圓的專題講義

1、與圓有關的證明及計算1已知，如圖，直線mn交o于a，b兩點，ac是直徑，ad平分cam交o于d，過d作demn于e（1）求證：de是o的切線；（2）若de=6cm，ae=3cm，求o的半徑2如圖，在abc，ab=ac，以ab為直徑的o分別交ac、bc于點d、e，點f在ac的延長線上，且cbf=cab（1）求證：直線bf是o的切線；（2）若ab=5，sincbf=，求bc和bf的長3如圖，四邊形abcd內接于o，bd是o的直徑，aecd，垂足為e，da平分bde（1）求證：ae是o的切線；（2）若dbc=30°，de=1cm，求bd的長4如圖，已知abc內接于o，ac是o的直徑，d是的

2、中點，過點d作直線bc的垂線，分別交cb、ca的延長線e、f（1）求證：ef是o的切線；（2）若ef=8，ec=6，求o的半徑5如圖，ab是o的直徑，弦cdab與點e，點p在o上，1=c，（1）求證：cbpd；（2）若bc=3，sinp=，求o的直徑6如圖，直線ef交o于a、b兩點，ac是o直徑，de是o的切線，且deef，垂足為e（1）求證：ad平分cae；（2）若de=4cm，ae=2cm，求o的半徑7如圖，rtabc中，abc=90°，以ab為直徑作半圓o交ac與點d，點e為bc的中點，連接de（1）求證：de是半圓o的切線（2）若bac=30°，de=2，求ad的長

3、8如圖，在rtabc中，acb=90°，以ac為直徑作o交ab于點d點，連接cd（1）求證：a=bcd；（2）若m為線段bc上一點，試問當點m在什么位置時，直線dm與o相切？并說明理由9如圖，已知ab是o的直徑，點p在ba的延長線上，pd切o于點d，過點b作be垂直于pd，交pd的延長線于點c，連接ad并延長，交be于點e（1）求證：ab=be；（2）若pa=2，cosb=，求o半徑的長10如圖ab是o的直徑，pa，pc與o分別相切于點a，c，pc交ab的延長線于點d，depo交po的延長線于點e（1）求證：epd=edo；（2）若pc=6，tanpda=，求oe的長圓的動態(tài)探究題1

4、1如圖，o半徑為4cm，其內接正六邊形abcdef，點p，q同時分別從a，d兩點出發(fā)，以1cm/s速度沿af，dc向中點f，g運動連接pb，qe，設運動時間為t（s）（1）求證：四邊形peqb為平行四邊形；（2）填空：當t= s時，四邊形pbqe為菱形；當t= s時，四邊形pbqe為矩形12如圖，ab為o的直徑，點c為ab延長線上一點，動點p從點a出發(fā)沿ac方向以lcm/s的速度運動，同時動點q從點c出發(fā)以相同的速度沿ca方向運動，當兩點相遇時停止運動，過點p作ab的垂線，分別交o于點m和點n，已知o的半徑為l，設運動時間為t秒（1）若ac=5，則當t= 時，四邊形amqn為菱形；當t= 時，

5、nq與o相切；（2）當ac的長為多少時，存在t的值，使四邊形amqn為正方形？請說明理由，并求出此時t的值13如圖，在rtabc中，bac=90°，b=60°，以邊上ac上一點o為圓心，oa為半徑作o，o恰好經(jīng)過邊bc的中點d，并與邊ac相交于另一點f（1）求證：bd是o的切線；（2）若bc=2，e是半圓上一動點，連接ae、ad、de填空：當?shù)拈L度是 時，四邊形abde是菱形；當?shù)拈L度是 時，ade是直角三角形14如圖，點a，b，c分別是o上的點，且b=60°，cd是o的直徑，p是cd延長線上的一點，且ap=ac（1）求證：ap是o的切線；（2）若ac=3，填空：

6、當?shù)拈L為 時，以a，c，b，d為頂點的四邊形為矩形；當?shù)拈L為 時，abc的面積最大，最大面積為 15四邊形abcd的對角線交于點e，且ae=ec，be=ed，以ab為直徑的半圓過點e，圓心為o（1）利用圖1，求證：四邊形abcd是菱形（2）如圖2，若cd的延長線與半圓相切于點f，且直徑ab=8abd的面積為 的長 16在圓o中，ac是圓的弦，ab是圓的直徑，ab=6，abc=30°，過點c作圓的切線交ba的延長線于點p，連接bc（1）求證：pacpcb；（2）點q在半圓adb上運動，填空：當aq= 時，四邊形aqbc的面積最大；當aq= 時，abc與abq全等17如圖，ab是o的直徑

