立體幾何大題綜合四大類型

1、如果您需要使用本文檔，請(qǐng)點(diǎn)擊下載按鈕下載!立體幾何四大綜合類型 向量的常用方法：利用法向量求點(diǎn)到面的距離定理：如圖，設(shè)n是平面的法向量，ab是平面的一條射線，其中，則點(diǎn)b到平面的距離為.異面直線間的距離 (是兩異面直線，其公垂向量為，分別是上任一點(diǎn)，為間的距離).直線與平面所成角(為平面的法向量).利用法向量求二面角的平面角定理：設(shè)分別是二面角中平面的法向量，則所成的角就是所求二面角的平面角或其補(bǔ)角大?。ǚ较蛳嗤瑒t為補(bǔ)角，反方，則為其夾角）.二面角的平面角或（，為平面，的法向量）.考點(diǎn)一。角與距離問(wèn)題1直線和平面所成的角此類題主要考查直線與平面所成的角的作法、證明以及計(jì)算.線面角在空間角中占

2、有重要地位，是高考的?？純?nèi)容.例1. 四棱錐中，底面為平行四邊形，側(cè)面底面已知，（）證明；（）求直線與平面所成角的大小的余弦值考查目的：本小題主要考查直線與直線,直線與平面的位置關(guān)系，二面角的大小，點(diǎn)到平面的距離等知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力 1 / 241如果您需要使用本文檔，請(qǐng)點(diǎn)擊下載按鈕下載!dbcas解答過(guò)程：解法一：（）作，垂足為，連結(jié)，由側(cè)面底面，得底面因?yàn)椋?，又，故為等腰直角三角形，由三垂線定理，得（）由（）知，依題設(shè)，故，由，得，的面積連結(jié)，得的面積設(shè)到平面的距離為，由于，得，解得設(shè)與平面所成角為，則所以，直線與平面所成的角的為余弦值為：解法二：（）作，垂

3、足為，連結(jié)，由側(cè)面底面，得平面因?yàn)?，所以dbcas又，為等腰直角三角形，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正向，建立直角坐標(biāo)系，所以（）取中點(diǎn)，2 / 242如果您需要使用本文檔，請(qǐng)點(diǎn)擊下載按鈕下載!連結(jié)，取中點(diǎn)，連結(jié)，與平面內(nèi)兩條相交直線，垂直所以平面，與的夾角記為，與平面所成的角記為，則與互余，所以，直線與平面所成的角的為余弦值為：小結(jié)：求直線與平面所成的角時(shí)，應(yīng)注意的問(wèn)題是（1）先判斷直線和平面的位置關(guān)系；（2）當(dāng)直線和平面斜交時(shí)，常用以下步驟：構(gòu)造作出斜線與射影所成的角，證明論證作出的角為所求的角，計(jì)算常用解三角形的方法求角，結(jié)論點(diǎn)明直線和平面所成的角的值.2 點(diǎn)到平面的距離求點(diǎn)到平面的距離就是

4、求點(diǎn)到平面的垂線段的長(zhǎng)度，其關(guān)鍵在于確定點(diǎn)在平面內(nèi)的垂足，當(dāng)然別忘了轉(zhuǎn)化法與等體積法的應(yīng)用.例2如圖，正三棱柱的所有棱長(zhǎng)都為，為中點(diǎn)abcd（）求證：平面；（）求二面角的大??；（）求點(diǎn)到平面的距離考查目的：本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系，二面角的大小，點(diǎn)到平面的距離等知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力 解答過(guò)程：解法一：（）取中點(diǎn)，連結(jié)abcdof為正三角形，3 / 243如果您需要使用本文檔，請(qǐng)點(diǎn)擊下載按鈕下載!正三棱柱中，平面平面，平面連結(jié)，在正方形中，分別為的中點(diǎn)， ， 在正方形中， 平面（）設(shè)與交于點(diǎn)，在平面中，作于，連結(jié)，由（）得平面， 為二面角的平面角在中，由等面積

