2022年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第19講《直角三角形》講學(xué)案(含答案)

1、中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第19講直角三角形【考點(diǎn)解析】知識(shí)點(diǎn)一：直角三角形的性質(zhì)【例題】（青海西寧·2分）如圖，OP平分AOB，AOP=15°，PCOA，PDOA于點(diǎn)D，PC=4，則PD=2【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；含30度角的直角三角形【分析】作PEOA于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得PE=PD，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得ACP=AOB=30°，由直角三角形中30°的角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，可求得PE，即可求得PD【解答】解：作PEOA于E，AOP=BOP，PDOB，PEOA，PE=PD（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等），BOP=AOP=15°，AOB=

2、30°，PCOB，ACP=AOB=30°，在RtPCE中，PE=PC=×4=2（在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半），PD=PE=2，故答案是：2【變式】（2013·泰安，23，3分）如圖，在RtABC中，ACB90°，AB的垂直平分線DE交AC于E，交BC的延長線于F，若F30°，DE1，則BE的長是 【解析】含30度角的直角三角形；線段垂直平分線的性質(zhì)根據(jù)同角的余角相等、等腰ABE的性質(zhì)推知DBE30°，則在直角DBE中由“30度角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半”即可求得線段BE的長度 【解答】解：A

3、CB90°，F(xiàn)DAB，ACBFDB90°，F(xiàn)30°，AF30°（同角的余角相等）又AB的垂直平分線DE交AC于E，EBAA30°，直角DBE中，BE2DE2【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、含30度角的直角三角形解題的難點(diǎn)是推知EBA30°知識(shí)點(diǎn)二：直角三角形的判定【例題】（2013·濰坊，9，3分）一漁船在海島A南偏東20°方向的B處遇險(xiǎn)，測得海島A與B的距離為20海里，漁船將險(xiǎn)情報(bào)告給位于A處的救援船后，沿北偏西80°方向向海島C靠近同時(shí)，從A處出發(fā)的救援船沿南偏西10°方向勻速航行2

4、0分鐘后，救援船在海島C處恰好追上漁船，那么救援船航行的速度為（ ）A海里/小時(shí) B 30海里/小時(shí) C海里/小時(shí) D海里/小時(shí)答案：D考點(diǎn)：方向角，直角三角形的判定和勾股定理點(diǎn)評(píng);理解方向角的含義，證明出三角形ABC是直角三角形是解決本題的關(guān)鍵【變式】（3分）（桂林）（第8題）下列各組線段能構(gòu)成直角三角形的一組是（）A30，40，50B7，12，13C5，9，12D3，4，6考點(diǎn)：勾股定理的逆定理分析：根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)是直角三角形判定則可如果有這種關(guān)系，這個(gè)就是直角三角形解答：解：A、302+402=502，該三角形符合勾股定理的逆定理

5、，故是直角三角形，故正確；B、72+122132，該三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故錯(cuò)誤；C、52+92122，該三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故錯(cuò)誤；D、32+4262，該三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故錯(cuò)誤；故選A點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理的逆定理，在應(yīng)用勾股定理的逆定理時(shí)，應(yīng)先認(rèn)真分析所給邊的大小關(guān)系，確定最大邊后，再驗(yàn)證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)系，進(jìn)而作出判斷知識(shí)點(diǎn)三勾股定理及其逆定理的應(yīng)用【例題】（山東省東營市·3分）在ABC中，AB10，AC2，BC邊上的高AD6，則另一邊BC等于( )A10B8C6或1

6、0D8或10【解析】勾股定理、分類討論思想，在圖中，由勾股定理，得BD8;CD2;BCBDCD8210. 在圖中，由勾股定理，得BD8;CD2;BCBDCD826.故選擇C.【點(diǎn)撥】本題考查分類思想和勾股定理，要分兩種情況考慮，分別在兩個(gè)圖形中利用勾股定理求出BD和CD，從而可求出BC的長.【變式】（陜西·3分）如圖，在ABC中，ABC=90°，AB=8，BC=6若DE是ABC的中位線，延長DE交ABC的外角ACM的平分線于點(diǎn)F，則線段DF的長為（）A7 B8 C9 D10【考點(diǎn)】三角形中位線定理；等腰三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理【分析】根據(jù)三角形中位線定理求出DE，得到D

7、FBM，再證明EC=EF=AC，由此即可解決問題【解答】解：在RTABC中，ABC=90°，AB=8，BC=6，AC=10，DE是ABC的中位線，DFBM，DE=BC=3，EFC=FCM，F(xiàn)CE=FCM，EFC=ECF，EC=EF=AC=5，DF=DE+EF=3+5=8故選B知識(shí)點(diǎn)四：直角三角形的綜合應(yīng)用【例題】（四川眉山·3分）把邊長為3的正方形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到正方形ABCD，邊BC與DC交于點(diǎn)O，則四邊形ABOD的周長是（）A B6 C D【分析】由邊長為3的正方形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到正方形ABCD，利用勾股定理的知識(shí)

