山西農業(yè)大學文理學院物理系PPT演示課件

1、1山西農業(yè)大學文理學院物理系山西農業(yè)大學文理學院物理系武秀榮武秀榮 編編第二章第二章 剛體的轉動剛體的轉動2第二章第二章 剛體的轉動剛體的轉動基本要求：基本要求： 1掌握角位移、角速度、角加速度等概念的物理意義及角掌握角位移、角速度、角加速度等概念的物理意義及角量與線量關系；量與線量關系； 2掌握轉動定律，理解轉動慣量的物理意義；掌握轉動定律，理解轉動慣量的物理意義； 3掌握角動量，沖量矩的概念及角動量原理和角動量守恒掌握角動量，沖量矩的概念及角動量原理和角動量守恒定律；定律； 4理解力矩的功和轉動動能的概念，會用轉動動能定理理解力矩的功和轉動動能的概念，會用轉動動能定理（定軸）計算。（定軸）

2、計算。注：注：研究對象由質點變?yōu)閯傮w，運動由平動研究對象由質點變?yōu)閯傮w，運動由平動轉動，學習時轉動，學習時可用可用類比法類比法。3 特征：特征：質點組（系統）內任兩質點間距離在運動中恒不變（剛體）質點組（系統）內任兩質點間距離在運動中恒不變（剛體）, ,故故可在質點力學（牛頓運動定律）的基礎上推出剛體轉動的規(guī)律?？稍谫|點力學（牛頓運動定律）的基礎上推出剛體轉動的規(guī)律。一、基本概念一、基本概念 剛體：剛體：物體運動時，形狀大小不會改變的物體（受力、靜止、運動時）物體運動時，形狀大小不會改變的物體（受力、靜止、運動時） 研究內容：研究內容：物體（剛體）的轉動（略振動）物體（剛體）的轉動（略振動）

3、基本方法：基本方法：以質點力學為基礎以質點力學為基礎, ,將剛體看成由無數個細微部分（質點）將剛體看成由無數個細微部分（質點）構成的質點組（系統）構成的質點組（系統） 21 剛體的平動和轉動（運動學）剛體的平動和轉動（運動學） 顯然剛體在平動時，在任意時間內，顯然剛體在平動時，在任意時間內，位移、速度、加速度對于位移、速度、加速度對于剛體上各點來剛體上各點來說都是相等的，故剛體可簡化為說都是相等的，故剛體可簡化為質質點。點。1 1定義：若連接剛體上任意兩點的直線在運動中恒不改變向。定義：若連接剛體上任意兩點的直線在運動中恒不改變向。 例：火車在直線軌道上行駛例：火車在直線軌道上行駛, ,升降機

4、運動均為平動。升降機運動均為平動。bcab剛體的平動過程剛體的平動過程一、剛體的平動一、剛體的平動第二章第二章 剛體的轉動剛體的轉動4如電機的轉如電機的轉子，車輪、砂輪、子，車輪、砂輪、門、窗的轉動。門、窗的轉動。軸上點不動，其軸上點不動，其它點繞周做圓周它點繞周做圓周運動。運動。 二、剛體繞定軸轉動二、剛體繞定軸轉動 1 1定義：定義：剛體上各質點在運動中都繞同一（不動）直線作圓周運動，這種運動稱剛體的轉動，這一直線稱為轉動，這一直線稱為剛體的剛體的轉軸轉軸，如地球自轉。，如地球自轉。 若轉軸在所選參考系中位置、方若轉軸在所選參考系中位置、方向固定不變，稱為向固定不變，稱為定軸轉動定軸轉動。

5、z1o2oaabb1r2r 5 2特征和描述方法特征和描述方法 特征：特征：剛體是作為一整體轉動的（除轉軸外），其剛體是作為一整體轉動的（除轉軸外），其上每一點的半徑在同一時間內轉過同樣大的角度，故在上每一點的半徑在同一時間內轉過同樣大的角度，故在剛體上任取一點剛體上任取一點p p，考慮，考慮p p對轉軸上對應點的運動（圓周對轉軸上對應點的運動（圓周運動）運動）, , 即可代表剛體的轉動規(guī)律。即可代表剛體的轉動規(guī)律。 描述：描述：在剛體上任取一質點在剛體上任取一質點p，過，過p點作一垂直于定軸點作一垂直于定軸的平面，稱為的平面，稱為轉動平面轉動平面，o為軸與平面交點，剛體轉動時，為軸與平面交點