5、法可求得，又， 所以二面角的大小為（）中，在正三棱柱中，到平面的距離為設(shè)點(diǎn)到平面的距離為由，得，點(diǎn)到平面的距離為解法二：（）取中點(diǎn)，連結(jié)為正三角形，在正三棱柱中，平面平面，平面xzabcdofy取中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，4 / 244如果您需要使用本文檔，請(qǐng)點(diǎn)擊下載按鈕下載!，平面（）設(shè)平面的法向量為， ，令得為平面的一個(gè)法向量由（）知平面，為平面的法向量，二面角的大小為（）由（），為平面法向量，點(diǎn)到平面的距離小結(jié)：本例中（）采用了兩種方法求點(diǎn)到平面的距離.解法二采用了平面向量的計(jì)算方法，把不易直接求的b點(diǎn)到平面的距離轉(zhuǎn)化為容易求的點(diǎn)k到平面的距離的計(jì)算方法，

6、這是數(shù)學(xué)解題中常用的方法；解法一采用了等體積法，這種方法可以避免復(fù)雜的幾何作圖，顯得更簡(jiǎn)單些，因此可優(yōu)先考慮使用這一種方法.3 直線到平面的距離此類題目再加上平行平面間的距離，主要考查點(diǎn)面、線面、面面距離間的轉(zhuǎn)化.例3 如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，g是的中點(diǎn)，求bd到平面的距離.bacdogh思路啟迪：把線面距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離，再用點(diǎn)到平面距離的方法求解.解答過(guò)程：解析一 平面，上任意一點(diǎn)到平面的距離皆為所求，以下求點(diǎn)o平面的距離,5 / 245如果您需要使用本文檔，請(qǐng)點(diǎn)擊下載按鈕下載!，平面,又平面平面，兩個(gè)平面的交線是,作于h，則有平面，即oh是o點(diǎn)到平面的距離.在中，.又.即bd到平面的

7、距離等于.解析二 平面，上任意一點(diǎn)到平面的距離皆為所求，以下求點(diǎn)b平面的距離.設(shè)點(diǎn)b到平面的距離為h，將它視為三棱錐的高，則, 即bd到平面的距離等于.小結(jié)：當(dāng)直線與平面平行時(shí)，直線上的每一點(diǎn)到平面的距離都相等，都是線面距離.所以求線面距離關(guān)鍵是選準(zhǔn)恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離.本例解析一是根據(jù)選出的點(diǎn)直接作出距離；解析二是等體積法求出點(diǎn)面距離.4 異面直線的距離此類題目主要考查異面直線的距離的概念及其求法，考綱只要求掌握已給出公垂線段的異面直線的距離.例4已知三棱錐，底面是邊長(zhǎng)為的正三角形，棱的長(zhǎng)為2，且垂直于底面.分別為的中點(diǎn)，求cd與se間的距離.思路啟迪：由于異面直線cd與se的公垂線不易

8、尋找，所以設(shè)法將所求異面直線的距離，轉(zhuǎn)化成求直線與平面的距離，再進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成求點(diǎn)到平面的距離7 / 247如果您需要使用本文檔，請(qǐng)點(diǎn)擊下載按鈕下載!.解答過(guò)程： 如圖所示，取bd的中點(diǎn)f，連結(jié)ef，sf，cf，為的中位線，面,到平面的距離即為兩異面直線間的距離.又線面之間的距離可轉(zhuǎn)化為線上一點(diǎn)c到平面的距離，設(shè)其為h，由題意知，,d、e、f分別是ab、bc、bd的中點(diǎn)，在rt中，在rt中，又由于，即，解得故cd與se間的距離為.小結(jié)：通過(guò)本例我們可以看到求空間距離的過(guò)程，就是一個(gè)不斷轉(zhuǎn)化的過(guò)程.5利用空間向量求空間距離和角眾所周知，利用空間向量求空間距離和角的套路與格式固定.當(dāng)掌握了用向量的方