8、求出BC的長，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理可求BO，OD，從而可求四邊形ABOD的周長【解答】解：連接BC，旋轉(zhuǎn)角BAB=45°，BAD=45°，B在對(duì)角線AC上，BC=AB=3，在RtABC中，AC=3，BC=33，在等腰RtOBC中，OB=BC=33，在直角三角形OBC中，OC=（33）=63，OD=3OC=33，四邊形ABOD的周長是：2AD+OB+OD=6+33+33=6故選：A【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)此題難度適中，注意連接BC構(gòu)造等腰RtOBC是解題的關(guān)鍵，注意旋轉(zhuǎn)中的對(duì)應(yīng)關(guān)系【變式】（2013四川巴中，29，10

9、分）如圖，在平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)A作AEBC，垂足為E，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點(diǎn)，且AFE=B （1）求證：ADFDEC；（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的長【解析】（1）利用對(duì)應(yīng)兩角相等，證明兩個(gè)三角形相似ADFDEC；（2）利用ADFDEC，可以求出線段DE的長度；然后在在RtADE中，利用勾股定理求出線段AE的長度 【解答】（1）證明：ABCD，ABCD，ADBC，C+B=180°，ADF=DECAFD+AFE=180°，AFE=B，AFD=C在ADF與DEC中，ADFDEC（2）解：ABCD，CD=AB=8由（1）知ADFDEC，DE=12在R

10、tADE中，由勾股定理得：AE=6【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理三個(gè)知識(shí)點(diǎn)題目難度不大，注意仔細(xì)分析題意，認(rèn)真計(jì)算，避免出錯(cuò)【典例解析】【例題1】（四川內(nèi)江）已知等邊三角形的邊長為3，點(diǎn)P為等邊三角形內(nèi)任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到三邊的距離之和為( )A B C D不能確定答案B考點(diǎn)勾股定理，三角形面積公式，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力。解析如圖，ABC是等邊三角形，AB3，點(diǎn)P是三角形內(nèi)任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別向三邊AB，BC，CA作垂線，垂足依次為D，E，F(xiàn)，過點(diǎn)A作AHBC于H則BH，AH連接PA，PB，PC，則SPABSPBCSPCASABCAB·P

11、DBC·PECA·PFBC·AHPDPEPFAH故選BPBADEF答案圖CH【例題2】（四川內(nèi)江）如圖12所示，已知點(diǎn)C(1，0)，直線yx7與兩坐標(biāo)軸分別交于A，B兩點(diǎn)，D，E分別是AB，OA上的動(dòng)點(diǎn)，則CDE周長的最小值是_答案10考點(diǎn)勾股定理，對(duì)稱問題。解析作點(diǎn)C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C1(1，0)，點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C2，連接C1C2交OA于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)D，則此時(shí)CDE的周長最小，且最小值等于C1C2的長OAOB7，CB6，ABC45°AB垂直平分CC2，CBC290°，C2的坐標(biāo)為(7，6)在C1BC2中，C1C210即CDE周長的最

12、小值是10xyO答案圖CBAEDC1C2故答案為：10【例題3】4.（黑龍江龍東·6分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（1，3）、（4，1）（2，1），先將ABC沿一確定方向平移得到A1B1C1，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B1的坐標(biāo)是（1，2），再將A1B1C1繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到A2B2C2，點(diǎn)A1的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A2（1）畫出A1B1C1；（2）畫出A2B2C2；（3）求出在這兩次變換過程中，點(diǎn)A經(jīng)過點(diǎn)A1到達(dá)A2的路徑總長【考點(diǎn)】作圖-旋轉(zhuǎn)變換；作圖-平移變換【分析】（1）由B點(diǎn)坐標(biāo)和B1的坐標(biāo)得到ABC向右平移5個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到A1B1C1，

13、則根據(jù)點(diǎn)平移的規(guī)律寫出A1和C1的坐標(biāo)，然后描點(diǎn)即可得到A1B1C1；（2）利用網(wǎng)格特點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出點(diǎn)A1的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A2，點(diǎn)B1的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B2，點(diǎn)C1的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C2，從而得到A2B2C2；（3）先利用勾股定理計(jì)算平移的距離，再計(jì)算以O(shè)A1為半徑，圓心角為90°的弧長，然后把它們相加即可得到這兩次變換過程中，點(diǎn)A經(jīng)過點(diǎn)A1到達(dá)A2的路徑總長【解答】解：（1）如圖，A1B1C1為所作；（2）如圖，A2B2C2為所作；（3）OA=4，點(diǎn)A經(jīng)過點(diǎn)A1到達(dá)A2的路徑總長=+=+2【中考熱點(diǎn)】【熱點(diǎn)1】（福建龍巖·12分）圖1是某公交公司1路車從起點(diǎn)站A站途經(jīng)B站和C站，最終

