第14講 靜電場(chǎng)的解法(1)

1、第10講 靜態(tài)場(chǎng)的解法（1）本節(jié)內(nèi)容：1， 靜電場(chǎng)問題的分類與唯一性定理2， 平面鏡像3， 球面鏡像一， 靜電場(chǎng)問題分類：一類是前面討論的已知電荷分布求解場(chǎng)的分布型問題；另一類是由場(chǎng)量所滿足的支配方程以及場(chǎng)量在邊界上的已知條件來(lái)求解場(chǎng)的邊值型問題。因?yàn)殡娢皇且粋€(gè)標(biāo)量函數(shù)，而且由它可以方便地求出描述電場(chǎng)的其它物理量，故邊值問題通常以電位做為研究對(duì)象。邊值問題按其邊界條件不同可分為三類：（1）已知區(qū)域邊界上的位函數(shù)值，即構(gòu)成如下邊值問題： 荻利克萊（Dirichlet）問題（2）已知待求函數(shù)在區(qū)域邊界上的法向?qū)?shù)值，即： Neumann問題（3）區(qū)域邊界的一部分已知位函數(shù)值，另一部分已知法向?qū)?shù)值

2、，即： 混合問題三類邊值問題的解是否唯一？回答是肯定的，有唯一性定理保證。二，場(chǎng)的唯一性定理可以證明，在以上三種邊界條件下，滿足Laplace方程和Poisson方程的電位函數(shù)是唯一的。這就是場(chǎng)的唯一性定理。下面利用格林第一公式來(lái)證明這一定理。 格林第一公式證明：若、都滿足拉氏方程（或Poisson方程），則滿足Laplace方程，即：令格林公式中、都是，則：第一種情況（Dirichlet問題）：、在S上均滿足第一類邊界條件，則 ，而積分為0 ，而在S上。 第二種情況（Neumann問題）：、都滿足則：故右邊=0，同樣可得： 在參考點(diǎn)處，故 第三種情況（Mixed問題）證明與第二種情況類似，略

3、。唯一性定理的意義在于無(wú)論用何種方法找到一個(gè)函數(shù)，既滿足微分方程，又滿足問題特定的邊界條件，則它必是該問題的解。三 鏡像法根據(jù)邊值問題解得唯一性定理，如果我們能找到一個(gè)函數(shù)（1） 既滿足問題的微分方程（2） 又滿足其邊界條件則這個(gè)函數(shù)就是該問題的真解。鏡像法就是應(yīng)用唯一性定理求解靜電場(chǎng)的一種特殊方法。主要用來(lái)求解分布在導(dǎo)體附近的電荷產(chǎn)生的場(chǎng)。例如在實(shí)際工程中，遇到水平架設(shè)的雙線傳輸線的電位，電場(chǎng)計(jì)算問題，當(dāng)導(dǎo)線與地面距離較小時(shí)，要考慮地面的影響，將地面看作時(shí)無(wú)窮大的導(dǎo)體平面，由于導(dǎo)體表面會(huì)查生感應(yīng)電荷，空間的電場(chǎng)會(huì)發(fā)生變化，這時(shí)空間中的電場(chǎng)由原有電荷和感應(yīng)電荷共同產(chǎn)生，這就時(shí)鏡像法的基本原理，

4、鏡像法也是唯一性定理應(yīng)用的典型范例。鏡像法概念：在一定條件下，可以用一個(gè)或多個(gè)位于待求場(chǎng)域邊界以外虛設(shè)的等效電荷來(lái)代替導(dǎo)體表面上感應(yīng)電荷的作用，且保持原有邊界上邊界條件不變，則根據(jù)惟一性定理，空間電場(chǎng)可由原來(lái)的電荷和所有等效電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)疊加得到。這些等效電荷稱為鏡像電荷，這種求解方法稱為鏡像法。 理論依據(jù)：惟一性定理是鏡像法的理論依據(jù)u 應(yīng)注意的問題： 鏡像電荷位于待求場(chǎng)域邊界之外。 將有邊界的不均勻空間處理為無(wú)限大均勻空間，該均勻空間中媒質(zhì)特性與待求場(chǎng)域中一致。 實(shí)際電荷(或電流)和鏡像電荷(或電流)共同作用保持原邊界處的邊界條件不變。 在這一部分將要講解三種鏡像方法，分別是，平面鏡像法，