9、法解決立體幾何問(wèn)題這套強(qiáng)有力的工具時(shí)，不僅會(huì)降低題目的難度，而且使得作題具有很強(qiáng)的操作性.例5如圖，已知是棱長(zhǎng)為的正方體，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且（1）求證：四點(diǎn)共面； 7 / 247如果您需要使用本文檔，請(qǐng)點(diǎn)擊下載按鈕下載!（2）若點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，垂足為，求證：平面； （3）用表示截面和側(cè)面所成的銳二面角的大小，求命題意圖：本小題主要考查平面的基本性質(zhì)、線線平行、線面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算，考查空間想象能力、邏輯推理能力和運(yùn)算能力 過(guò)程指引：解法一：（1） 如圖，在上取點(diǎn)，使，連結(jié)，則，因?yàn)?，所以四邊形，都為平行四邊形從而，又因?yàn)?，所以，故四邊形是平行四邊形，由此推知，從而因此，四點(diǎn)共面

10、（2）如圖，又，所以，因?yàn)?，所以為平行四邊形，從而又平面，所以平面?）如圖，連結(jié)因?yàn)椋云矫?，得于是是所求的二面角的平面角，即因?yàn)?，所以?解法二：8 / 248如果您需要使用本文檔，請(qǐng)點(diǎn)擊下載按鈕下載!（1）建立如圖所示的坐標(biāo)系，則，所以，故，共面又它們有公共點(diǎn)，所以四點(diǎn)共面（2）如圖，設(shè)，則，而，由題設(shè)得，得因?yàn)椋校?，所以，從而，故平面?）設(shè)向量截面，于是，而，得，解得，所以又平面，所以和的夾角等于或（為銳角）于是故考點(diǎn)二：三視圖問(wèn)題例6 某幾何體的三視圖如圖所示，p是正方形abcd對(duì)角線的交點(diǎn)，g是pb的中點(diǎn)。 （）根據(jù)三視圖，畫出該幾何體的直觀圖； （）在直觀圖中，證明：pd

11、/面agc； 證明：面pbdagc求面pab與面pbc的夾角的余弦值。2,4,6解：（）該幾何體的直觀圖如圖所示。 3分（2）證明：連結(jié)ac，bd交于點(diǎn)o，連結(jié)og，因?yàn)間為pb的中點(diǎn)，o為bd的中點(diǎn)，所以og/pd。又og面agc，pd面agc，所以pd/面agc。 文8分，理6分9 / 249如果您需要使用本文檔，請(qǐng)點(diǎn)擊下載按鈕下載!連結(jié)po，由三視圖，po面abcd，所以aopo。 又aobo，所以ao面pbd。 因?yàn)閍o面agc，所以面pbd面agc 文12分，理9分（理）建立如圖所示坐標(biāo)系，由三視圖知，po=，ab=2，ac=2，ao=，p（0，0，），b（0，0），a（，0，0），

12、c（，0，0），設(shè)面pba的法向量為n=（x，y，z）令x=1得y=1，z=1。n=（1，1，1）設(shè)面pbc的法向量為）令m=（1，1，1）。設(shè)面pab與pbc的夾角為，則 所以面pab與pbc的夾角為余弦值為 理12分練習(xí)1已知幾何體abced的三視圖如圖所示，其中俯視圖和側(cè)視圖都是腰長(zhǎng)為4的等腰直角三角形，正視圖為直角梯形（1）求此幾何體的體積v的大小;（2）求異面直線de與ab所成角的余弦值；（3）試探究在de上是否存在點(diǎn)q，使得aqbq并說(shuō)明理由.解：（1）由該幾何體的三視圖知面,且ec=bc=ac=4 ，bd=1，10 / 2410如果您需要使用本文檔，請(qǐng)點(diǎn)擊下載按鈕下載!即該幾何體

