2022年中考數(shù)學(xué)沖刺壓軸題《因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的等腰三角形問(wèn)題》含答案

1、1.2因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的等腰三角形問(wèn)題例1如圖1，在ABC中，ACB90°，BAC60°，點(diǎn)E是BAC的平分線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作AE的垂線，過(guò)點(diǎn)A作AB的垂線，兩垂線交于點(diǎn)D，連接DB，點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，DHAC，垂足為H，連接EF，HF（1）如圖1，若點(diǎn)H是AC的中點(diǎn)，AC，求AB、BD的長(zhǎng)；（2）如圖1，求證：HFEF（3）如圖2，連接CF、CE，猜想：CEF是否是等邊三角形？若是，請(qǐng)證明；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由圖1 圖2例2如圖1，拋物線yax2bxc（a、b、c是常數(shù)，a0）的對(duì)稱軸為y軸，且經(jīng)過(guò)(0,0)和兩點(diǎn)，點(diǎn)P在該拋物線上運(yùn)動(dòng)，以點(diǎn)P為圓心的P總經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A(0, 2)（

2、1）求a、b、c的值；（2）求證：在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，P始終與x軸相交；（3）設(shè)P與x軸相交于M(x1, 0)、N(x2, 0)兩點(diǎn)，當(dāng)AMN為等腰三角形時(shí)，求圓心P的縱坐標(biāo)圖1例3如圖1，在RtABC中，A90°，AB6，AC8，點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，DEBC交邊AC于點(diǎn)E，點(diǎn)P為射線AB上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為邊AC上的一動(dòng)點(diǎn)，且PDQ90°（1）求ED、EC的長(zhǎng)；（2）若BP2，求CQ的長(zhǎng)；（3）記線段PQ與線段DE的交點(diǎn)為F，若PDF為等腰三角形，求BP的長(zhǎng)圖1 備用圖例4如圖1，拋物線yax2bxc經(jīng)過(guò)A(1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三點(diǎn)，直線l是拋物線的對(duì)稱

3、軸（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PAC的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在直線l上是否存在點(diǎn)M，使MAC為等腰三角形，若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由圖1 例5如圖1，點(diǎn)A在x軸上，OA4，將線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°至OB的位置（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求經(jīng)過(guò)A、O、B的拋物線的解析式；（3）在此拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、O、B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由圖1例6如圖1，已知一次函數(shù)yx7與正比例函數(shù) 的圖象交于點(diǎn)A，且與x軸交于點(diǎn)B（1）求點(diǎn)A和點(diǎn)B的

4、坐標(biāo)；（2）過(guò)點(diǎn)A作ACy軸于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)B作直線l/y軸動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度，沿OCA的路線向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；同時(shí)直線l從點(diǎn)B出發(fā)，以相同速度向左平移，在平移過(guò)程中，直線l交x軸于點(diǎn)R，交線段BA或線段AO于點(diǎn)Q當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)P和直線l都停止運(yùn)動(dòng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒當(dāng)t為何值時(shí)，以A、P、R為頂點(diǎn)的三角形的面積為8？是否存在以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 圖1 1.2因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的等腰三角形問(wèn)題答案例1如圖1，在ABC中，ACB90°，BAC60°，點(diǎn)E是BAC的平分線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作AE的

5、垂線，過(guò)點(diǎn)A作AB的垂線，兩垂線交于點(diǎn)D，連接DB，點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，DHAC，垂足為H，連接EF，HF（1）如圖1，若點(diǎn)H是AC的中點(diǎn)，AC，求AB、BD的長(zhǎng)；（2）如圖1，求證：HFEF（3）如圖2，連接CF、CE，猜想：CEF是否是等邊三角形？若是，請(qǐng)證明；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由圖1 圖2動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開(kāi)幾何畫板文件名“15重慶25”，拖動(dòng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，F(xiàn)AE與FDH保持全等，CMF與CAE保持全等，CEF保持等邊三角形的形狀思路點(diǎn)撥1把圖形中所有30°的角都標(biāo)注出來(lái)，便于尋找等角和等邊2中點(diǎn)F有哪些用處呢？聯(lián)想到斜邊上的中線和中位線就有思路構(gòu)造輔助線了滿分解答（1）如圖3，