5、柱面鏡像法和球面鏡像法。1，導(dǎo)體平面的鏡像法設(shè)在無(wú)限大導(dǎo)體平面的上半空間放置一點(diǎn)電荷q，導(dǎo)體接地，電位為0。在計(jì)算上半空間某點(diǎn)P的電位時(shí)，由于導(dǎo)體表面存在與點(diǎn)電荷符號(hào)相反的感應(yīng)電荷，因此不能用無(wú)界空間點(diǎn)電荷的電位公式來(lái)計(jì)算。如果能用一個(gè)點(diǎn)電荷來(lái)等效感應(yīng)電荷的作用，則P點(diǎn)電位的求解就變得很容易了。xyPq-qooxyPqh如果在原電荷關(guān)于導(dǎo)體平面的鏡像位置上放置一等量的相反電荷-q，同時(shí)移去導(dǎo)體，則在上半空間滿足與原問題相同的微分方程，同時(shí)滿足相同的邊界條件，則根據(jù)唯一性定理，這兩個(gè)點(diǎn)電荷在上半空間產(chǎn)生的電位就是原問題的解。由于兩個(gè)點(diǎn)電荷的位置鏡像對(duì)稱，所以此方法稱為鏡像法。點(diǎn)電荷q和-q分別稱

6、為原電荷和像電荷。兩個(gè)點(diǎn)電荷在P點(diǎn)共同產(chǎn)生的電位為：其中 ， 注意, 上述的解僅表示z0 的半空間內(nèi)的電位分布, 而在z0 的半空間是接地導(dǎo)體, 沒有場(chǎng), 并且電位為零, 所以的解僅適用于z0的半空間。 不難驗(yàn)證，上式在上半空間除點(diǎn)電荷q所在位置外，處處滿足拉普拉斯方程，而在y=0平面上等于0，與原問題相同，所以上式就是原問題的解。電位：上半空間的電場(chǎng)強(qiáng)度： 根據(jù)靜電場(chǎng)的邊界條件, 可由電位分布求得導(dǎo)體表面(z=0)的感應(yīng)面電荷密度 導(dǎo)體表面感應(yīng)電荷 導(dǎo)體表面上感應(yīng)電荷總量 導(dǎo)體表面上感應(yīng)電荷對(duì)點(diǎn)電荷的作用力令， 則 所以 無(wú)限大接地導(dǎo)體平板附近點(diǎn)電荷的電場(chǎng)分布鏡像法還可以推廣到更一般的情況：

7、+q1-q1-q2+q2+q3-q3+q1-q2+q3多個(gè)點(diǎn)電荷的鏡像+-+-+-+垂直和水平電偶極子的鏡像分布電荷的鏡像+q-q-q+q+q點(diǎn)電荷對(duì)直角導(dǎo)體拐角的鏡像 例 在電位為0的無(wú)限大導(dǎo)體平面上方距離平面h處沿z方向放置均勻分布的線電荷，密度為，求導(dǎo)體上方的電位。xyP (x, y)ou 解：將無(wú)限長(zhǎng)的線電荷看作無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)電荷的集合。根據(jù)點(diǎn)電荷對(duì)無(wú)限大接地導(dǎo)體平面的鏡像原理，可得到線電荷對(duì)應(yīng)的鏡像電荷仍為平行于導(dǎo)體表面的線電荷，其電荷密度為則待求場(chǎng)域中的電位上半空間的電場(chǎng)例題設(shè)有兩塊接地半無(wú)限大導(dǎo)體平板相交成角, 角滿足n=180°/, n為正整數(shù), 即n=1, 2, 3, ,

8、 交角內(nèi)置一點(diǎn)電荷(或一線電荷)?，F(xiàn)采用鏡像法求角內(nèi)的電場(chǎng)分布。為了不改變?cè)羞吔鐥l件(即導(dǎo)體板處電位為零)和交角內(nèi)的源分布, 試求鏡像的位置, 以及鏡像的個(gè)數(shù)。 解如果兩導(dǎo)體的交角=60° , 45° , , 則也與上述情況相同, 輪流找出鏡像電荷及鏡像電荷的鏡像, 直到最后的鏡像電荷與原電荷重合為止。但是, 只有n為整數(shù)時(shí), 最后鏡像才能和原電荷重合, 鏡像電荷的總數(shù)是 直角形導(dǎo)體平面的鏡像平面導(dǎo)體 45°交角內(nèi)一點(diǎn)電荷的鏡像兩平行導(dǎo)體板正中一點(diǎn)電荷的鏡像分布2，介質(zhì)交界平面的鏡像法在平面的上半空間充滿介電常數(shù)為的介質(zhì)，下半空間充滿介電常數(shù)為的介質(zhì)，在上半空間