13、的體積v為16-3分（2）解法1:過(guò)點(diǎn)b作bf/ed交ec于f，連結(jié)af，則fba或其補(bǔ)角即為異面直線de與ab所成的角-5分在baf中，ab=，bf=af=即異面直線de與ab所成的角的余弦值為-7分解法2：以c為原點(diǎn)，以ca，cb，ce所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系則a（4，0，0），b（0，4，0），d（0，4，1），e（0，0，4）， 異面直線de與ab所成的角的余弦值為（3）解法1:在de上存在點(diǎn)q，使得aqbq.- -8分取bc中點(diǎn)o，過(guò)點(diǎn)o作oqde于點(diǎn)q，則點(diǎn)q滿足題設(shè).- -10分連結(jié)eo、od，在rteco和rtobd中 -11分,以o為圓心、以bc為直徑的圓與d

14、e相切切點(diǎn)為q面,面 面 -13分面acq-1411 / 2411如果您需要使用本文檔，請(qǐng)點(diǎn)擊下載按鈕下載!分解法2: 以c為原點(diǎn)，以ca，cb，ce所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)滿足題設(shè)的點(diǎn)q存在,其坐標(biāo)為（0，m，n），則，aqbq - 點(diǎn)q在ed上，存在使得-代入得，解得滿足題設(shè)的點(diǎn)q存在，其坐標(biāo)為考點(diǎn)三：折疊與展開(kāi)問(wèn)題例7.如圖，已知abcd是上、下底邊長(zhǎng)分別為2和6，高為的等腰梯形，將它沿對(duì)稱軸oo1折成直二面角，（）證明：acbo1；（）求二面角oaco1的大小。abcdoo1aboco1daboco1dxyz8.解法一（i）證明 由題設(shè)知oaoo1，oboo1.所以a

15、ob是所折成的直二面角的平面角，即oaob. 故可以o為原點(diǎn)，oa、ob、oo1所在直線分別為軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖3，則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)是a（3，0，0），b（0，3，0），c（0，1，）圖3o1（0，0，）.從而12 / 2412如果您需要使用本文檔，請(qǐng)點(diǎn)擊下載按鈕下載!所以acbo1. （ii）解：因?yàn)樗詁o1oc，由（i）acbo1，所以bo1平面oac，是平面oac的一個(gè)法向量.設(shè)是0平面o1ac的一個(gè)法向量，由 得. 設(shè)二面角oaco1的大小為，由、的方向可知，>，aboco1d所以cos，>=即二面角oaco1的大小是解法二（i）證明 由題設(shè)知oaoo

16、1，oboo1， 所以aob是所折成的直二面角的平面角，圖4即oaob. 從而ao平面obco1，oc是ac在面obco1內(nèi)的射影.因?yàn)?，所以oo1b=60°，o1oc=30°，從而ocbo1由三垂線定理得acbo1.（ii）解 由（i）acbo1，ocbo1，知bo1平面aoc.設(shè)oco1b=e，過(guò)點(diǎn)e作efac于f，連結(jié)o1f（如圖4），則ef是o1f在平面aoc內(nèi)的射影，由三垂線定理得o1fac.所以o1fe是二面角oaco1的平面角. 由題設(shè)知oa=3，oo1=，o1c=1，所以，從而，又o1e=oo1·sin30°=，所以 即二面角oaco1

17、的大小是13 / 2413如果您需要使用本文檔，請(qǐng)點(diǎn)擊下載按鈕下載!練習(xí)2如圖， 在矩形中，點(diǎn)分別在線段上，.沿直線將 翻折成，使平面. （）求二面角的余弦值；（）點(diǎn)分別在線段上，若沿直線將四邊形向上翻折，使與重合，求線段的長(zhǎng)。解：（）取線段ef的中點(diǎn)h，連結(jié)，因?yàn)?及h是ef的中點(diǎn)，所以,又因?yàn)槠矫嫫矫?如圖建立空間直角坐標(biāo)系a-xyz則（2，2，），c（10，8，0），f（4，0，0），d（10，0，0）.故=（-2，2，2），=（6，0，0）.設(shè)=（x,y,z）為平面的一個(gè)法向量，所以 取，則。又平面的一個(gè)法向量，故。所以二面角的余弦值為（）解：設(shè), 因?yàn)榉酆?，與重合，所以，而， 得，