6、在RtABC中，BAC60°，AC，所以AB在RtADH中，DAH30°，AH，所以DH1，AD2在RtADB中，AD2，AB，由勾股定理，得BD（2）如圖4，由DAB90°，BAC60°，AE平分BAC，得DAE60°，DAH30°在RtADE中，AE在RtADH中，DH所以AEDH因?yàn)辄c(diǎn)F是RtABD的斜邊上的中線，所以FAFD，F(xiàn)ADFDA所以FAEFDH所以FAEFDH所以EFHF圖3 圖4 圖5（3）如圖5，作FMAB于M，聯(lián)結(jié)CM由FM/DA，F(xiàn)是DB的中點(diǎn)，得M是AB的中點(diǎn)因此FM，ACM是等邊三角形又因?yàn)锳E，所以FM

7、EA又因?yàn)镃MCA，CMFCAE30°，所以CMFCAE所以MCFACE，CFCE所以ECFACM60°所以CEF是等邊三角形考點(diǎn)伸展我們?cè)倏磶讉€(gè)特殊位置時(shí)的效果圖，看看有沒(méi)有熟悉的感覺(jué)如圖6，如圖7，當(dāng)點(diǎn)F落在BC邊上時(shí)，點(diǎn)H與點(diǎn)C重合圖6 圖7如圖8，圖9，點(diǎn)E落在BC邊上如圖10，圖11，等腰梯形ABEC圖8 圖9 圖10 圖11例2如圖1，拋物線yax2bxc（a、b、c是常數(shù)，a0）的對(duì)稱軸為y軸，且經(jīng)過(guò)(0,0)和兩點(diǎn)，點(diǎn)P在該拋物線上運(yùn)動(dòng)，以點(diǎn)P為圓心的P總經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A(0, 2)（1）求a、b、c的值；（2）求證：在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，P始終與x軸相交；（3）設(shè)

8、P與x軸相交于M(x1, 0)、N(x2, 0)兩點(diǎn)，當(dāng)AMN為等腰三角形時(shí)，求圓心P的縱坐標(biāo)圖1動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開(kāi)幾何畫板文件名“14長(zhǎng)沙26”，拖動(dòng)圓心P在拋物線上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，圓與x軸總是相交的，等腰三角形AMN存在三種情況思路點(diǎn)撥1不算不知道，一算真奇妙，原來(lái)P在x軸上截得的弦長(zhǎng)MN4是定值2等腰三角形AMN存在三種情況，其中MAMN和NANM兩種情況時(shí)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是相等的滿分解答（1）已知拋物線的頂點(diǎn)為(0,0)，所以yax2所以b0，c0將代入yax2，得解得（舍去了負(fù)值）（2）拋物線的解析式為，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為已知A(0, 2)，所以而圓心P到x軸的距離為，所以半徑PA圓心P到x

9、軸的距離所以在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，P始終與x軸相交（3）如圖2，設(shè)MN的中點(diǎn)為H，那么PH垂直平分MN在RtPMH中，所以MH24所以MH2因此MN4，為定值等腰AMN存在三種情況：如圖3，當(dāng)AMAN時(shí)，點(diǎn)P為原點(diǎn)O重合，此時(shí)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為0圖2 圖3如圖4，當(dāng)MAMN時(shí)，在RtAOM中，OA2，AM4，所以O(shè)M2此時(shí)xOH2所以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為如圖5，當(dāng)NANM時(shí)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為也為圖4 圖5考點(diǎn)伸展如果點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動(dòng)，以點(diǎn)P為圓心的P總經(jīng)過(guò)定點(diǎn)B(0, 1)，那么在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，P始終與直線y1相切這是因?yàn)椋涸O(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為已知B(0, 1)，所以而圓心P到直線y1的距離也為，所以半徑P

