幾何畫板迭代全解

1、課件制作教程系列 幾何畫板迭代全解佛山市南海區(qū)石門中學(xué) 謝輔炬目 錄² 迭代的基本概念以及迭代的基本操作u 迭代的概念u 迭代在代數(shù)、幾何中的應(yīng)用u 畫正多邊形u 數(shù)列的圖像、前n項(xiàng)和與積² 迭代與分形幾何u sierpinski 三角形u sierpinski 地毯u 搖曳的pythagorean tree畢達(dá)哥拉斯樹u 分形樹u koch 曲線u koch snowflake柯克雪花u 數(shù)學(xué)之美u h迭代u 蜂巢u 其它分形欣賞² 函數(shù)迭代：函數(shù)映射，m集，朱麗亞集u 迭代法求方程解u mirau henon-attractor u mandelbrot集合u

2、 julia sets集合u 牛頓迭代法² 下期預(yù)告第一章：迭代的概念和操作迭代是幾何畫板中一個很有趣的功能，它相當(dāng)于程序設(shè)計(jì)的遞歸算法。通俗的講就是用自身的結(jié)構(gòu)來描述自身。最典型的例子就是對階乘運(yùn)算可看作一下的定義： 。遞歸算法的特點(diǎn)是書寫簡單，容易理解，但是運(yùn)算消耗內(nèi)存較大。我們先來了解下面這幾個最基本的概念。迭代：按一定的迭代規(guī)則，從原象到初象的反復(fù)映射過程。原象：產(chǎn)生迭代序列的初始對象，通常稱為“種子”。初象：原象經(jīng)過一系列變換操作而得到的象。與原象是相對概念。更具體一點(diǎn)，在代數(shù)學(xué)中，如計(jì)算數(shù)列1，3，5，7，9.的第n項(xiàng)。我們知道，所以迭代的規(guī)則就是后一項(xiàng)等于前一項(xiàng)加2。以

3、1作為原像，3作為初像，迭代一次后得到5，再迭代一次得到7，如此下去得到以下數(shù)值序列7 , 9，11, 13, 15.如圖1.1所示。圖 1.1圖 1.2在幾何學(xué)中，迭代使一組對象產(chǎn)生一組新的對象。圖1.2中a、b、c、d、e、f、g，各點(diǎn)相距1cm，那么怎么由a點(diǎn)和b點(diǎn)得到其它各點(diǎn)呢？我們可以發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律就是從左到右，每一個點(diǎn)相當(dāng)于前面一個點(diǎn)向右平移了1cm。所以我們以a點(diǎn)作為原像，b點(diǎn)作為初像，迭代一次得到b點(diǎn)，二次為c點(diǎn)，以此類推。所以，迭代像就是迭代操作產(chǎn)生的象的序列，而迭代深度是指迭代的次數(shù)。那么下面我們通過例子來進(jìn)一步地了解迭代以及相關(guān)的概念。幾何畫板中迭代的控制方式分為兩種，一

4、種是沒有參數(shù)的迭代，另一種是帶參數(shù)的迭代，我們稱為深度迭代。兩者沒有本質(zhì)的不同，但前者需要手動改變迭代的深度，后者可通過修改參數(shù)的值來改變迭代深度。我們先通過畫圓的正n邊形這個例子來看一下它們的區(qū)別?！纠?】畫圓的內(nèi)接正7邊形?！痉治觥坑烧?邊形的特征，我們知道，每一個點(diǎn)都相當(dāng)于前面的點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，抓住這個規(guī)律，我們可以用迭代功能來解決?！静襟E】1. 新建圓o，在圓o上任取一點(diǎn)a。2. 雙擊圓心o作為旋轉(zhuǎn)中心。選中a點(diǎn)，單擊菜單【變換】【縮放】，旋轉(zhuǎn)參數(shù)選為選擇固定角度，然后在框中輸入360/7，得到b點(diǎn)。連接線段ab。第 2 步第 3 步3. 選擇a點(diǎn)，單擊【變換】【迭代】，點(diǎn)擊b點(diǎn)作為初像

