44一些常見曲線的參數(shù)方程學(xué)案

1、精品資源課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析1 .定義的應(yīng)用【例1】已知一個(gè)圓的擺線過一定點(diǎn)（1, 0）,請寫出該擺線的參數(shù)方程.一_ x = r俾一sin中），分析:根據(jù)圓的擺線的參數(shù)萬程的表達(dá)式（4為參數(shù)）,可知只需求出其中的y = r（1 _ cos 中）r,也就是說，擺線的參數(shù)方程由圓的半徑唯一確定，因此只需把點(diǎn) （1, 0）代入?yún)?shù)方程求出 r值再代入?yún)?shù)方程的表達(dá)式.解:令 r（1-cos 4 ）=0可得 cos（j）=1.，一 一一一， 1所以（）=2卜兀（k Z）代入可得 x=r（2k ?-sin2k兀）=慚以r= .2 k二又根據(jù)實(shí)際情況可知r是圓的半徑，故r>0.所以應(yīng)有k>0且k

2、 C Z,即k C N .所以所求擺線的參數(shù)方程是1-x =(中-sin 中),（力為參數(shù)）（其中kC N*）.2kn1-y =(1 _ cos 中). 2kn點(diǎn)評:本題易錯(cuò)點(diǎn)是誤把點(diǎn)（1, 0）中的1或0當(dāng)成。的值，代入?yún)?shù)方程中求出x和y的值,再計(jì)算r的值；或者在求出 cos（）=1后，直接得出（）=0從而導(dǎo)致答案不全面.2 .求距離、交點(diǎn)及參數(shù)方程例2已知圓的直徑為 2,其漸開線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程對應(yīng)的曲線上兩點(diǎn)A、B對應(yīng)的參數(shù)分別是二和二，求A、B兩點(diǎn)的距離.3 2分析:首先根據(jù)圓的直彳5可知半徑為 1,寫出漸開線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程， 再根據(jù)A、B對應(yīng)的參 數(shù)代入?yún)?shù)方程可得對應(yīng)的 A、B兩點(diǎn)

3、的坐標(biāo)，然后使用兩點(diǎn)之間的距離計(jì)算公式可得A、B之間的距離.解:根據(jù)條件可知圓的半徑是 1,所以對應(yīng)的漸開線參數(shù)方程是x =cos中+中sin中,y =sin卬一中cos中（。為參數(shù)），分別把冗 jij =一和j =一代入,32可得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A'B（”那么，根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式可得A、B兩點(diǎn)的距離為/33二二、2 3 3 -二八 2 21AB1=（ （6 一2）（6一1）=1 . (13-6.3)二2 -6二 -36 3 63, 6即點(diǎn)A、B之間的距離為1(13 -6 3)二2 -6： -36. 3 63.6溫馨提示本節(jié)主要內(nèi)容是圓的漸開線和擺線的定義與參數(shù)方程.要解決有

4、關(guān)的問題首先要理解這兩個(gè)定義和參數(shù)方程的推導(dǎo)過程，還要牢記兩個(gè)參數(shù)方程.給出圓的半徑要能寫出對應(yīng)的參數(shù)方程，根據(jù)參數(shù)方程能寫出某對應(yīng)參數(shù)的坐標(biāo)，從而再解決其他問題.本例題就是對這些知識(shí)的綜合考查，要注意前后知識(shí)的聯(lián)系.特別是兩點(diǎn)之間的距離公式也要熟記.各個(gè)擊破 類題演練1 寫出半徑為2的基圓的漸開線方程. 解:半徑為2的基圓的漸開線方程為；x =2(cos邛 + 邛 sin 平)，(4為參數(shù)).y =2(sin 中,cos 甲)變式提升1 求擺線3X -2(t -sint),(0 w t w2n直線y=2的交點(diǎn)的直角坐標(biāo).y =2(1 -cost)解:y=2 時(shí),2=2 (1-cost) ,

5、cost=0.0w t & 2-ti t= 一 或一兀22 xi=2(lsin)= -2,X2=2(一乃sin 兀)=3 兀 +2.22，交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(上2, 2), (3兀+2，2).溫馨提示：求交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，要避免出現(xiàn)增根和缺根的情況。類題演練2已知一個(gè)圓的擺線過一定點(diǎn)(2, 0),請寫出當(dāng)圓的半徑最大時(shí)該擺線的參數(shù)方程和對應(yīng)的圓的漸開線的標(biāo)準(zhǔn)方程.解：令 y=0,得 r(1-cos 4 )=0,即得 cos 4 =1.所以 <f)=2k7t (kZ).代入 x=r(2k T-sin2k 兀尸卻得 r= - (k 6 Z). k 二又由實(shí)際可知r>0,所以r=工(keN*).易知，當(dāng)k=1時(shí),r最大，最大值為 工. k 二二代入即可得圓的擺線的參數(shù)方程是1 44x =(中-sin中)，JT'( 4為參數(shù)),y = (1 cos 中) n圓的漸開線的參數(shù)方程是1. .x = (cos、-:sin ),7r( 4為參數(shù)).y (sin ；： - cos )ji變式提升2如下圖，ABCD是邊長為1的正方形，曲線 AEFGH 叫做 正方形的漸開線”，其中AE、EF、FG、GH-的圓心依次按 B、C、D、A循環(huán)，它們依次相連接，則曲線 AEFGH的長是D.6兀A.3兀B.4兀解析：如題圖根據(jù)漸開線的定義可知，檢是半徑為1的1圓周長，長度為二，繼續(xù)