7、，點p是弦ac上一動點（不與a，c重合），過點p作peab，垂足為e，射線ep交于點f，交過點c的切線于點d（1）求證：dc=dp；（2）若直徑ab=12cm，cab=30°，當e是半徑oa中點時，切線長dc= cm：當ae= cm時，以a，o，c，f為頂點的四邊形是菱形18如圖，o的直徑ab=4，點c為o上的一個動點，連接oc，過點a作o的切線，與bc的延長線交于點d，點e為ad的中點，連接ce（1）求證：ce是o的切線；（2）填空：當ce= 時，四邊形aoce為正方形；當ce= 時，cde為等邊三角形19如圖，abc是半徑為2的o的內接三角形，連接oa、ob，點d、e、f、g分別

8、是ca、oa、ob、cb的中點（1）試判斷四邊形defg的形狀，并說明理由；（2）填空：若ab=3，當ca=cb時，四邊形defg的面積是 ；若ab=2，當cab的度數(shù)為 時，四邊形defg是正方形20如圖，在abc中，ab=ac，點o為邊ab的中點，odbc于點d，ambc于點m，以點o為圓心，線段od為半徑的圓與am相切于點n（1）求證：an=bd；（2）填空：點p是o上的一個動點，若ab=4，連結oc，則pc的最大值是 ；當bop= 時，以o，d，b，p為頂點四邊形是平行四邊形1已知，如圖，直線mn交o于a，b兩點，ac是直徑，ad平分cam交o于d，過d作demn于e（1）求證：de是

9、o的切線；（2）若de=6cm，ae=3cm，求o的半徑【解答】（1）證明：連接odoa=od，oad=odaoad=dae，oda=daedomndemn，ode=dem=90°即odded在o上，od為o的半徑，de是o的切線（2）解：aed=90°，de=6，ae=3，連接cdac是o的直徑，adc=aed=90°cad=dae，acdade則ac=15（cm）o的半徑是7.5cm2如圖，在abc，ab=ac，以ab為直徑的o分別交ac、bc于點d、e，點f在ac的延長線上，且cbf=cab（1）求證：直線bf是o的切線；（2）若ab=5，sincbf=，求

10、bc和bf的長【解答】（1）證明：連接ae，ab是o的直徑，aeb=90°，1+2=90°ab=ac，1=cabcbf=cab，1=cbfcbf+2=90°即abf=90°ab是o的直徑，直線bf是o的切線（2）解：過點c作cgab于gsincbf=，1=cbf，sin1=，在rtaeb中，aeb=90°，ab=5，be=absin1=，ab=ac，aeb=90°，bc=2be=2，在rtabe中，由勾股定理得ae=2，sin2=，cos2=，在rtcbg中，可求得gc=4，gb=2，ag=3，gcbf，agcabf，bf=3如圖，四

11、邊形abcd內接于o，bd是o的直徑，aecd，垂足為e，da平分bde（1）求證：ae是o的切線；（2）若dbc=30°，de=1cm，求bd的長【解答】（1）證明：連接oa，da平分bde，bda=edaoa=od，oda=oad，oad=eda，oaceaece，aeoaae是o的切線（2）解：bd是直徑，bcd=bad=90°dbc=30°，bdc=60°，bde=120°da平分bde，bda=eda=60°abd=ead=30°在rtaed中，aed=90°，ead=30°，ad=2de在rt

12、abd中，bad=90°，abd=30°，bd=2ad=4dede的長是1cm，bd的長是4cm4如圖，已知abc內接于o，ac是o的直徑，d是的中點，過點d作直線bc的垂線，分別交cb、ca的延長線e、f（1）求證：ef是o的切線；（2）若ef=8，ec=6，求o的半徑【解答】（1）證明：連接od交于ab于點gd是的中點，od為半徑，ag=bgao=oc，og是abc的中位線ogbc，即odce又ceef，odef，ef是o的切線（2）解：在rtcef中，ce=6，ef=8，cf=10設半徑oc=od=r，則of=10r，odce，fodfce，=，r=，即：o的半徑為5