5、。屏幕上顯示出迭代的像是正7邊形的4條邊（因?yàn)橄到y(tǒng)默認(rèn)非深度迭代的迭代次數(shù)是3次）。4. 單擊迭代框的【顯示】按鈕，選擇【增加迭代】。（或者按鍵盤的或）。增加三次迭代后，我們可以看到一個完整的正7邊形。此時的迭代次數(shù)為6次，正7邊形制作完成。第 4 步第 5 步5. 單擊迭代框的【顯示】按鈕【最終迭代】，得到的圖像僅是最后一條邊。6. 點(diǎn)擊迭代框【結(jié)構(gòu)】按鈕，我們可以設(shè)置創(chuàng)建的對象，選擇“僅沒有點(diǎn)的對象”則迭代的像只有正多邊形的各條邊，而沒有頂點(diǎn)，反之則有。選擇迭代像，我們可以修改他們的屬性，比如顏色和粗細(xì)等，但是細(xì)心的你會發(fā)現(xiàn)，線段的迭代像是不能夠度量其長度的，當(dāng)然也就不能取中點(diǎn)之類的操作。

6、迭代的點(diǎn)是不能夠度量他們的橫縱坐標(biāo)，但是我們可以得到迭代的終點(diǎn)，方法是選擇迭代的點(diǎn)，然后單擊【變換】【終點(diǎn)】，可以發(fā)現(xiàn)最后的那個點(diǎn)變成實(shí)點(diǎn)了，這個功能在函數(shù)映射里面會用到。上述方法在增加后減少迭代次數(shù)時比較麻煩，而且迭代規(guī)則限定了，即每次都是旋轉(zhuǎn)同樣的角度。迭代次數(shù)和迭代規(guī)則能不能用帶參數(shù)來控制呢？可以的，這就是深度迭代?！纠?】畫圓的任意n邊形【步驟】1. 新建圓o并在圓上任取一點(diǎn)a。雙擊圓心o作為旋轉(zhuǎn)中心。2. 新建參數(shù)n7，計(jì)算,注意這時要帶單位度。3. 選擇a點(diǎn)，單擊菜單【變換】【旋轉(zhuǎn)】，出現(xiàn)旋轉(zhuǎn)對話框，單擊計(jì)算結(jié)果作為標(biāo)記角度，得到b點(diǎn)。連接線段ab。第 3 步第 4 步4. 順次選

7、擇點(diǎn)a和參數(shù)n，按住“shift”鍵不放，單擊【變換】【深度迭代i】，出現(xiàn)迭代對話框。單擊b點(diǎn)作為初像，屏幕上顯示出完整的正7邊形。按【迭代】完成操作。5. 如何改變參數(shù)n呢？有兩種方法，第一種是雙擊參數(shù)n，然后在對話框中輸入值。第二種是單擊參數(shù)n，按鍵盤的、，系統(tǒng)默認(rèn)變化量為1。右鍵單擊可以修改變化量的大小。注意：迭代時，作為迭代深度的參數(shù)n一定要在最后面選擇，這是系統(tǒng)的規(guī)定。上面講的都是迭代在幾何方面的應(yīng)用，下面我們來看看用迭代在畫數(shù)列圖像和數(shù)列求和方面的應(yīng)用?！纠?】求數(shù)列 (n=1,2.)的圖前8項(xiàng)，并在平面上畫出散點(diǎn)?！痉治觥坑蓴?shù)列的表達(dá)式可知，是直線y=1+0.5x上面的點(diǎn)。我們要

8、產(chǎn)生兩個數(shù)列，一個是作為橫坐標(biāo)的數(shù)列1，2，3.，一個是作為縱坐標(biāo)的滿足上述通項(xiàng)公式的數(shù)列。【步驟】1. 新建函數(shù)y=1+0.5x。2. 新建參數(shù)a=1,計(jì)算a+1,a+1-1,f(a),f(a+1)。（計(jì)算a+1-1是為了得到f(a)對應(yīng)的橫坐標(biāo)a。因?yàn)榈螖?shù)為0的時候，f(a)=1.5,a的值在迭代數(shù)據(jù)表中是不會顯示出來的。）3. 新建參數(shù)n7作為迭代深度。4. 選擇a和n，做深度迭代,原像是a,初像是a1。5. 右鍵點(diǎn)擊數(shù)據(jù)表，選擇繪制表中記錄，設(shè)置x列變量為(a+1)-1，y列為f(a)。坐標(biāo)系為直角坐標(biāo)系。第 5 步第 6 步6. 點(diǎn)擊繪圖，得到散點(diǎn)。這些點(diǎn)是可以度量的。但是當(dāng)參數(shù)