10、B圓心P到直線y1的距離所以在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，P始終與直線y1相切例3如圖1，在RtABC中，A90°，AB6，AC8，點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，DEBC交邊AC于點(diǎn)E，點(diǎn)P為射線AB上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為邊AC上的一動(dòng)點(diǎn)，且PDQ90°（1）求ED、EC的長(zhǎng)；（2）若BP2，求CQ的長(zhǎng)；（3）記線段PQ與線段DE的交點(diǎn)為F，若PDF為等腰三角形，求BP的長(zhǎng)圖1 備用圖動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開(kāi)幾何畫板文件名“13虹口25”，拖動(dòng)點(diǎn)P在射線AB上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，PDM與QDN保持相似觀察PDF，可以看到，P、F可以落在對(duì)邊的垂直平分線上，不存在DFDP的情況請(qǐng)打開(kāi)超級(jí)畫板文件名“13虹口25

11、”，拖動(dòng)點(diǎn)P在射線AB上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，PDM與QDN保持相似觀察PDF，可以看到，P、F可以落在對(duì)邊的垂直平分線上，不存在DFDP的情況思路點(diǎn)撥1第（2）題BP2分兩種情況2解第（2）題時(shí)，畫準(zhǔn)確的示意圖有利于理解題意，觀察線段之間的和差關(guān)系3第（3）題探求等腰三角形PDF時(shí)，根據(jù)相似三角形的傳遞性，轉(zhuǎn)化為探求等腰三角形CDQ滿分解答（1）在RtABC中， AB6，AC8，所以BC10在RtCDE中，CD5，所以，（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DMAB，DNAC，垂足分別為M、N，那么DM、DN是ABC的兩條中位線，DM4，DN3由PDQ90°，MDN90°，可得PDMQDN因

12、此PDMQDN所以所以，圖2 圖3 圖4如圖3，當(dāng)BP2，P在BM上時(shí)，PM1此時(shí)所以如圖4，當(dāng)BP2，P在MB的延長(zhǎng)線上時(shí)，PM5此時(shí)所以（3）如圖5，如圖2，在RtPDQ中，在RtABC中，所以QPDC由PDQ90°，CDE90°，可得PDFCDQ因此PDFCDQ當(dāng)PDF是等腰三角形時(shí)，CDQ也是等腰三角形如圖5，當(dāng)CQCD5時(shí)，QNCQCN541（如圖3所示）此時(shí)所以如圖6，當(dāng)QCQD時(shí)，由，可得所以QNCNCQ（如圖2所示）此時(shí)所以不存在DPDF的情況這是因?yàn)镈FPDQPDPQ（如圖5，圖6所示）圖5 圖6考點(diǎn)伸展如圖6，當(dāng)CDQ是等腰三角形時(shí)，根據(jù)等角的余角相等，

13、可以得到BDP也是等腰三角形，PBPD在BDP中可以直接求解例4如圖1，拋物線yax2bxc經(jīng)過(guò)A(1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三點(diǎn)，直線l是拋物線的對(duì)稱軸（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PAC的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在直線l上是否存在點(diǎn)M，使MAC為等腰三角形，若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由圖1 動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開(kāi)幾何畫板文件名“12揚(yáng)州27”，拖動(dòng)點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，當(dāng)點(diǎn)P落在線段BC上時(shí)，PAPC最小，PAC的周長(zhǎng)最小拖動(dòng)點(diǎn)M在拋物線的對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng)，觀察MAC的三個(gè)頂點(diǎn)與對(duì)邊的垂直平分線

14、的位置關(guān)系，可以看到，點(diǎn)M有1次機(jī)會(huì)落在AC的垂直平分線上；點(diǎn)A有2次機(jī)會(huì)落在MC的垂直平分線上；點(diǎn)C有2次機(jī)會(huì)落在MA的垂直平分線上，但是有1次M、A、C三點(diǎn)共線思路點(diǎn)撥1第（2）題是典型的“牛喝水”問(wèn)題，點(diǎn)P在線段BC上時(shí)PAC的周長(zhǎng)最小2第（3）題分三種情況列方程討論等腰三角形的存在性滿分解答（1）因?yàn)閽佄锞€與x軸交于A(1,0)、B(3, 0)兩點(diǎn)，設(shè)ya(x1)(x3)，代入點(diǎn)C(0 ,3)，得3a3解得a1所以拋物線的函數(shù)關(guān)系式是y(x1)(x3)x22x3（2）如圖2，拋物線的對(duì)稱軸是直線x1當(dāng)點(diǎn)P落在線段BC上時(shí)，PAPC最小，PAC的周長(zhǎng)最小設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為H由

