人教A必修一1.3.1單調(diào)性與最大（?。┲到虒W(xué)設(shè)計

1、數(shù)學(xué)人教A必修一 教學(xué)設(shè)計 付小華§1.3.1 單調(diào)性與最大最小值【教材分析】函數(shù)是描述事物變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型,在研究函數(shù)的性質(zhì)時,單調(diào)性和奇偶性是非常重要的性質(zhì).在初中學(xué)習(xí)函數(shù)時,已經(jīng)重點研究了一些函數(shù)的增減性,只是較為粗略,未明確給出有關(guān)函數(shù)增減性的定義,對于函數(shù)增減性的判斷也主要根據(jù)觀察圖象得出,而本節(jié)內(nèi)容,正是初中有關(guān)內(nèi)容的深化和提高：給出函數(shù)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)的定義,既讓學(xué)生理解到從圖象的角度“看函數(shù)的增減變化,又從解析式的角度“算函數(shù)的單調(diào)變化,“看函數(shù)圖象的變化是讓學(xué)生獲得函數(shù)單調(diào)性的直觀認(rèn)識,“算函數(shù)的單調(diào)變化是從數(shù)量關(guān)系的角度通過邏輯推理進(jìn)行確認(rèn),表達(dá)數(shù)形

2、結(jié)合的重要思想.由于函數(shù)圖象是發(fā)現(xiàn)函數(shù)性質(zhì)的直觀載體,因此,在本節(jié)教學(xué)時可以充分使用信息技術(shù)創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境,以利于學(xué)生作函數(shù)圖象,有更多的時間用于思考、探究函數(shù)的單調(diào)性、最值等性質(zhì).還要特別重視從幾個實例的共同特征到一般性質(zhì)的概括過程,并要引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表達(dá)出來,讓學(xué)生經(jīng)歷這些概念的形成過程,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)探究意識和探究能力.在本節(jié)課的教學(xué)中以函數(shù)的單調(diào)性的概念產(chǎn)生、形成為線,它始終貫穿于整個課堂教學(xué)過程.對單調(diào)性概念的深入而正確的理解往往是學(xué)生認(rèn)知過程中的難點,因此在課堂上突出對概念的分析不僅僅是為了分析函數(shù)單調(diào)性的定義,而且想讓學(xué)生對如何學(xué)會、弄懂一個概念有初步的認(rèn)識,并且在以后的學(xué)習(xí)中學(xué)

3、有所用；利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明具體函數(shù)的單調(diào)性又是一個難點,使用函數(shù)單調(diào)性定義證明是對函數(shù)單調(diào)性概念的深層理解,給出一定的步驟“作差、變形、定號是必要的,有利于學(xué)生理解概念,也可以對學(xué)生掌握證明方法、形成證明思路有所幫助.【教學(xué)目標(biāo)】1.通過觀察一些函數(shù)圖象的升降變化,形成增減函數(shù)的直觀認(rèn)識,再通過函數(shù)值的大小比擬,從解析式的角度,認(rèn)識函數(shù)值隨自變量大小變化的規(guī)律,得出函數(shù)單調(diào)性的定義.2.理解函數(shù)單調(diào)性及其幾何意義,掌握用函數(shù)的定義證明函數(shù)單調(diào)性的根本方法和步驟會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.3.在經(jīng)歷認(rèn)識函數(shù)單調(diào)性以圖識數(shù),從直觀認(rèn)識到抽象概括的過程,學(xué)生自主探究,體驗函數(shù)單調(diào)性概念的形成過程,學(xué)

4、會運用函數(shù)圖象和解析式理解和研究函數(shù)的性質(zhì),學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思考的根本方法,培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力.【教學(xué)重難點】教學(xué)重點:函數(shù)單調(diào)性的概念的產(chǎn)生和形成教學(xué)難點:函數(shù)函數(shù)單調(diào)性的概念的產(chǎn)生和形成過程中,從圖象的直觀認(rèn)識到從解析式的數(shù)量關(guān)系的認(rèn)識,并用數(shù)學(xué)符號語言表達(dá)出其概念.【教學(xué)設(shè)計建議】一、導(dǎo)入新課1、一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)圖象反映出怎樣的函數(shù)升降變化規(guī)律？2、如何利用函數(shù)的解析式認(rèn)識函數(shù)值隨自變量大小變化的這種升降變化規(guī)律呢？【設(shè)計意圖：根據(jù)初中已經(jīng)學(xué)過的根本函數(shù)入手,分別引出從圖象的角度和從解析式的角度刻畫函數(shù)的變化規(guī)律,激發(fā)學(xué)生興趣和探究問題的激情.】二、探索新知一分別畫函數(shù)y=x+1和y