9、n改變的時候，這些點(diǎn)不與數(shù)據(jù)表同步，所以是不會改變的?！纠?】求數(shù)列1，3，5，7，9(n=1,2.)的前n項(xiàng)和?！痉治觥抗顬閐，假設(shè)前n項(xiàng)和為，在平面上描出（n, ）。【步驟】1. 新建參數(shù)x=1,計(jì)算x1。2. 新建參數(shù)a=1,d=2。分別表示數(shù)列首項(xiàng)和公差。3. 新建參數(shù)s=1,計(jì)算s+a+x*d4. 選擇x,x+1,s, s+a+x*d,和n做深度迭代。繪制數(shù)據(jù)表，x列為x1，y列為sa+x*d。第 4 步第 4 步與此同理那么等比數(shù)列的制作也是一樣的。下面我們來看看通項(xiàng)公式不知道的數(shù)列怎么畫出其圖像?！纠?】畫出菲波拉契數(shù)列。【分析】數(shù)列的前提條件是，因?yàn)?；所以原像是，初像是?！静?/p>

10、驟】1. 新建參數(shù)f1=0,f2=1,計(jì)算f1f2,把計(jì)算結(jié)果的標(biāo)簽改為f3。2. 新建參數(shù)a=1,計(jì)算a+1,。計(jì)算（a+1）+1(因?yàn)榈?次的時候f32，而，所以下標(biāo)應(yīng)該是3，而a=1,故計(jì)算a+1+1) 3. 新建參數(shù)n=84. 依次選擇f1,f2,a1,a1+1,n,做深度迭代。第 5 步第 6 步5. 繪制表中數(shù)據(jù)，x列為，y列為。6. 畫點(diǎn)（0,1）,(1,1)兩點(diǎn)，作為數(shù)列的前兩項(xiàng)。從圖像可以看出，數(shù)列前面增長的很緩慢，但是到了后面就非常的驚人了?！拘〗Y(jié)】在開始下一章“迭代與分行”之前，先復(fù)習(xí)一下深度迭代的過程是：1. 順次選擇原像和參數(shù)n。（注意順序）2. 按住shift不放

11、，單擊菜單【變換】【深度迭代】（出現(xiàn)對話框后可以松開shift鍵）。3. 依次選取初像。（注意順序）。添加映射的方法是按鍵盤ctrla。第二章：迭代與分形幾何分形的特點(diǎn)是，整體與部分之間存在某種自相似性，整體具有多種層次結(jié)構(gòu)。分形圖片具有無可爭議的美學(xué)感召力，特別是對于從事分形研究的科學(xué)家來說。欣賞分形之美當(dāng)然也要求具有一定的科學(xué)文化知識，但相對而言，分形美是通俗易懂的。分形就在我們身邊，我們身體中的血液循環(huán)管道系統(tǒng)、肺臟氣管分岔過程、大腦皮層、消化道 小腸絨毛等等都是分形，參天大樹、連綿的山脈、奔涌的河水、漂浮的云朵等等，也都是分 形。人們對這些東西太熟悉了，當(dāng)然熟悉不等于真正理解。分形的確

12、貼近人們的生活，因而由分形而來的分形藝術(shù)也并不遙遠(yuǎn)，普通人也能體驗(yàn)分形之美。因?yàn)榉中螏缀蔚牡脑褚话悴恢挂粋€，而且均為多映射迭代，為了敘述的方便，我們先作以下兩個約定。1. 用(a,b,c)表示有順序的兩點(diǎn)a、b和c。2. 表示a映射到d，b映射到d，c映射到f,然后添加映射a映射到g，b映射到h，c映射到i,如此類推?！緎ierpinski三角形】波蘭著名數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基在1915-1916年期間，為實(shí)變函數(shù)理論構(gòu)造了幾個典型的例子， 這些怪物常稱作“謝氏地毯”、“謝氏三角”、“謝氏海綿”、“謝氏墓垛”。如今，幾乎任何一本講分形的書都要提到這些例子。它們不但有趣，而且有助于形象地理解分形