15、，BOCO，得PHBH2所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1, 2)圖2（3）點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1, 1)、(1,)、(1,)或(1,0)考點(diǎn)伸展第（3）題的解題過(guò)程是這樣的：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,m)在MAC中，AC210，MC21(m3)2，MA24m2如圖3，當(dāng)MAMC時(shí)，MA2MC2解方程4m21(m3)2，得m1此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1, 1)如圖4，當(dāng)AMAC時(shí)，AM2AC2解方程4m210，得此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,)或(1,)如圖5，當(dāng)CMCA時(shí)，CM2CA2解方程1(m3)210，得m0或6當(dāng)M(1, 6)時(shí)，M、A、C三點(diǎn)共線，所以此時(shí)符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,0)圖3 圖4 圖5例5如圖1，點(diǎn)A在

16、x軸上，OA4，將線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°至OB的位置（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求經(jīng)過(guò)A、O、B的拋物線的解析式；（3）在此拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、O、B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由圖1動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開(kāi)幾何畫板文件名“12臨沂26”，拖動(dòng)點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，O和B以及OB的垂直平分線與拋物線的對(duì)稱軸有一個(gè)共同的交點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到O與對(duì)稱軸的另一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，B、O、P三點(diǎn)共線請(qǐng)打開(kāi)超級(jí)畫板文件名“12臨沂26”，拖動(dòng)點(diǎn)P，發(fā)現(xiàn)存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、O、B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形思路點(diǎn)撥1用代數(shù)法探求

17、等腰三角形分三步：先分類，按腰相等分三種情況；再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式列方程；然后解方程并檢驗(yàn)2本題中等腰三角形的角度特殊，三種情況的點(diǎn)P重合在一起滿分解答（1）如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BCy軸，垂足為C在RtOBC中，BOC30°，OB4，所以BC2，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2）因?yàn)閽佄锞€與x軸交于O、A(4, 0)，設(shè)拋物線的解析式為yax(x4)，代入點(diǎn)B，解得所以拋物線的解析式為（3）拋物線的對(duì)稱軸是直線x2，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2, y)當(dāng)OPOB4時(shí)，OP216所以4+y216解得當(dāng)P在時(shí)，B、O、P三點(diǎn)共線（如圖2）當(dāng)BPBO4時(shí)，BP216所以解得當(dāng)PBPO時(shí)，PB2PO2所以解得綜合、

18、，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，如圖2所示圖2 圖3考點(diǎn)伸展如圖3，在本題中，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，那么DOA與OAB是兩個(gè)相似的等腰三角形由，得拋物線的頂點(diǎn)為因此所以DOA30°，ODA120°例6如圖1，已知一次函數(shù)yx7與正比例函數(shù) 的圖象交于點(diǎn)A，且與x軸交于點(diǎn)B（1）求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）過(guò)點(diǎn)A作ACy軸于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)B作直線l/y軸動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度，沿OCA的路線向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；同時(shí)直線l從點(diǎn)B出發(fā)，以相同速度向左平移，在平移過(guò)程中，直線l交x軸于點(diǎn)R，交線段BA或線段AO于點(diǎn)Q當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)P和直線l都停止運(yùn)動(dòng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒當(dāng)t為何值時(shí)，以A、P、R為頂點(diǎn)的三角形的面積為8？是否存在以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 圖1 動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開(kāi)幾何畫板文件名“11鹽城28”，拖動(dòng)點(diǎn)R由B向O運(yùn)動(dòng)，從圖象中可以看到，APR的面積有一個(gè)時(shí)刻等于8觀察APQ，可以體驗(yàn)到，P在OC上時(shí)，只存在APAQ的情況；P在CA上時(shí)，有