18、經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)點(diǎn)在線段上，所以。14 / 2414如果您需要使用本文檔，請(qǐng)點(diǎn)擊下載按鈕下載!考點(diǎn)四：函數(shù)問(wèn)題例8. 如圖，在交ac于 點(diǎn)d,現(xiàn)將（1）當(dāng)棱錐的體積最大時(shí)，求pa的長(zhǎng)；（2）若點(diǎn)p為ab的中點(diǎn)，e為例8解：（1）設(shè)，則 令 則15 / 2415如果您需要使用本文檔，請(qǐng)點(diǎn)擊下載按鈕下載! 單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減由上表易知：當(dāng)時(shí)，有取最大值。證明：作得中點(diǎn)f，連接ef、fp 由已知得： 為等腰直角三角形， 所以.練習(xí)3：如圖，圓柱內(nèi)有一個(gè)三棱柱，三棱柱的底面為圓柱底面的內(nèi)接三角形，且ab是圓o直徑。（）證明：平面平面；（）設(shè)ab=，在圓柱內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)，記該點(diǎn)取自于三棱柱內(nèi)的概率為。（

19、i）當(dāng)點(diǎn)c在圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求的最大值；（ii）記平面與平面所成的角為，當(dāng)取最大值時(shí)，求的值?！久}意圖】本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，以及幾何體的體積、幾何概型等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、必然與或然思想?！窘馕觥浚ǎ┮?yàn)槠矫鎍bc，平面abc，所以，因?yàn)閍b是圓o直徑，所以，又，所以平面，而平面，所以平面平面。（）（i）設(shè)圓柱的底面半徑為，則ab=，故三棱柱的體積為=，又因?yàn)?，所?，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，16 / 2416如果您需要使用本文檔，請(qǐng)點(diǎn)擊下載按鈕下載!從而，而圓柱的體積，故=當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)

20、等號(hào)成立，所以的最大值是。（ii）由（i）可知，取最大值時(shí)，于是以o為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），則c（r，0，0），b（0，r，0），（0，r，2r），因?yàn)槠矫?，所以是平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的法向量，由，故，取得平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)椋?。練?xí)4如圖（甲），在直角梯形abed中，ab/de，abbe，abcd,且bc=cd,ab=2,f、h、g分別為ac ,ad ,de的中點(diǎn)，現(xiàn)將acd沿cd折起，使平面acd平面cbed,如圖（乙）（1）求證：平面fhg/平面abe；（2）記表示三棱錐bace 的體積，求的最大值；（3）當(dāng)取得最大值時(shí)，求二面角dabc的余弦值解：（1）證明

21、：由圖（甲）結(jié)合已知條件知四邊形cbed為正方形如圖（乙）f、h、g分別為ac , ad,de的中點(diǎn)fh/cd, hg/ae-1分cd/be fh/be面，面面-3分同理可得面又 平面fhg/平面abe-4分（2）平面acd平面cbed 且accd 平面cbed-5分17 / 2417如果您需要使用本文檔，請(qǐng)點(diǎn)擊下載按鈕下載! （）-7分解法1：,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“”的最大值為-9分解法2：，令得（不合舍去）或當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)有最大值，（3）解法1：以點(diǎn)c為坐標(biāo)原點(diǎn)，cb為x軸建立空間直角坐標(biāo)系如右圖示：由（2）知當(dāng)取得最大值時(shí)，即bc=這時(shí)ac=,-10分平面acb的法向量設(shè)平面abd的法向量為