13、如圖，ab是o的直徑，弦cdab與點e，點p在o上，1=c，（1）求證：cbpd；（2）若bc=3，sinp=，求o的直徑【解答】（1）證明：c=p又1=c1=pcbpd；（2）解：連接acab為o的直徑，acb=90°又cdab，=，p=cab，又sinp=，sincab=，即=，又知，bc=3，ab=5，直徑為56如圖，直線ef交o于a、b兩點，ac是o直徑，de是o的切線，且deef，垂足為e（1）求證：ad平分cae；（2）若de=4cm，ae=2cm，求o的半徑【解答】（1）證明：連接od，od=oa，oda=oad，de是o的切線，ode=90°，odde，又d

14、eef，odef，oda=dae，dae=oad，ad平分cae；（2）解：連接cd，ac是o直徑，adc=90°，在rtade中，de=4cm，ae=2cm，根據(jù)勾股定理得：ad=cm，由（1）知：dae=oad，aed=adc=90°，adcaed，即，ac=10，o的半徑是57如圖，rtabc中，abc=90°，以ab為直徑作半圓o交ac與點d，點e為bc的中點，連接de（1）求證：de是半圓o的切線（2）若bac=30°，de=2，求ad的長【解答】（1）證明：連接od，oe，bd，ab為圓o的直徑，adb=bdc=90°，在rtbdc

15、中，e為斜邊bc的中點，de=be，在obe和ode中，obeode（sss），ode=abc=90°，則de為圓o的切線；（2）在rtabc中，bac=30°，bc=ac，bc=2de=4，ac=8，又c=60°，de=ce，dec為等邊三角形，即dc=de=2，則ad=acdc=68如圖，在rtabc中，acb=90°，以ac為直徑作o交ab于點d點，連接cd（1）求證：a=bcd；（2）若m為線段bc上一點，試問當點m在什么位置時，直線dm與o相切？并說明理由【解答】（1）證明：ac為直徑，adc=90°，a+dca=90°，a

16、cb=90°，dcb+acd=90°，dcb=a；（2）當mc=md（或點m是bc的中點）時，直線dm與o相切；解：連接do，do=co，1=2，dm=cm，4=3，2+4=90°，1+3=90°，直線dm與o相切，故當mc=md（或點m是bc的中點）時，直線dm與o相切9如圖，已知ab是o的直徑，點p在ba的延長線上，pd切o于點d，過點b作be垂直于pd，交pd的延長線于點c，連接ad并延長，交be于點e（1）求證：ab=be；（2）若pa=2，cosb=，求o半徑的長【解答】（1）證明：連接od，pd切o于點d，odpd，bepc，odbe，ado

17、=e，oa=od，oad=ado，oad=e，ab=be；（2）解：由（1）知，odbe，pod=b，cospod=cosb=，在rtpod中，cospod=，od=oa，po=pa+oa=2+oa，oa=3，o半徑=310如圖ab是o的直徑，pa，pc與o分別相切于點a，c，pc交ab的延長線于點d，depo交po的延長線于點e（1）求證：epd=edo；（2）若pc=6，tanpda=，求oe的長【解答】（1）證明：pa，pc與o分別相切于點a，c，apo=epd且paao，pao=90°，aop=eod，pao=e=90°，apo=edo，epd=edo；（2）解：連

18、接oc，pa=pc=6，tanpda=，在rtpad中，ad=8，pd=10，cd=4，tanpda=，在rtocd中，oc=oa=3，od=5，epd=ode，depoed，=2，de=2oe在rtoed中，oe2+de2=od2，即5oe2=52，oe=11如圖，o半徑為4cm，其內接正六邊形abcdef，點p，q同時分別從a，d兩點出發(fā)，以1cm/s速度沿af，dc向中點f，g運動連接pb，qe，設運動時間為t（s）（1）求證：四邊形peqb為平行四邊形；（2）填空：當t=2s時，四邊形pbqe為菱形；當t=0或4s時，四邊形pbqe為矩形【解答】（1）證明：正六邊形abcdef內接于o

