2018人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)第22章 二次函數(shù)y=ax2的圖象和性質(zhì)

1、二次函數(shù)y=ax2的圖象和性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)：學(xué)習(xí)目標(biāo)： 1知道二次函數(shù)的圖象是一條拋物線；知道二次函數(shù)的圖象是一條拋物線； 2會(huì)畫(huà)二次函數(shù)會(huì)畫(huà)二次函數(shù)yax2的圖象；的圖象； 3掌握二次函數(shù)掌握二次函數(shù)yax2的性質(zhì)，并會(huì)靈活應(yīng)用的性質(zhì)，并會(huì)靈活應(yīng)用 一般地一般地,形如形如 y=axy=ax2 2+bx+c(a+bx+c(a、b b、c c為常數(shù)為常數(shù),a0),a0)的函數(shù)的函數(shù),叫做二次函數(shù)叫做二次函數(shù).其中其中,x是自變量是自變量,a,b,c分別是函分別是函數(shù)表達(dá)式的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)數(shù)表達(dá)式的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).二次函數(shù)二次函數(shù): : 下列哪些函數(shù)是二次函數(shù)？哪些是一

2、次函數(shù)？下列哪些函數(shù)是二次函數(shù)？哪些是一次函數(shù)？(1) y=3x-l (2) y=2x7 (4) y=x-2 (5) y=(x+3)-x (6) y=3(x-1)+1一次函數(shù)的圖象是一條一次函數(shù)的圖象是一條_，(2) 通常怎樣畫(huà)一個(gè)函數(shù)的圖象？通常怎樣畫(huà)一個(gè)函數(shù)的圖象？直線直線列表、描點(diǎn)、連線列表、描點(diǎn)、連線(3) 二次函數(shù)的圖象是什么形二次函數(shù)的圖象是什么形 狀呢？狀呢？ 結(jié)合結(jié)合圖象圖象討論討論性質(zhì)性質(zhì)是是數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合的研究函數(shù)的重要方法我們得從的研究函數(shù)的重要方法我們得從最簡(jiǎn)單的二次函數(shù)開(kāi)始逐步深入地討論一般二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)最簡(jiǎn)單的二次函數(shù)開(kāi)始逐步深入地討論一般二次函數(shù)的圖象和性

3、質(zhì)知識(shí)回顧知識(shí)回顧x x -3-3 -2 -2 -1 -10 01 1 2 23 3y=xy=x2 2畫(huà)函數(shù)畫(huà)函數(shù)y=xy=x2 2的圖像的圖像解解: (1) : (1) 列表列表9 94 41 10 01 14 49 9(2) (2) 描點(diǎn)描點(diǎn)(3) (3) 連線連線1 2 3 4 5x12345678910yo-1-2-3-4-5根據(jù)表中根據(jù)表中x,yx,y的數(shù)值在的數(shù)值在坐標(biāo)平面中描點(diǎn)坐標(biāo)平面中描點(diǎn)(x,y),(x,y),再用平滑曲線順次連再用平滑曲線順次連接各點(diǎn)接各點(diǎn), ,就得到就得到y(tǒng)=xy=x2 2的的圖像圖像. . 還記得如何用還記得如何用描點(diǎn)法畫(huà)一個(gè)函數(shù)描點(diǎn)法畫(huà)一個(gè)函數(shù)的圖像嗎

4、的圖像嗎? ?y=xy=x2 2探究函數(shù)探究函數(shù)y=ax2的圖像的圖像x x -3-3 -2 -2 -1 -10 01 1 2 23 3y=-xy=-x2 2畫(huà)函數(shù)畫(huà)函數(shù)y=y=x x2 2的圖像的圖像解解:(1) :(1) 列表列表 -9-9-4-4-1 -10 0-1 -1-4-4-9-9 (2) (2) 描點(diǎn)描點(diǎn)(3) (3) 連線連線 根據(jù)表中根據(jù)表中x,yx,y的數(shù)值在的數(shù)值在坐標(biāo)平面中描點(diǎn)坐標(biāo)平面中描點(diǎn)(x,y),(x,y),再用平滑曲線順次連接再用平滑曲線順次連接各點(diǎn)各點(diǎn), ,就得到就得到y(tǒng)=-xy=-x2 2的圖的圖像像. .1 2 3 4 5x-1-2-3-4-5-6-7-8

5、-91yo-1-2-3-4-5-10y=y=x x2 2xyoxyo 從圖像可以看出從圖像可以看出, ,二次函數(shù)二次函數(shù)y=xy=x2 2和和y=y=x x2 2的圖像都的圖像都是一條曲線是一條曲線, ,它的形狀類似于投籃球或投擲鉛球時(shí)球在它的形狀類似于投籃球或投擲鉛球時(shí)球在空中所經(jīng)過(guò)的路線空中所經(jīng)過(guò)的路線. .這樣的曲線叫做這樣的曲線叫做拋物線拋物線. .y=xy=x2 2的圖像叫做拋物線的圖像叫做拋物線y=xy=x2 2. .y=y=x x2 2的圖像叫做拋物線的圖像叫做拋物線y=y=x x2 2. . 實(shí)際上實(shí)際上, ,二次函數(shù)的圖像二次函數(shù)的圖像都是都是拋物線拋物線. .它們的它們的開(kāi)

