhì)點質(zhì)量為剛體的質(zhì)量）。22 22 剛剛 體體 動動 力學力學fo o 作用點矢徑為作用點矢徑為 。r )(:sin:定軸沿軸向矢積的方向方向大小定義frfrfrm,力矩單位：牛頓力矩單位：牛頓米（米

13、（nm）。，且且在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)在轉(zhuǎn)動平面內(nèi),f剛體受外力剛體受外力1.1. 力矩力矩( (對轉(zhuǎn)軸對轉(zhuǎn)軸) )mofrp*11討論：討論：（1 1）f外力不在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)時，可將外力不在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)時，可將分解為分解為、2f，使物體轉(zhuǎn)動，使物體轉(zhuǎn)動，1ff2f理解為在作用點轉(zhuǎn)動平面內(nèi)的分力理解為在作用點轉(zhuǎn)動平面內(nèi)的分力f2f（2 2）在定軸轉(zhuǎn)動中，當規(guī)定了轉(zhuǎn)動正方向時，就可用正、負表示力矩的）在定軸轉(zhuǎn)動中，當規(guī)定了轉(zhuǎn)動正方向時，就可用正、負表示力矩的方向，（沿軸線一維）。方向，（沿軸線一維）。 （3 3）有幾個外力同時作用在剛體上時，產(chǎn)生的力矩）有幾個外力同時作用在剛體上時，產(chǎn)生的力矩可等效為一個力矩

14、，這個力矩稱為合力矩。可等效為一個力矩，這個力矩稱為合力矩。即，即，iimm（平行四邊形法則）（平行四邊形法則）在定軸轉(zhuǎn)動中，規(guī)定正方向后，方向可用正、負在定軸轉(zhuǎn)動中，規(guī)定正方向后，方向可用正、負表示。故表示。故iimm 合力矩等于各個力矩的代數(shù)和。合力矩等于各個力矩的代數(shù)和。ofrf1f f2 2p12 2. 2. 剛體定軸轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動定律應(yīng)用牛頓第二定律，可得：應(yīng)用牛頓第二定律，可得：對剛體中任一質(zhì)量元對剛體中任一質(zhì)量元im- -外力外力if- -內(nèi)力內(nèi)力ifiiiimaffiiiiiiiirmamffsinsinoififiiimiro采用自然坐標系，上式切向分量式為：poifi

15、firii2sinsiniiiiiiiirmrfrfniiiniiiiniiiirmrfrf1211)(sinsin用用 乘以上式左右兩端：乘以上式左右兩端：ir 設(shè)剛體由設(shè)剛體由n n 個點構(gòu)成，對每個質(zhì)點可寫出上述類似個點構(gòu)成，對每個質(zhì)點可寫出上述類似方程，將方程，將n n 個方程左右相加，得：個方程左右相加，得：0sin1niiiirfniiiniiiirmrf121)(sin故故由于由于 上式左端為剛體所受外力的合外力矩，以上式左端為剛體所受外力的合外力矩，以m 表示；右端求和括號內(nèi)的表示；右端求和括號內(nèi)的量與轉(zhuǎn)動狀態(tài)無關(guān)，稱為剛體轉(zhuǎn)動慣量，以量與轉(zhuǎn)動狀態(tài)無關(guān)，稱為剛體轉(zhuǎn)動慣量，以j

16、j 表示。于是表示。于是tjjmdd13tjjmdd剛體定剛體定軸轉(zhuǎn)動軸轉(zhuǎn)動定律定律 與牛頓第二定律相比，與牛頓第二定律相比，j 與m相當，是描寫物體轉(zhuǎn)動慣性大小的物理量（對給定軸），稱做轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量j ，其大小與剛體的質(zhì)量、質(zhì)量分布、轉(zhuǎn)軸位置有關(guān)（見例題）。其計算表達式為ir為im到轉(zhuǎn)軸的距離，質(zhì)量連續(xù)分布時vvdvrdmrj22v質(zhì)量分布的區(qū)域，dv體積元， dv 處的密度。 單位：千克米2（kgm2）。nniimrmrmrmrj 22221212（質(zhì)量不連續(xù)分布）討論討論:都是對同一固定軸而言，單位采用si單位制.、jm (1)jm（合外力矩 ）一定，iimm (2）力矩的瞬時作用規(guī)