5、=x2-1的圖象并觀察這函數(shù)圖象,指出這兩個函數(shù)圖象的升降變化規(guī)律. 圖1 圖2從函數(shù)y=x+1的圖象圖1看到：圖象由左至右是上升的；從函數(shù)y=x2-1的圖象圖2看到：圖象在y軸的左側(cè)局部是下降的,在y軸的右側(cè)局部是上升的.這是觀察函數(shù)圖象上的點,得出的結(jié)論.對于函數(shù)圖象的“上升和“下降,如果觀察函數(shù)圖象上每個點對應(yīng)的橫坐標(biāo)x和函數(shù)值,會得到的什么結(jié)論呢？怎樣用數(shù)學(xué)語言描述呢？【設(shè)計意圖：用幾何畫板畫出兩個函數(shù)的圖象,標(biāo)示出函數(shù)圖象上的點、點的橫縱坐標(biāo),運用幾何畫板的追蹤功能,觀察圖象上的點的上升與下降,以及點的橫縱坐標(biāo)的變化.】二以函數(shù)y=x2-1為例,探究對任意的x1,x2時,fx1與fx

6、2的大小關(guān)系,并思考如何準(zhǔn)確從數(shù)量關(guān)系的角度刻畫函數(shù)圖象增減變化,“上升與“下降？1對任意的x1<x2時,fx1與fx2的大小關(guān)系有四種情況,如圖3.當(dāng)x1<x2<0時,y1y2；當(dāng)x1<0<x2時,y1y2,或者y1>y2,或者y1=y2都可能；當(dāng)0<x1<x2時,y1>y2.2對任意的x1>x2時,fx1與fx2的大小關(guān)系也有四種情況.3不妨設(shè)任意的x1<x2時,能準(zhǔn)確刻畫函數(shù)圖象增減變化,“上升與“下降 僅有兩種. 圖3即：對于y=fx=x2-1如果取x1、x20,+,得到y(tǒng)1=fx1,y2=fx2,那么當(dāng)x1x2,有y1

7、y2,這時我們就說函數(shù)y=fx=x2-1在0,+上是增函數(shù).當(dāng)x在區(qū)間,0上取值時,隨著x的增大,相應(yīng)的y值反而隨著減小,即如果取x1、x2,0,得到y(tǒng)1=fx1,y2=fx2,那么當(dāng)x1x2時,有y1y2,這時我們就說函數(shù)y=fx=x2-1在,0上是減函數(shù).【設(shè)計意圖：此處需要突破對任意的x1,x2時,fx1與fx2的大小關(guān)系的情況較多,需要具體分析,讓學(xué)生理解到能真正刻畫函數(shù)圖象的增減變化,“上升與“下降數(shù)學(xué)表達(dá),進(jìn)而理解到如何準(zhǔn)確從數(shù)量關(guān)系的角度刻畫函數(shù)圖象增減變化,“上升與“下降.】三增減函數(shù)的定義1歸納新知： 圖4如圖4：y=fx對于區(qū)間a,b上的任意x1、x2,當(dāng)x1x2時,都有f

8、x1fx2,因此y=fx在區(qū)間a,b上是單調(diào)遞增的,區(qū)間a,b是函數(shù)y=fx的單調(diào)增區(qū)間.y=fx對于區(qū)間a,b上的任意x1、x2,當(dāng)x1x2時,都有fx1fx2,因此y=fx在區(qū)間a,b上是單調(diào)遞減的,區(qū)間a,b是函數(shù)y=fx的單調(diào)減區(qū)間.2函數(shù)單調(diào)性的定義：一般地,設(shè)函數(shù)fx的定義域為I:如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1、x2,當(dāng)x1<x2時,都有fx1<fx2,那么就說函數(shù)fx在區(qū)間D上是增函數(shù).一般地,設(shè)函數(shù)fx的定義域為I,如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1、x2,當(dāng)x1<x2時,都有fx1>fx2,那么就說函數(shù)fx在

9、區(qū)間D上是減函數(shù).增減函數(shù)的幾何意義：增函數(shù)從左向右看,圖象是上升的.函數(shù)值變化趨勢函數(shù)值隨著自變量的增大而增大;減函數(shù)從左向右看,圖象是下降的,函數(shù)值隨著自變量的增大而減小.總結(jié)：如果函數(shù)y=fx在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù),那么就說函數(shù)y=fx在這一區(qū)間具有嚴(yán)格的單調(diào)性,區(qū)間D叫做y=fx的單調(diào)遞增或減區(qū)間.3說明:增函數(shù)從左向右看,圖象是上升的;從右往左看就是下降的,其實函數(shù)值變化趨勢是函數(shù)值隨著自變量的增大而增大,隨著自變量的減小也是在減小的;減函數(shù)從左向右看,圖象是下降的,從右往左看圖象就是下降的,函數(shù)值隨著自變量的增大而減小,隨著自變量的減小而增大的.【設(shè)計意圖：經(jīng)歷新知的探究過程后