14、到達(dá)終點(diǎn)站D站的格點(diǎn)站路線圖（8×8的格點(diǎn)圖是由邊長為1的小正方形組成）（1）求1路車從A站到D站所走的路程（精確到0.1）；（2）在圖2、圖3和圖4的網(wǎng)格中各畫出一種從A站到D站的路線圖（要求：與圖1路線不同、路程相同；途中必須經(jīng)過兩個(gè)格點(diǎn)站；所畫路線圖不重復(fù)）【考點(diǎn)】作圖應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖；勾股定理的應(yīng)用【分析】（1）先根據(jù)網(wǎng)格求得AB、BC、CD三條線段的長，再相加求得所走的路程的近似值；（2）根據(jù)軸對(duì)稱、平移或中心對(duì)稱等圖形的變換進(jìn)行作圖即可【解答】解：（1）根據(jù)圖1可得：，CD=3A站到B站的路程=9.7；（2）從A站到D站的路線圖如下：【熱點(diǎn)2】（四川南充）如圖，在RtABC

15、中，ACB=90°，BAC的平分線交BC于點(diǎn)O，OC=1，以點(diǎn)O為圓心OC為半徑作半圓（1）求證：AB為O的切線；（2）如果tanCAO=，求cosB的值【分析】（1）如圖作OMAB于M，根據(jù)角平分線性質(zhì)定理，可以證明OM=OC，由此即可證明（2）設(shè)BM=x，OB=y，列方程組即可解決問題【解答】解：（1）如圖作OMAB于M，OA平分CAB，OCAC，OMAB，OC=OM，AB是O的切線，（2）設(shè)BM=x，OB=y，則y2x2=1 ，cosB=，=，x2+3x=y2+y ，由可以得到：y=3x1，（3x1）2x2=1，x=2.75，y=1.25，cosB=0.6【點(diǎn)評(píng)】本題考查切線的

16、判定、勾股定理、三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是記住圓心到直線的距離等于半徑，這條直線就是圓的切線，學(xué)會(huì)設(shè)未知數(shù)列方程組解決問題，屬于中考常考題型 【熱點(diǎn)3】（湖北隨州·10分）愛好思考的小茜在探究兩條直線的位置關(guān)系查閱資料時(shí)，發(fā)現(xiàn)了“中垂三角形”，即兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”如圖（1）、圖（2）、圖（3）中，AM、BN是ABC的中線，ANBN于點(diǎn)P，像ABC這樣的三角形均為“中垂三角形”設(shè)BC=a，AC=b，AB=c【特例探究】（1）如圖1，當(dāng)tanPAB=1，c=4時(shí)，a=4，b=4；如圖2，當(dāng)PAB=30°，c=2時(shí)，a=，b=；【歸納證明】（2）請(qǐng)你觀察

17、（1）中的計(jì)算結(jié)果，猜想a2、b2、c2三者之間的關(guān)系，用等式表示出來，并利用圖3證明你的結(jié)論【拓展證明】（3）如圖4，ABCD中，E、F分別是AD、BC的三等分點(diǎn)，且AD=3AE，BC=3BF，連接AF、BE、CE，且BECE于E，AF與BE相交點(diǎn)G，AD=3，AB=3，求AF的長【考點(diǎn)】四邊形綜合題【分析】（1）首先證明APB，PEF都是等腰直角三角形，求出PA、PB、PE、PF，再利用勾股定理即可解決問題連接EF，在RTPAB，RTPEF中，利用30°性質(zhì)求出PA、PB、PE、PF，再利用勾股定理即可解決問題（2）結(jié)論a2+b2=5c2設(shè)MP=x，NP=y，則AP=2x，BP=

18、2y，利用勾股定理分別求出a2、b2、c2即可解決問題（3）取AB中點(diǎn)H，連接FH并且延長交DA的延長線于P點(diǎn)，首先證明ABF是中垂三角形，利用（2）中結(jié)論列出方程即可解決問題【解答】（1）解：如圖1中，CE=AE，CF=BF，EFAB，EF=AB=2，tanPAB=1，PAB=PBA=PEF=PFE=45°，PF=PE=2，PB=PA=4，AE=BF=2b=AC=2AE=4，a=BC=4故答案為4，4如圖2中，連接EF，CE=AE，CF=BF，EFAB，EF=AB=1，PAB=30°，PB=1，PA=，在RTEFP中，EFP=PAB=30°，PE=，PF=，AE=，BF=，a=BC=2BF=，b=AC=2AE=，故答案分別為，（2）結(jié)論a2+b2=5c2證明：如圖3中，連接EFAF、BE是中線，EFAB，EF=AB，F(xiàn)PEAPB，=，設(shè)FP=x，EP=y，則AP=2x，BP=2y，a2=BC2=4BF2=4（FP2+BP2