17、律，m、同時存在,同時消失，m 是使剛體轉(zhuǎn)動狀態(tài)變化的根源。（3）解題步驟：（與質(zhì)點動力學類同） a.確定對象選坐標； b. 分析受力和力矩；（正負、方向） c.運用定律列方程；（牛二律、轉(zhuǎn)動定律、角量與線量的關(guān)系） d.求解方程得結(jié)果。（單位統(tǒng)一）注意：質(zhì)點平動和轉(zhuǎn)動關(guān)系。注意：質(zhì)點平動和轉(zhuǎn)動關(guān)系。 轉(zhuǎn)動定律：剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時，剛體的剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時，剛體的角加速度和它所受的合外力矩成正比，角加速度和它所受的合外力矩成正比，和它的轉(zhuǎn)動慣量成反比。和它的轉(zhuǎn)動慣量成反比。14mrjjdd2dm質(zhì)元的質(zhì)量質(zhì)元的質(zhì)量r質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離質(zhì)量連續(xù)分布時質(zhì)量連續(xù)分布時3. 3. 轉(zhuǎn)動慣量的

18、計算轉(zhuǎn)動慣量的計算例題例題1 1 求質(zhì)量為求質(zhì)量為m、長、長為為 l 的均勻細棒對下面三種轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量：的均勻細棒對下面三種轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量： （1 1）轉(zhuǎn)軸通過棒的中心并和棒垂直；）轉(zhuǎn)軸通過棒的中心并和棒垂直； （2 2）轉(zhuǎn)軸通過棒的一端并和棒垂直）轉(zhuǎn)軸通過棒的一端并和棒垂直； （3 3）轉(zhuǎn)軸通過棒上距中心為轉(zhuǎn)軸通過棒上距中心為h h的一點并和棒垂直。的一點并和棒垂直。oxdxlabxdxlxxo 解解（1）如圖示，選坐標如圖示，選坐標ox,ox,在棒上離在棒上離軸軸x 處，取一質(zhì)元處，取一質(zhì)元d dm = = d dx；dj=x2dx；（ =m/ l） vmsmxmdddddd （線分布）

19、（線分布） （面分布）（面分布） （體分布）（體分布）選坐標取質(zhì)元選坐標取質(zhì)元; 分析質(zhì)元寫分析質(zhì)元寫dj;積分積分dj算結(jié)果。算結(jié)果。232222012112ddmllxxmrjll/（2 2）轉(zhuǎn)軸通過棒的一端）轉(zhuǎn)軸通過棒的一端a a和棒垂直時，和棒垂直時，2302313mlldxxjlaa（3 3）轉(zhuǎn)軸過棒上距中心為）轉(zhuǎn)軸過棒上距中心為h 的點和棒垂直時，的點和棒垂直時，22222121dmhmlxxjhlhl/2mhjjc平行軸定理平行軸定理odxhlxxo15上述例題表明，上述例題表明，同一剛體轉(zhuǎn)動慣量與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)。同一剛體轉(zhuǎn)動慣量與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)。 例題例題2 2 求質(zhì)量為求質(zhì)量

20、為m，密度均勻，密度均勻, ,半徑為半徑為r 的細圓環(huán)和圓盤對于通過中心的細圓環(huán)和圓盤對于通過中心并與盤面垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。并與盤面垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。 (2) (2)設(shè)圓盤的質(zhì)量面密度為設(shè)圓盤的質(zhì)量面密度為 ，在圓盤上取，在圓盤上取一一半徑為半徑為r r、寬度為、寬度為drdr的環(huán)帶（如圖），環(huán)的的環(huán)帶（如圖），環(huán)的面積面積ds=2ds=2 rdrrdr，環(huán)的質(zhì)量，環(huán)的質(zhì)量d dm = = 2 2 rdr rdr 。可得?？傻?40322122mrrdrrdmrjrroro 解解 (1)細圓環(huán)上任意處到中心轉(zhuǎn)的距離細圓環(huán)上任意處到中心轉(zhuǎn)的距離都等于都等于r,所以所以2022dmrdmrmrjmrdrror表明，表明，轉(zhuǎn)動慣量與質(zhì)量分布有關(guān)。轉(zhuǎn)動慣量與質(zhì)量分布有關(guān)。16 例題例題3 3 一輕繩跨過一定滑輪，滑輪視為圓盤，繩的兩端分別懸