牛頓插值公式的一個(gè)應(yīng)用

1、牛頓插值公式的一個(gè)應(yīng)用摘要本文從具體例題出發(fā) ,通過(guò)數(shù)值逼近中的牛頓插值公式 ,解決了初等數(shù)學(xué)中的一類(lèi)較為復(fù)雜的求函數(shù)值、求范圍、作證明的相關(guān)問(wèn)題。關(guān)鍵字 牛頓插值公式 函數(shù)值 范圍中圖分類(lèi)號(hào) :O711 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 :A牛頓(Newton)插值是數(shù)值逼近中的一個(gè)重要部分，它向前繼承了拉格朗日(Lagrange)插值，向后引出了埃爾米特 (Hermite) 插值 ,可以看作對(duì)多項(xiàng)式插值作了一個(gè)簡(jiǎn)單的統(tǒng)一。 相關(guān)的研究也是比比皆是。 牛頓插值公式具有形式簡(jiǎn)單,便于計(jì)算等優(yōu)點(diǎn)。 因此,在插值中得到的廣泛的應(yīng)用。本文將從初等數(shù)學(xué)的角度來(lái)研究牛頓插值公式的有效應(yīng)用。1 牛頓插值公式定義1:若在a,b上

2、給出n+1個(gè)點(diǎn),f (x)是a,b上的實(shí)值函 數(shù),則可得f (x)在a,b的牛頓插值多項(xiàng)式，(1)其中插值余項(xiàng) 而則稱(chēng)之為 (n 階)差商 ,記(2)所以上定義可知 ,只要按順序求出 0 到 n 階的差商 ,我們 就可以求出已知節(jié)點(diǎn)的插值多項(xiàng)式 p(x), 而在所求的過(guò)程中 , 前面所求的階差商同時(shí)為階差商服務(wù)的。當(dāng)然這也正是牛頓 插值公式的優(yōu)點(diǎn)所在。定理 1:對(duì)于上述定義中的牛頓插值多項(xiàng)式是唯一的。(證明參見(jiàn)文獻(xiàn) 1)定理2:對(duì)于定義1中，如果f (x)為多項(xiàng)式函數(shù)，則p (x)可 以精確表示 f (x)。根據(jù)定義 1 以及定理 1 ,我們不難得到定理 2,即如果給定 的f(x)本身就是多項(xiàng)

3、式，則我們根據(jù)(1)所得的p(x)就應(yīng)該是 f(x) 本身了。我們現(xiàn)在就利用這點(diǎn)來(lái)解決初等數(shù)學(xué)中的相關(guān) 問(wèn)題。2 求函數(shù)值問(wèn)題例 1 、已知求 f(4).解: (對(duì)于一般情況我們會(huì)選擇代入后解一個(gè)方程組,但當(dāng)方程組較多是解起來(lái)比較麻煩,且易出錯(cuò) ,現(xiàn)以牛頓插值的方法來(lái)解 )由定義知 ,我們可根據(jù) (-1,2),(1,1),(2,1) 三點(diǎn)來(lái)作牛頓插值 由定理 2 知其可精確表示 f(x), 即則由(2)式知:所以3 求范圍問(wèn)題例 2、已知 , 且滿足 ,試求的范圍。解:由公式 (1),現(xiàn)將 f (x) 在 x=1,x=2,x=3 三點(diǎn)作牛頓插值 則得到:再按 (2)得,所以故 maxmin所以

4、得到 :例 3、已知 ,滿足 ,求的范圍。解 :同上將在 x=1,x=2,x=3 點(diǎn)展開(kāi) ,得由已知條件 ,方程的一次項(xiàng)系數(shù)為零 ,則通過(guò)與上式的比 較知 :,按(2)式分別計(jì)算可得到 :,故 max,min, 所以得到 :4 用作證明例 4、已知 ,求證 :|,|,|中至少有一個(gè)不小于 1/2 。 （下轉(zhuǎn)第145 頁(yè) ）（上接第 138 頁(yè)）證明 :同上 ,先做牛頓插值 ,有由已知條件知二次項(xiàng)的系數(shù)為 1,也即 :展開(kāi)即得如果 |,|,|都小于 1/2,則|+2|+|得到矛盾 ,所以原命題成立。5 結(jié)語(yǔ)從上可以看出 ,牛頓插值很好地解決了相關(guān)的題目 ,當(dāng)然 這種方法對(duì)于次數(shù)更高也是同樣適合的 （只要給出的函數(shù)是 多項(xiàng)式函數(shù)即可 ）,上述例對(duì)于高中生來(lái)說(shuō)有一定難度 ,應(yīng)用高 等數(shù)學(xué)的知識(shí)去做卻變的很簡(jiǎn)單。從這里可以看出高等數(shù)學(xué) 的學(xué)習(xí)對(duì)我們中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的指導(dǎo)具有重要的作用。相信可 以作為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中的一個(gè)很好的補(bǔ)充內(nèi)容。參考文獻(xiàn)1 合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)與信息