19、，ab=bc=cd=de=ef=fa，a=abc=c=d=deff，點p，q同時分別從a，d兩點出發(fā)，以1cm/s速度，運動時間為t（s），ap=dq=t，則pf=qc=4t，在abp和deq中abpdeq（sas）bp=eq，同理可證，pe=qb，四邊形peqb是平行四邊形（2）解：當四邊形pbqe為菱形時，pb=pe=eq=qb，abpdeqpfeqcb，ap=pf=dq=qc，即t=4t，得t=2，故答案為：2；當t=0時，epf=pef=30°，bpe=120°30°=90°，此時四邊形pbqe為矩形；當t=4時，abp=apb=30°

20、，bpe=120°30°=90°，此時四邊形pbqe為矩形故答案為：0或412如圖，ab為o的直徑，點c為ab延長線上一點，動點p從點a出發(fā)沿ac方向以lcm/s的速度運動，同時動點q從點c出發(fā)以相同的速度沿ca方向運動，當兩點相遇時停止運動，過點p作ab的垂線，分別交o于點m和點n，已知o的半徑為l，設運動時間為t秒（1）若ac=5，則當t=時，四邊形amqn為菱形；當t=時，nq與o相切；（2）當ac的長為多少時，存在t的值，使四邊形amqn為正方形？請說明理由，并求出此時t的值【解答】解：（1）ap=t，cq=t，則pq=52t，nmab，pm=pn，當pa

21、=pq時，四邊形amqn為菱形，即t=52t，解得t=；當onq=90°時，nq與o相切，如圖，op=t1，oq=acoaqc=51t=4t，nop=qon，rtonprtoqn，=，即=，整理得t25t+5=0，解得t1=，t2=（1t2.5，故舍去），即當t=時，nq與o相切；故答案為，；（2）當ac的長為3時，存在t=1，使四邊形amqn為正方形理由如下：四邊形amqn為正方形man=90°，mn為o的直徑，而mqn=90°，點q在o上，aq為直徑，點p在圓心，mn=aq=2，ap=1，t=ap=1，cq=t=1，ac=aq+cq=2+1=313如圖，在rt

22、abc中，bac=90°，b=60°，以邊上ac上一點o為圓心，oa為半徑作o，o恰好經(jīng)過邊bc的中點d，并與邊ac相交于另一點f（1）求證：bd是o的切線；（2）若bc=2，e是半圓上一動點，連接ae、ad、de填空：當?shù)拈L度是時，四邊形abde是菱形；當?shù)拈L度是或時，ade是直角三角形【解答】（1）證明：連接od，如圖，bac=90°，點d為bc的中點，db=da=dc，b=60°，abd為等邊三角形，dab=adb=60°，dac=c=30°，而oa=od，oda=oad=30°，odb=60°+30

23、6;=90°，odbc，bd是o的切線；（2）解：abd為等邊三角形，ab=bd=ad=cd=，在rtodc中，od=cd=1，當deab時，deac，ad=ae，ade=bad=60°，ade為等邊三角形，ad=ae=de，ade=60°，aoe=2ade=120°，ab=bd=de=ae，四邊形abde為菱形，此時的長度=；當ade=90°時，ae為直徑，點e與點f重合，此時的長度=；當dae=90°時，de為直徑，aoe=2ade=60°，此時的長度=，所以當?shù)拈L度為或時，ade是直角三角形故答案為；或14如圖，點a，

24、b，c分別是o上的點，且b=60°，cd是o的直徑，p是cd延長線上的一點，且ap=ac（1）求證：ap是o的切線；（2）若ac=3，填空：當?shù)拈L為時，以a，c，b，d為頂點的四邊形為矩形；當?shù)拈L為時，abc的面積最大，最大面積為【解答】（1）證明：連接oab=60°，aoc=2b=120°，又oa=oc，acp=cao=30°，aop=60°，ap=ac，p=acp=30°，oap=90°，oaap，ap是o的切線，（2）連接ad，adc=b=60°，cd是直徑，dac=90°，ac=3，ad=，cd=

25、2，oc=，當ab是直徑時，四邊形adbc是矩形，此時=b=60°，當ba=bc時，abc的面積最大，此時abc是等邊三角形，=，sabc=×32=15四邊形abcd的對角線交于點e，且ae=ec，be=ed，以ab為直徑的半圓過點e，圓心為o（1）利用圖1，求證：四邊形abcd是菱形（2）如圖2，若cd的延長線與半圓相切于點f，且直徑ab=8abd的面積為16的長【解答】解：（1）ae=ec，be=ed，四邊形abcd是平行四邊形ab為直徑，且過點e，aeb=90°，即acbd四邊形abcd是平行四邊形，四邊形abcd是菱形（2）連結ofcd的延長線與半圓相切于