10、,函數(shù)單調(diào)性的定義就是水到渠成了.但是學(xué)生不容易理解任意兩個自變量的值x1、x2的實質(zhì),所以需要引導(dǎo)學(xué)生從左往右、也可以從右往左觀察圖象的“上升和“下降,既可以隨著自變量的增大而變化,也可以隨著自變量的減小而變化去刻畫函數(shù)的增減性.】三、反思提升一反思函數(shù)單調(diào)性的概念產(chǎn)生過程二函數(shù)單調(diào)性的理解：要特別注意定義中為了簡便,不妨設(shè)x1<x2,意思是說看圖象是從左往右看,隨著自變量的增大,去判定函數(shù)值是增大或者減小.要注意理解“定義域內(nèi)某個區(qū)間“屬于“任意“都有這幾個關(guān)鍵詞語；在寫單調(diào)區(qū)間時不要輕易用并集的符號連接.三利用函數(shù)單調(diào)性定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法與步驟證明的四個步驟：1設(shè)x1、x2是

11、給定區(qū)間內(nèi)的任意兩個值,且x1x2；2“作差-fx1-fx2,并將此差式變形要注意變形的程度；3“判號-fx1-fx2的正負(fù)要注意說理的充分性；4“結(jié)論-根據(jù)fx1-fx2的符號確定其增減性.四數(shù)學(xué)方法和思想在認(rèn)識函數(shù)單調(diào)性以圖識數(shù),表達(dá)圖形語言向數(shù)學(xué)符號語言的轉(zhuǎn)化.從直觀認(rèn)識到抽象概括過程中,表達(dá)數(shù)形結(jié)合的思想.【設(shè)計意圖：經(jīng)歷問題引入和新知探究后,師生對已經(jīng)學(xué)習(xí)的新知和數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行反思提升,強調(diào)函數(shù)單調(diào)性概念中需要注意的問題及證明函數(shù)單調(diào)性的步驟.】四、反應(yīng)例練一根底例練例1 如圖5是定義在區(qū)間5,5上的函數(shù)y=fx,根據(jù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,以及在每一單調(diào)區(qū)間上,它是增函數(shù)還是減函

12、數(shù)？圖5解：函數(shù)y=fx的單調(diào)區(qū)間是-5,2,-2,1,1,3,3,5.其中函數(shù)y=fx在區(qū)間-5,2,1,3上是減函數(shù),在區(qū)間-2,1,3,5上是增函數(shù).點評：此題主要考查函數(shù)單調(diào)性的幾何意義,以及圖象法判斷函數(shù)單調(diào)性.例2物理學(xué)中的玻意耳定律p=k為正常數(shù)告訴我們,對于一定量的氣體,當(dāng)其體積V減少時,壓強p將增大.試用函數(shù)的單調(diào)性證明.解：利用函數(shù)單調(diào)性的定義只要證明函數(shù)p=在區(qū)間0,+上是減函數(shù)即可.點評：此題主要考查函數(shù)的單調(diào)性,以及定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性.定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性的步驟是第一步：在所給的區(qū)間上任取兩個自變量x1和x2,通常令x1<x2；第二步：比擬fx1和f

13、x2的大小,通常是用作差比擬法比擬大小,此時比擬它們大小的步驟是作差、變形、看符號；第三步：再歸納結(jié)論.二穩(wěn)固例練【例3】1畫出函數(shù)fx=-x2+2x+3的圖象；2證明函數(shù)fx=-x2+2x+3在區(qū)間-,1上是增函數(shù)；3當(dāng)函數(shù)fx在區(qū)間-,m上是增函數(shù)時,求實數(shù)m的取值范圍.點評：此題主要考查二次函數(shù)的圖象、函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用.討論有關(guān)二次函數(shù)的單調(diào)性問題時,常用數(shù)形結(jié)合的方法,結(jié)合二次函數(shù)圖象的特點來分析問題.例4 證明fx=在,-1和1,+上都是單調(diào)遞增函數(shù).點評：此題檢驗運用定義證明這個函數(shù)的單調(diào)性,初步理解其步驟,需要注意在對“作差的式子進(jìn)行正負(fù)判號時,推理要充分、正確.【設(shè)計意圖：通過兩種層次的反應(yīng)例練,由淺入深,逐漸到達(dá)運用新知的目的,同時反應(yīng)學(xué)生學(xué)習(xí)理解的程度,進(jìn)行學(xué)習(xí)監(jiān)控和補救.】五、課后作業(yè)1、教科書P32 3、 P39 A 1、2、32、校本教輔資料相應(yīng)練習(xí) 【教學(xué)設(shè)計感悟】“函數(shù)單調(diào)性是一個重要的數(shù)學(xué)概念.本節(jié)課是函數(shù)單調(diào)性的起始課,以往的教學(xué)方法一般是由教師講解為主,在單調(diào)性的定義教學(xué)中,往往缺少從定性的描述到定量表示的思維過程,即缺少“真正的體驗.本設(shè)計致力于