6、，剛體轉動時，p點在轉動平面內繞點在轉動平面內繞o點作點作圓周運動，圓周運動，故用故用角量描述方便。角量描述方便。t內：p 點具有、，其它各點都在各自轉動平面內作圓周運動，且、 、與p點對應的、相等（整體運動） z1o2oaabb1r2r xp 轉動平面轉軸 o p p點點在在t內的內的、即可代替剛體轉動即可代替剛體轉動的的、，這樣剛體的轉動就變成剛體上，這樣剛體的轉動就變成剛體上任一點任一點p p在其它的轉動平面內繞軸的圓周運動了，在其它的轉動平面內繞軸的圓周運動了，有關公式可利用有關公式可利用順時針為負。；正逆時角位置 針為 （從上下俯視）6z角位移,dtd角速度,dtd角加速度2222t

7、nntaaarrarar v注：注：剛體上各質點的位移、速度，加速度不一定相等，（半徑不同）。剛體上各質點的位移、速度，加速度不一定相等，（半徑不同）。則確定與剛體轉向按右螺旋定方向向線段長度按比例在轉軸上畫出有大小: (1)是該點的線速度vvr (2)方向矢積的方向，該點切線方向大小：rr,:vvsin.相反與減速一致與加速方向 :;:(3)dtd3 3角速度矢量角速度矢量（為充分反映剛體轉動情況，常用矢量表示角速度（為充分反映剛體轉動情況，常用矢量表示角速度）o vrt020021tt)-(022027 例題例題1 1 一飛輪轉速一飛輪轉速n n =1500r/min=1500r/min，

8、受到制動后均勻地減速，經，受到制動后均勻地減速，經t t=50s=50s后靜止。后靜止。 （1 1）求角加速度）求角加速度 和飛輪從制動開始到靜止所轉過的轉數和飛輪從制動開始到靜止所轉過的轉數n n ； （2 2）求制動開始后）求制動開始后t t=25s =25s 時飛輪的加速度時飛輪的加速度 ； （3 3）設飛輪的半徑）設飛輪的半徑r r=1m=1m，求，求 在在t=25st=25s 時邊緣上一點的速度和加速度。時邊緣上一點的速度和加速度。解解三、舉例三、舉例 0oanaav （1 1）設初角度設初角度為為 0 0方向如圖所示，量值為方向如圖所示，量值為 0 0=2=21500/60=501

9、500/60=50 rad/srad/s，對于勻變速轉動，對于勻變速轉動，可以應用以角量表示的運動方程，在可以應用以角量表示的運動方程，在t t=50s =50s 時時刻刻 =0 =0 ，代入方程，代入方程 = = 0 0+t +t 得得2201435050sradsrad/./t 從開始制動到靜止，飛輪的角位移從開始制動到靜止，飛輪的角位移 及及轉數轉數n n 分別為分別為radatt125050215050212200轉625212502n8rad/srad/srad/s5782525500.t （2 2）t t=25s=25s時飛輪的角速度為時飛輪的角速度為 的方向與的方向與 0 0相同

10、相同 ；（3 3）t t=25s =25s 時飛輪邊緣上一點時飛輪邊緣上一點p p 的速度。的速度。rvm/ssinsin578900.rrrvv 的方向垂直于的方向垂直于 和和 構成的平面，如圖所示相應的切向構成的平面，如圖所示相應的切向加速度和向心加速度分別為加速度和向心加速度分別為vr2143m/s.ra由由 2m/s3210166.ranaaan22m/sm/s)(3223221016614310166.naaa 邊緣上該點的加速度邊緣上該點的加速度 , ,其中其中 的方向與的方向與 的方向相反，的方向相反， 的方的方向指向軸心，向指向軸心， 的大小為的大小為vanaaa 的方向幾乎和