26、點f，ofcffcab，of即為abd中ab邊上的高sabd=ab×of=×8×4=16，點o是ab中點，點e是bd的中點，sobe=sabd=4過點d作dhab于點habcd，ofcf，foab，f=fob=dho=90°四邊形ohdf為矩形，即dh=of=4在rtdah中，sindab=，dah=30°點o，e分別為ab，bd中點，oead，eob=dah=30°，的長度=故答案為：16，16在圓o中，ac是圓的弦，ab是圓的直徑，ab=6，abc=30°，過點c作圓的切線交ba的延長線于點p，連接bc（1）求證：pac

27、pcb；（2）點q在半圓adb上運動，填空：當aq=3時，四邊形aqbc的面積最大；當aq=3或3時，abc與abq全等【解答】（1）證明：如圖1所示，連接ocpc是圓o的切線，oc是半徑，ocpc，pco=90°pca+aco=90°，ab是直徑，acb=90°，b+cab=90°，oc=oa，oac=oca，b+oca=90°，pca=b，又p=p，pacpcb；（2）解：當點q運動到oqab時，四邊形aqbc的面積最大；如圖2所示：連接aq、bq，oa=ob，oqab，oq=bq，ab是直徑，aqb=90°，abq是等腰直角三角

28、形，aq=ab=3，故答案為：3；如圖3所示：acb=90°，abc=30°，ac=ab=3，bc=ac=3，分兩種情況：a當aq=ac=3時，在rtabc和rtabq中，abcabq（hl）；b當aq=bc=3時，同理abcbaq；綜上所述：當aq=3或3時，abc與abq全等17如圖，ab是o的直徑，點p是弦ac上一動點（不與a，c重合），過點p作peab，垂足為e，射線ep交于點f，交過點c的切線于點d（1）求證：dc=dp；（2）若直徑ab=12cm，cab=30°，當e是半徑oa中點時，切線長dc=4cm：當ae=3cm時，以a，o，c，f為頂點的四邊形

29、是菱形【解答】解：（1）連接occd是o的切線，ocd=90°，oa=oc，oac=oca，peab，pea=90°，oac+ape=90°，oca+pcd=90°，ape=pcd，ape=cpd，pcd=cpd，dc=dp（2）連接bc，ab是直徑，acb=90°a=30°，ab=12，ac=abcos30°=6，在rtape中，ae=oa=3，ap=ae÷cos30°=2，pc=acap=4，ape=dpc=60°，dp=dc，dpc是等邊三角形，dc=4，故答案為4當ae=eo時，四邊形a

30、ocf是菱形理由：連接af、ofae=eo，feoa，fa=fo=oa，afo是等邊三角形，fao=60°，cab=30°，fac=30°，foc=2fac=60°，foc是等邊三角形，cf=co=oa=af，四邊形aocf是菱形，ae=3cm時，四邊形aecf是菱形故答案為318如圖，o的直徑ab=4，點c為o上的一個動點，連接oc，過點a作o的切線，與bc的延長線交于點d，點e為ad的中點，連接ce（1）求證：ce是o的切線；（2）填空：當ce=2時，四邊形aoce為正方形；當ce=時，cde為等邊三角形【解答】（1）證明：連接ac、oe，如圖（1）

31、，ab為直徑，acb=90°，acd為直角三角形，又e為ad的中點，ea=ec，在oce和oae中，oceoae（sss），oce=oae=90°，ceoc，ce是o的切線；（2）解：c在線段bd的中點時，四邊形aoce為正方形理由如下：當c為邊bd的中點，而e為ad的中點，ce為bad的中位線，ceab，ce=ab=oa，四邊形oaec為平行四邊形，oae=90°，平行四邊形ocea是矩形，又oa=oc，矩形ocea是正方形，ce=oa=2，故答案為：2；連接ac，如圖（2），cde為等邊三角形，d=60°，abd=30°，ce=cd，在rtabc中，ac=ab=2，在rtacd中，tand=，cd=，ce=，故答案為：19如圖，abc是半徑為2的o的內接三