22、,-11分由,得，令得-12分設(shè)二面角dabc為，則-14分解法2：由（2）知當(dāng)取得最大值時(shí)，即bc=這時(shí)ac=，從而過(guò)點(diǎn)c作cmab于m，連結(jié)md 面18 / 2418如果您需要使用本文檔，請(qǐng)點(diǎn)擊下載按鈕下載!面 面面 是二面角dabc的平面角由得在rtmcd中 解法3：設(shè)二面角dabc為,且 面abc為abd在面abc上的投影 ,又o為bd的中點(diǎn) , =.練習(xí)5：如圖，在四棱錐pabcd中，pa底面abcd,dab為直角，abcd，ad=cd=2ab, e、f分別為pc、cd的中點(diǎn).（）試證：cd平面bef；（）設(shè)pak·ab,且二面角e-bd-c的平面角大于,求k的取值范圍.解

23、法一：（）證：由已知dfab且dad為直角，故abfd是矩形，從而cdbf.又pa底面abcd,cdad，故由三垂線定理知cdpd.在pdc中，e、f分別pc、cd的中點(diǎn)，故efpd,從而cdef,由此得cd面bef. （）連結(jié)ac交bf于g.易知g為ac的中點(diǎn).連接eg,則在pac中易知egpa.又因pa底面abcd,故eg底面abcd.在底面abcd中，過(guò)g作ghbd,垂足為h,連接eh.由三垂線定理知ehbd.從而ehg為二面角e-bd-c的平面角.19 / 2419如果您需要使用本文檔，請(qǐng)點(diǎn)擊下載按鈕下載!設(shè)ab=a,則在pac中，有eg=pa=ka.以下計(jì)算gh，考察底面的平面圖.連

24、結(jié)gd.因sgbd=bd·gh=gb·df.故gh=.在abd中，因?yàn)閍ba,ad=2a,得bd=a.而gb=fb=ad=a，df=ab,從而得gh= 因此tanehg=由k0知是銳角，故要使，必須tan=解之得，k的取值范圍為k考點(diǎn)五：探索性問(wèn)題例9： 如圖，已知四棱錐sabcd的底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，s在底面上的射影o落在正方形abcd內(nèi)，且o到ab、ad的距離分別為2和1.（i）求證是定值； （ii）已知p是sc的中點(diǎn)，且so=3，問(wèn)在棱sa上是否存在一點(diǎn)q，使得異面直線op與bq所成的角為90°？若存在，請(qǐng)給出證明，并求出aq的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

25、 解：法一：（i）以o為坐標(biāo)原點(diǎn)，以os所在直線為oz軸，過(guò)o且平行于ad的直線為ox軸.過(guò)o且平行于ab的直線為oy軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系1分 設(shè)s（0，0，z）（z>0，zr） 則 20 / 2420如果您需要使用本文檔，請(qǐng)點(diǎn)擊下載按鈕下載! 即為定值. （ii）由（i）建立的空間直角坐標(biāo)系可知 a（2，1，0），b（2，3，0）c（2，3，0），s（0，0，3）p（1，）設(shè)點(diǎn)q（x，y，z），則存在使12分法二：（i）證明：在sdc內(nèi)，作secd交cd于e，連結(jié)oe1分so平面abcd socd cd平面soe sooeoe/ad de=1從而ce=3即為定值. 練習(xí)6： 如圖，三棱柱abca1b1c1中，aa1面abc，bcac，bc=ac=2，aa1=3，d為ac的中點(diǎn). （）求證：ab1/面bdc1； （）求二面角c1bdc的余弦值； （）在側(cè)棱aa1上是否存在點(diǎn)p，使得cp面bdc1？并證明你的結(jié)論.（i）證明： 連接b1c，與bc1相交于o，連接od bcc1b1是矩形，o是b1c的中點(diǎn).又d是ac的中點(diǎn)，od/ab1.ab1面bdc1，od面bdc1a