11、的方向幾乎和 相同相同。ana 0oanaavp9例題例題2 2 一飛輪在時間一飛輪在時間t t內轉過角度內轉過角度 at+bt3-ct4 , ,式中式中a、b、c 都是常量。求它的都是常量。求它的角速度、角速度、角加速度。角加速度。解：解：飛輪上某點角位置可用飛輪上某點角位置可用 表示為表示為 at+btat+bt3 3-ct-ct4 4將此式對將此式對t t求導數，即得飛輪角速度的表達式為求導數，即得飛輪角速度的表達式為324343)(ctbtactbtatdtd角加速度是角速度角加速度是角速度對對t t的導數，因此得的導數，因此得23212643ctbtctbtadtddtd)(由此可見

12、飛輪作的是由此可見飛輪作的是變加速轉動變加速轉動。10amfi 開門窗的常識告訴我們，使剛體轉動，產生角加速度的大小，不僅與力開門窗的常識告訴我們，使剛體轉動，產生角加速度的大小，不僅與力有關，且與力的作用點有關，于是引入力矩概念。有關，且與力的作用點有關，于是引入力矩概念。二、定軸轉動動力學二、定軸轉動動力學一、剛體平動動力學剛體平動動力學（相當于一質點，質點質量為剛體的質量）。（相當于一質點，質點質量為剛體的質量）。22 22 剛剛 體體 動動 力學力學fo o 作用點矢徑為作用點矢徑為 。r )(:sin:定軸沿軸向矢積的方向方向大小定義frfrfrm,力矩單位：牛頓力矩單位：牛頓米（米

13、（nm）。，且且在轉動平面內在轉動平面內,f剛體受外力剛體受外力1.1. 力矩力矩( (對轉軸對轉軸) )mofrp*11討論：討論：（1 1）f外力不在轉動平面內時，可將外力不在轉動平面內時，可將分解為分解為、2f，使物體轉動，使物體轉動，1ff2f理解為在作用點轉動平面內的分力理解為在作用點轉動平面內的分力f2f（2 2）在定軸轉動中，當規(guī)定了轉動正方向時，就可用正、負表示力矩的）在定軸轉動中，當規(guī)定了轉動正方向時，就可用正、負表示力矩的方向，（沿軸線一維）。方向，（沿軸線一維）。 （3 3）有幾個外力同時作用在剛體上時，產生的力矩）有幾個外力同時作用在剛體上時，產生的力矩可等效為一個力矩

14、，這個力矩稱為合力矩。可等效為一個力矩，這個力矩稱為合力矩。即，即，iimm（平行四邊形法則）（平行四邊形法則）在定軸轉動中，規(guī)定正方向后，方向可用正、負在定軸轉動中，規(guī)定正方向后，方向可用正、負表示。故表示。故iimm 合力矩等于各個力矩的代數和。合力矩等于各個力矩的代數和。ofrf1f f2 2p12 2. 2. 剛體定軸轉動定律剛體定軸轉動定律應用牛頓第二定律，可得：應用牛頓第二定律，可得：對剛體中任一質量元對剛體中任一質量元im- -外力外力if- -內力內力ifiiiimaffiiiiiiiirmamffsinsinoififiiimiro采用自然坐標系，上式切向分量式為：poifi

15、firii2sinsiniiiiiiiirmrfrfniiiniiiiniiiirmrfrf1211)(sinsin用用 乘以上式左右兩端：乘以上式左右兩端：ir 設剛體由設剛體由n n 個點構成，對每個質點可寫出上述類似個點構成，對每個質點可寫出上述類似方程，將方程，將n n 個方程左右相加，得：個方程左右相加，得：0sin1niiiirfniiiniiiirmrf121)(sin故故由于由于 上式左端為剛體所受外力的合外力矩，以上式左端為剛體所受外力的合外力矩，以m 表示；右端求和括號內的表示；右端求和括號內的量與轉動狀態(tài)無關，稱為剛體轉動慣量，以量與轉動狀態(tài)無關，稱為剛體轉動慣量，以j