13、。著名的sierpinski三角形，它是很有代表性的線性分形，具有嚴(yán)格的自相似特點(diǎn)。不斷連接等邊三角形的中點(diǎn)，挖去中間新的小三角形進(jìn)行分割-隨著分割不斷進(jìn)行sierpinski三角形總面積趨于零，總長度趨于無窮。sierpinski三角形在力學(xué)上也有實(shí)用價值，sierpinski三角形結(jié)構(gòu)節(jié)省材料，強(qiáng)度高，例如埃菲爾鐵塔的結(jié)構(gòu)與它就很相似?！静襟E】1. 在平面上任意畫一個三角形abc，取三邊中點(diǎn)為d、e、f，連接def。2. 新建參數(shù)n33. 順次選擇b,c,a三點(diǎn)和參數(shù)n，作深度迭代,。4. 添加新的映射, 。第 3 步第 4 步5. 繼續(xù)添加映射。6. 改變參數(shù)n可觀察圖形變化。第 5 步

14、第 6 步【sierpinski地毯】和sierpinski地毯相似，只是步驟多了一些。取正方形將其 9 等分，得到 9 個小正方形，舍去中央的小正方形，保留周圍 8 個小正方形。然后對每個小正方形再 9 等分，并同樣舍去中央正方形。按此規(guī)則不斷細(xì)分與舍去，直至無窮。謝爾賓斯基地毯的極限圖形面積趨于零，小正方形個數(shù)與其邊的線段數(shù)目趨于無窮多，它是一個線集，圖形具有嚴(yán)格的自相似性。【步驟】1. 平面上任取線段ab，以線段ab構(gòu)造正方形abcd。2. 以a為縮放中心，b、d縮放為1/3,得到e、f；以d為縮放中心，a、c縮放為1/3得到g、h。同理得到i、j、k、l。連接各點(diǎn)，將正方形九等分；3.

15、 并填充中間的正方形mnop，度量mnop的面積，選擇改度量結(jié)果和填充的正方形，單擊【顯示】【顏色】【參數(shù)】，單擊確定。則該mnop的顏色隨它的面積變化而變化。第 2 步第 3 步4. 新建參數(shù)n4，順次選擇a、b兩點(diǎn)和參數(shù)n，作深度迭代，（a，b）（g，p）；（p，o）；（o，j）；（f，m）；（m，n）；（n，k）；（a，e）；（e，l）；（l，b）。注意迭代中點(diǎn)的對應(yīng)，當(dāng)?shù)蛘谧D像的時候可用鼠標(biāo)選中拖動開。單擊迭代，隱藏不必要的點(diǎn)。如果我們制作任意三角形的sierpinski三角形和任意四邊形的sierpinski地毯（即三角形和四邊形的頂點(diǎn)都是自由點(diǎn)），然后按照多面體的側(cè)面數(shù)將他們

16、復(fù)制。利用畫板合并點(diǎn)的功能，將它們“粘貼”到三棱錐和正方體的各個側(cè)面上，（如下圖）可以制作空間的sierpinski三角形和地毯。是不是很漂亮呢？【搖曳的pythagorean tree(畢達(dá)哥拉斯樹)】畢達(dá)哥拉斯學(xué)派發(fā)現(xiàn)勾股定理(西方叫做畢達(dá)哥拉斯定理)聞名于世，又由此導(dǎo)致不可通約量的發(fā)現(xiàn)。1988年，勞威爾通過數(shù)值研究發(fā)現(xiàn)畢達(dá)哥拉斯樹花是一迭代函數(shù)系的j集?！静襟E】1. 在屏幕上以任取兩點(diǎn)a和b，作正方形abcd，以cd為直徑作圓o，取半圓弧，在該弧上任取一點(diǎn)e，連接ce，de。隱藏不必要的對象。2. 填充四邊形abcd，度量abcd的面積。選擇四邊形和度量結(jié)果，單擊【顯示】【顏色】【參數(shù)