9、放一點(diǎn)電荷，要求空間任一點(diǎn)電位。先看上半空間的電位：xyPqo假設(shè)全空間只有一種介質(zhì)，而介質(zhì)分界面上的感應(yīng)電荷對(duì)上半空間電位的貢獻(xiàn)用在原電荷的鏡像位置放一像電荷來(lái)等效，此時(shí)：再看下半空間的電位。xyPo此時(shí)設(shè)全空間只有一種介質(zhì)，分界面上的感應(yīng)電荷對(duì)下半空間電位的貢獻(xiàn)用原電荷位置上放一鏡像電荷來(lái)等效，則原電荷位置上的總電荷為，此時(shí)其中 ，要使這兩個(gè)電位就是原問題的解，在邊界y=0上應(yīng)滿足邊界條件 在y=0上 ， 所以：而所以當(dāng)y=0時(shí)，有 或可解得其中最后的上半空間和下半空間的電位分別為：介質(zhì)平面鏡像場(chǎng)分布圖3，球面鏡像法如圖所示，一個(gè)半徑為的接地導(dǎo)體球，一點(diǎn)電荷位于距球心處，求球外任一點(diǎn)的電位

10、。 如果導(dǎo)體球不接地, 球外任一點(diǎn)電位分布有什么變化? (a) 球面鏡像原問題；(b) 等效問題 解：(一)我們先試探用一個(gè)鏡像電荷等效球面上的感應(yīng)面電荷在球外產(chǎn)生的電位和電場(chǎng)。從對(duì)稱性考慮，鏡像電荷應(yīng)置于球心與電荷的連線上，設(shè)離球心距離為，這樣球外任一點(diǎn)的電位是由電荷與鏡像電荷產(chǎn)生電位的疊加， 即 當(dāng)計(jì)算球面上一點(diǎn)的電位時(shí)， 有 式中、分別是從、到球面上點(diǎn)的距離。在上式中和是待求量。取球面上的點(diǎn)分別位于A、B兩點(diǎn)，可以得到確定和的兩個(gè)方程： 解得可以算出球面上總的感應(yīng)電荷，其位置為。（二）如果導(dǎo)體球不接地且不帶電，可用鏡像法和疊加原理求球外的電位。 點(diǎn)電荷對(duì)不接地導(dǎo)體球的鏡像此時(shí)球面必須是等

11、位面，且導(dǎo)體球上的總感應(yīng)電荷為零。 應(yīng)使用兩個(gè)等效電荷：一個(gè)是； 另一個(gè)是, , 位于球心。 如果導(dǎo)體球不接地，且?guī)щ姾?，即位置和大小同上，的位置也在原點(diǎn)，但 ，即（三）如果導(dǎo)體球不接地，且?guī)щ姾?，在在位置和大小與前述相同，其也在原點(diǎn)，但是其例： 有一接地導(dǎo)體球殼，內(nèi)外半徑分別為和，在球殼內(nèi)外各 有一點(diǎn)電荷和 ，與球心距離分別為和 ，如圖所示。求：球殼外、球殼中和球殼內(nèi)的電位分布。u 球殼外：邊界為r = a2的導(dǎo)體球面，邊界條件為Ø 根據(jù)球面鏡像原理，鏡像電荷 的位置和大小分別為Ø 球殼外區(qū)域任一點(diǎn)電位為 u 球殼中：Ø 球殼中為導(dǎo)體區(qū)域，導(dǎo)體為等位體，球殼中的電位為零u 球殼內(nèi)：邊界為r = a1的導(dǎo)體球面，邊界條件為Ø 根據(jù)球面鏡像原理，鏡像電荷 的位置和大小分別為Ø 球殼內(nèi)區(qū)域任一點(diǎn)電位為 例題：空氣中有兩個(gè)半徑相同(均等于a)的導(dǎo)體球相切，試用球面鏡像法求該孤立導(dǎo)體系統(tǒng)的電容。 解：思路 ,求出電位和電量。1， 設(shè)無(wú)窮遠(yuǎn)處為零點(diǎn)位，導(dǎo)體面的電位為常數(shù)。2， 在導(dǎo)體球的球心處各放點(diǎn)電荷q，由球面鏡像法來(lái)確定所帶的總電荷Q，顯然電位為3， 先考慮右側(cè)電荷在右球面產(chǎn)生的電位，但要考慮到左側(cè)電荷對(duì)右導(dǎo)體球的影響，為維持其等位面必須在右側(cè)球體內(nèi)