16、j 表示。于是表示。于是tjjmdd13tjjmdd剛體定剛體定軸轉動軸轉動定律定律 與牛頓第二定律相比，與牛頓第二定律相比，j 與m相當，是描寫物體轉動慣性大小的物理量（對給定軸），稱做轉動慣量轉動慣量j ，其大小與剛體的質量、質量分布、轉軸位置有關（見例題）。其計算表達式為ir為im到轉軸的距離，質量連續(xù)分布時vvdvrdmrj22v質量分布的區(qū)域，dv體積元， dv 處的密度。 單位：千克米2（kgm2）。nniimrmrmrmrj 22221212（質量不連續(xù)分布）討論討論:都是對同一固定軸而言，單位采用si單位制.、jm (1)jm（合外力矩 ）一定，iimm (2）力矩的瞬時作用規(guī)

17、律，m、同時存在,同時消失，m 是使剛體轉動狀態(tài)變化的根源。（3）解題步驟：（與質點動力學類同） a.確定對象選坐標； b. 分析受力和力矩；（正負、方向） c.運用定律列方程；（牛二律、轉動定律、角量與線量的關系） d.求解方程得結果。（單位統一）注意：質點平動和轉動關系。注意：質點平動和轉動關系。 轉動定律：剛體繞定軸轉動時，剛體的剛體繞定軸轉動時，剛體的角加速度和它所受的合外力矩成正比，角加速度和它所受的合外力矩成正比，和它的轉動慣量成反比。和它的轉動慣量成反比。14mrjjdd2dm質元的質量質元的質量r質元到轉軸的距離質元到轉軸的距離質量連續(xù)分布時質量連續(xù)分布時3. 3. 轉動慣量的

18、計算轉動慣量的計算例題例題1 1 求質量為求質量為m、長、長為為 l 的均勻細棒對下面三種轉軸的轉動慣量：的均勻細棒對下面三種轉軸的轉動慣量： （1 1）轉軸通過棒的中心并和棒垂直；）轉軸通過棒的中心并和棒垂直； （2 2）轉軸通過棒的一端并和棒垂直）轉軸通過棒的一端并和棒垂直； （3 3）轉軸通過棒上距中心為轉軸通過棒上距中心為h h的一點并和棒垂直。的一點并和棒垂直。oxdxlabxdxlxxo 解解（1）如圖示，選坐標如圖示，選坐標ox,ox,在棒上離在棒上離軸軸x 處，取一質元處，取一質元d dm = = d dx；dj=x2dx；（ =m/ l） vmsmxmdddddd （線分布）

19、（線分布） （面分布）（面分布） （體分布）（體分布）選坐標取質元選坐標取質元; 分析質元寫分析質元寫dj;積分積分dj算結果。算結果。232222012112ddmllxxmrjll/（2 2）轉軸通過棒的一端）轉軸通過棒的一端a a和棒垂直時，和棒垂直時，2302313mlldxxjlaa（3 3）轉軸過棒上距中心為）轉軸過棒上距中心為h 的點和棒垂直時，的點和棒垂直時，22222121dmhmlxxjhlhl/2mhjjc平行軸定理平行軸定理odxhlxxo15上述例題表明，上述例題表明，同一剛體轉動慣量與轉軸的位置有關。同一剛體轉動慣量與轉軸的位置有關。 例題例題2 2 求質量為求質量

20、為m，密度均勻，密度均勻, ,半徑為半徑為r 的細圓環(huán)和圓盤對于通過中心的細圓環(huán)和圓盤對于通過中心并與盤面垂直的轉軸的轉動慣量。并與盤面垂直的轉軸的轉動慣量。 (2) (2)設圓盤的質量面密度為設圓盤的質量面密度為 ，在圓盤上取，在圓盤上取一一半徑為半徑為r r、寬度為、寬度為drdr的環(huán)帶（如圖），環(huán)的的環(huán)帶（如圖），環(huán)的面積面積ds=2ds=2 rdrrdr，環(huán)的質量，環(huán)的質量d dm = = 2 2 rdr rdr ?？傻谩？傻?40322122mrrdrrdmrjrroro 解解 (1)細圓環(huán)上任意處到中心轉的距離細圓環(huán)上任意處到中心轉的距離都等于都等于r,所以所以2022dmrdmrmrjmrdrror表明，表明，轉動慣量與質量分布有關。轉動慣量與質量分布有關。16 例題例題3 3 一輕繩跨過一定滑輪，滑輪視為圓盤，繩的兩端分別懸