17、】。則四邊形的顏色會隨它的面積變化而變化。3. 新建參數(shù)n4，選擇a、b和n，作深度迭代，。第2 步第 3 步4. 選擇e點(diǎn)，單擊【編輯】【操作類按鈕】【動畫】，e點(diǎn)變動，很漂亮的效果。當(dāng)e點(diǎn)在的中點(diǎn)時，整個樹顯出對稱美。【分形樹】【分析】和畢達(dá)哥拉斯樹類似，樹枝按一定的規(guī)律生長。【過程】1. 在垂直方向上畫線段ab，在ab左上區(qū)域任取一點(diǎn)c。 2. 度量cb，ba的長度，計(jì)算cb/ba；度量的大小。3. 雙擊c點(diǎn)作為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)角度為，旋轉(zhuǎn)b得到點(diǎn)e；繼續(xù)以cb/ba為縮放比例，e點(diǎn)縮為f點(diǎn)；雙擊線段cb作為標(biāo)記鏡面，得到f點(diǎn)關(guān)于線段cb的對稱點(diǎn)g。連接gc，fc。4. 雙擊線段ab作為標(biāo)

18、記鏡面，得到c、f、g關(guān)于線段ab的對稱點(diǎn)d、h、i，連接bd、hd、id。第 3 步第4 步5. 新建參數(shù)n=3。順次選擇a、b、c三點(diǎn)和參數(shù)n，作深度迭代，(a,b,c) (b,c,g),(b,c,f),(b,d,h),(b,d,i)。6. 移動c點(diǎn)的位置，改變樹枝的形狀?！緆och 曲線】瑞典數(shù)學(xué)家柯赫于1904年構(gòu)造了如今稱之為“柯赫曲線”(koch curve)的幾何對象，這一年 他一共發(fā)表了兩篇論文描述這種曲線，他畫出了此曲線的圖形，給出了生成步驟。它的構(gòu)造過程如下：取一條長度為l的直線段，與構(gòu)造三分康托爾點(diǎn)集那樣先將它三等分，然后保留兩側(cè)的兩段，將中間的一段改成夾角為的兩個等長的

19、直線，每段長度均為l/3，這是n=1的第一次操作。類似地，第二次操作是將上次所得的四段邊長為l/3的線段都進(jìn)行三等分，現(xiàn)在每段長度為l/9，并將它們中間的一段改成夾角為的兩個長度為l/9的直線。如果將上述操作一直進(jìn)行下去，最終得到一條具有自相似結(jié)構(gòu)的曲線，稱為三次科赫曲線。【步驟】1. 畫線段ab，以a為縮放中心，b縮短為1/3,得到c點(diǎn)；同理以b為縮放中心，a縮短為1/3，得到d點(diǎn)。以c點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，d點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)60度，得到e點(diǎn)。2. 隱藏線段ab，連接線段ac、ce、ed、db。3. 新建參數(shù)n3，順次選擇a、b兩點(diǎn)和n，作深度迭代。(a,b) (a,c),(c,e),(e,d),(d,

20、b)。（如下圖所示）4. 單擊迭代框的“顯示”按鈕，選擇“顯示最終迭代”。隱藏線段ac、ce、ed、db（如下圖所示）。5. 改變參數(shù)n，觀察圖形變化?！緆och雪花】因?yàn)樗崴蒲┗?，所以叫“雪花曲線”(snowflake curve)，也很像海岸線?？潞涨€的生成過程很簡單，以一個三角形作為源多邊形，即初始元，將三角形的每一邊做三等分，舍去中間的1/3，然后按科赫曲線的規(guī)則產(chǎn)生生成元。從源多邊形開始，第一步形成一個六角星形，第二步將六角星形的12條邊然后按科赫曲線的生成規(guī)則進(jìn)行同樣的操作得48條邊星形，如圖4-5，以后依此進(jìn)行同樣得操作，直至無窮，生成稱為科赫雪花的圖形。在極限的情況下，科赫

21、雪花的上的折線演變成為曲線。由于科赫曲線生成中的每一步操作都會使折線的長度增加，所以在極限的情況下，科赫雪花邊的總長度將趨于無窮。柯赫曲線是很復(fù)雜的，首先它有許多折點(diǎn)，到處都是“尖端”，用數(shù)學(xué)的語言講，曲線雖然 連續(xù)，但處處不可微，即沒有切線?！静襟E】1. 在平面上取ab做一個koch曲線，然后在a的左端任取一點(diǎn)g，在b的右邊任取一點(diǎn)f，分別在ag和bf上做koch雪花，注意三個迭代深度都必須為n。2. 以b點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，a順時針旋轉(zhuǎn)60度得到h點(diǎn)。選擇g，h兩點(diǎn)，單擊【編輯】【合并點(diǎn)】，則g點(diǎn)與h點(diǎn)合并。同理，再合并h、f兩點(diǎn)。koch雪花完成了?！緮?shù)學(xué)之美】【步驟】1. 任取兩點(diǎn)a、b，并

22、作正方形abcd。2. 在ab上任取一點(diǎn)e,連接be，度量線段be的長度并計(jì)算be/ab。3. 雙擊a點(diǎn)作為縮放中心，選擇d點(diǎn)，單擊【變換】【縮放】以計(jì)算結(jié)果ae/ab為比例縮放，得到點(diǎn)f；同理以d點(diǎn)為中心，縮放c點(diǎn)得到點(diǎn)g；以c點(diǎn)為縮放中心，縮放b點(diǎn)得到點(diǎn)h。連接正方形efgh。4. 新建參數(shù)n5，順次選擇a、b兩點(diǎn)，和參數(shù)n，按下shift鍵不放，作深度迭代， 。如下圖所示：5. 選擇e點(diǎn)，點(diǎn)擊【編輯】【操作類按鈕】【動畫】。e點(diǎn)變動，產(chǎn)生夢幻般的效果。【h迭代】【步驟】1. 在水平直線上取兩點(diǎn)a和b，連接ab。以a點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，b點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90度，得到c點(diǎn)，再取ac中點(diǎn)d。2. 以d為

23、旋轉(zhuǎn)中心，c點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90度得到e點(diǎn)，取de中點(diǎn)f。以d為旋轉(zhuǎn)中心，f點(diǎn)再旋轉(zhuǎn)180度得到g點(diǎn)。連接fg。3. 同理再畫出h、i兩點(diǎn)。以ab為標(biāo)記鏡面，得到f、g、h、i關(guān)于ab的對稱點(diǎn)j、k、l、m，連接線段jk，lm。（如下圖所示）4. 隱藏不必要的點(diǎn)，新建參數(shù)n4。順次選擇a、b兩點(diǎn)、參數(shù)n，作深度迭代，. 5. 單擊迭代，隱藏各點(diǎn)的標(biāo)簽。【蜂巢】蜜蜂地巢你觀察過沒有？是什么形狀呢？聰明的蜜蜂選擇了正六邊形，因?yàn)檫@樣可以填充整個空間，而且正六邊形是最省材料的一中結(jié)構(gòu)。從蜂巢中我們也可以發(fā)現(xiàn)許多自相似的結(jié)構(gòu)。由三條邊迭代就可以得到蜂巢了，不信？請看。【步驟】1. 屏幕上任取線段ab，以b

24、為旋轉(zhuǎn)中心，a點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)120度得到點(diǎn)c，a點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)120度得到點(diǎn)d。2. 新建參數(shù)n5。選擇a、b和參數(shù)n，作深度迭代，。3. 單擊迭代，得到蜂巢的圖像。上面的迭代只是分形幾何的一部分，由于篇幅所限，下面給出其余一些分形幾何的圖片，以供欣賞：第三章：函數(shù)迭代【多項(xiàng)式求根】【分析】多項(xiàng)式求根的迭代式是?！静襟E】1. 新建參數(shù)a=-0.1,b=-0.1,c=1,d=2,e=-1，n5。2. 新建函數(shù)，畫出它的圖像。3. 在圖像上任取一點(diǎn)a，度量a的橫坐標(biāo)。4. 計(jì)算；計(jì)算。5. 依次選擇，單擊【圖表】【繪制點(diǎn)】。得到點(diǎn)b。6. 度量b的橫坐標(biāo)。7. 選中點(diǎn)a，和參數(shù)n，按住shift鍵，單

25、擊【變換】菜單【深度迭代】，彈出迭代對話框，單擊點(diǎn)b。結(jié)果如圖1所示。圖 1圖 28. 選擇迭代像，單擊【變換】菜單【終點(diǎn)】，得到迭代的終點(diǎn)c，度量c點(diǎn)的橫坐標(biāo)。9. 觀察表格可知，顯示方程的一個近似根是0.42。10. 拖動a點(diǎn)，改變它的位置。觀察表格可知道方程的另外一個近似根是3.41。如圖2所示?！緈ira】【步驟】1. 在平面上取一點(diǎn)a，度量a的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)。2. 新建參數(shù)a0.4，b=0，99875。（b取得盡量接近1）3. 新建函數(shù)。4. 計(jì)算f()b,f(f()b)-。注意這里用的是函數(shù)嵌套。順次選擇這兩個結(jié)果，單擊【圖表】【繪制（x，y）】。得到點(diǎn)b。5. 順次選擇點(diǎn)b和三個

26、計(jì)算結(jié)果：f()b,f(f()b)-，。單擊菜單【顯示】【顏色】【參數(shù)】，單擊確定。發(fā)現(xiàn)b點(diǎn)的顏色變了，其實(shí)b點(diǎn)已經(jīng)隱藏起來，看到的是同一位置上的另外一個點(diǎn)b。6. 新建參數(shù)n1500，選擇a點(diǎn)和參數(shù)n作深度迭代。【henon map（埃農(nóng)映射）】【步驟】1. 在平面上取一點(diǎn)a，度量a的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)。2. 新建參數(shù)a=1.2,b=0.43. 計(jì)算。順次選擇這兩個計(jì)算結(jié)果，點(diǎn)擊【圖表】【繪制(x,y)】，得到點(diǎn)b。4. 選擇點(diǎn)b，并依次選擇和，單擊菜單【顯示】【顏色】【參數(shù)】，出現(xiàn)顏色參數(shù)對話框，單擊確定。得到點(diǎn)b。5. 新建參數(shù)n1500,選擇點(diǎn)a和參數(shù)n，作深度迭代，。因?yàn)閙集和朱麗亞集其

27、實(shí)是復(fù)數(shù)平面迭代，我們先來復(fù)習(xí)一下復(fù)平面的一些知識。若 zk= xk+ iyk , m = p+iq 則 xk1xk2yk2 p，yk12xkyk q，聰明的你應(yīng)該知道怎么表示復(fù)平面上的點(diǎn)的平方了吧。好了，那么什么是julia集和mandelbrot集合，他們之間的區(qū)別是什么呢？考慮 zk+1=zk2+m，給定復(fù)數(shù)初值z0,m ，得到無窮復(fù)數(shù)序列zkjulia集：固定m，jm =z0½序列zk有界mandelbrot集：固定z0，mzm ½序列zk有界【 mandelbrot 集合 】【步驟】1. 在平面上以原點(diǎn)為中心，建立一個矩形abcd作為觀察區(qū)域。2. 在線段ad上取

28、一點(diǎn)e，點(diǎn)擊【編輯】【操作類按鈕】【動畫】，使得e點(diǎn)能夠在ad上運(yùn)動。3. 作e點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)e ,然后連接ee 。在ee 上取一點(diǎn)g，度量。4. 在平面上取一點(diǎn)f，度量 。計(jì)算，順次選擇這兩個度量結(jié)果，單擊【圖表】【繪制（x ,y）】。得到點(diǎn)h。5. 新建參數(shù)n100，選擇點(diǎn)f和參數(shù)n，作深度迭代，。6. 選擇迭代像，單擊【變換】【終點(diǎn)】，得到迭代終點(diǎn)i。度量i的橫、縱坐標(biāo)，并計(jì)算，選擇這三個結(jié)果和點(diǎn)g（注意是點(diǎn)g），單擊【顯示】【顏色】【參數(shù)】，得到g。7. 選中g(shù)，單擊【作圖】【軌跡】。隱藏線段ee,選擇剛才的軌跡，按右鍵，單擊追蹤軌跡。8. 把f點(diǎn)移至原點(diǎn)。點(diǎn)擊動畫按鈕，則可以得到m集，適當(dāng)調(diào)整窗口大小。【julia sets朱麗亞集】 【步驟】1. 在平面上以原點(diǎn)為中心，建立一個矩形abcd作為觀察區(qū)