6、口向上開(kāi)口向上或者或者向下向下. .一般地一般地, ,二次函數(shù)二次函數(shù)y=axy=ax2 2+bx+c +bx+c 的圖像叫做拋物線的圖像叫做拋物線y=axy=ax2 2+bx+c.+bx+c. 還可以看出還可以看出, ,二次函數(shù)二次函數(shù)y=xy=x2 2和和y=y=x x2 2的圖像的圖像都是都是軸對(duì)稱圖形軸對(duì)稱圖形, ,y y軸是它們的對(duì)稱軸軸是它們的對(duì)稱軸. .拋物線拋物線與與對(duì)稱軸對(duì)稱軸的的交點(diǎn)交點(diǎn)(0,0)(0,0)叫做拋物線的叫做拋物線的頂點(diǎn)頂點(diǎn). .拋物線拋物線y=xy=x2 2的的頂點(diǎn)頂點(diǎn)(0,0)(0,0)是它的是它的最低點(diǎn)最低點(diǎn). .拋物線拋物線y=y=x x2 2的的頂點(diǎn)

7、頂點(diǎn)(0,0)(0,0)是它的是它的最高點(diǎn)最高點(diǎn). .y=xy=x2 2y=y=x x2 2這條拋物線關(guān)于這條拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱，軸對(duì)稱，y軸就軸就 是它的是它的對(duì)稱軸對(duì)稱軸. 2yx對(duì)稱軸、頂點(diǎn)、最低點(diǎn)、最高點(diǎn)對(duì)稱軸、頂點(diǎn)、最低點(diǎn)、最高點(diǎn)對(duì)稱軸與拋物對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)叫做線的交點(diǎn)叫做拋物線的拋物線的頂點(diǎn)頂點(diǎn). 拋物線拋物線 y=x2在在x軸上方軸上方(除頂點(diǎn)外除頂點(diǎn)外)，頂點(diǎn)是它的，頂點(diǎn)是它的最最低點(diǎn)低點(diǎn)，開(kāi)口向上，并且向上，開(kāi)口向上，并且向上無(wú)限伸展無(wú)限伸展; 當(dāng)當(dāng)x=0時(shí)時(shí),函數(shù)函數(shù) y的值最小，的值最小，最小值是最小值是0.2yx在對(duì)稱軸的左側(cè)在對(duì)稱軸的左側(cè),y,y隨著隨著x x的增

8、大而減小的增大而減小. . 在對(duì)稱軸的右側(cè)在對(duì)稱軸的右側(cè), y, y隨著隨著x x的增大而增大的增大而增大. . 2yxy拋物線拋物線 y= -x2在在x軸下方軸下方(除頂點(diǎn)外除頂點(diǎn)外)，頂點(diǎn)，頂點(diǎn)是它的是它的最高點(diǎn)最高點(diǎn)，開(kāi)口向下，并且向下無(wú)限伸展，開(kāi)口向下，并且向下無(wú)限伸展，當(dāng)當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)y的值最大，最大值是的值最大，最大值是0.在對(duì)稱軸的左側(cè)在對(duì)稱軸的左側(cè),y,y隨著隨著x x的增大而增大的增大而增大. . 在對(duì)稱軸的右側(cè)在對(duì)稱軸的右側(cè), y, y隨著隨著x x的增大而減小的增大而減小. . 2xy2xy 拋物線拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸對(duì)稱軸位置位置開(kāi)口方向開(kāi)口方向增減性

9、增減性最值最值y = x2y = - x2（0，0）（0，0）y軸軸y軸軸 在在x軸上方軸上方(除頂點(diǎn)外除頂點(diǎn)外) 在在x軸下方軸下方( 除頂點(diǎn)外除頂點(diǎn)外)向上向上向下向下當(dāng)當(dāng)x=0時(shí)時(shí),最小值為最小值為0當(dāng)當(dāng)x=0時(shí)時(shí),最大值為最大值為0在對(duì)稱軸的左側(cè)在對(duì)稱軸的左側(cè),y,y隨著隨著x x的增大而減小的增大而減小. . 在對(duì)稱軸的右側(cè)在對(duì)稱軸的右側(cè), y, y隨著隨著x x的增大而增大的增大而增大. . 在對(duì)稱軸的左側(cè)在對(duì)稱軸的左側(cè),y,y隨著隨著x x的增大而增大的增大而增大. . 在對(duì)稱軸的右側(cè)在對(duì)稱軸的右側(cè), y, y隨著隨著x x的增大而減小的增大而減小. . y = x2、y= -

10、x2 在同一坐標(biāo)系中作二次函數(shù)在同一坐標(biāo)系中作二次函數(shù)y= x2和和y=2x2的圖象，會(huì)是什么樣的圖象，會(huì)是什么樣? x x -4-4-3-3-2 -2 -1 -10 01 1 2 23 34 4y= xy= x2 2例例1. 1.在同一直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)y= xy= x2 2和和y=2xy=2x2 2的圖像的圖像解解:(1) :(1) 列表列表(2) (2) 描點(diǎn)描點(diǎn)(3) (3) 連線連線1 2 3 4 5x12345678910yo-1-2-3-4-51 12 2x x-2-2-1.5-1.5-1 -1 -0.5-0.50 00.50.51 11.51.52

11、2y=2xy=2x2 28 82 2 0.50.5 0 00.50.5 2 24.54.58 8 4.54.58 82 20.50.50 00.50.52 24.54.58 84.54.51 12 2 函數(shù)函數(shù)y= xy= x2 2,y=2x,y=2x2 2的圖像的圖像與函數(shù)與函數(shù)y=xy=x2 2( (圖中虛線圖形圖中虛線圖形) )的圖像相比的圖像相比, ,有什么共同點(diǎn)有什么共同點(diǎn)和不同點(diǎn)和不同點(diǎn)? ?1 12 222xy221xyt x( ) = x xu x( ) = 2xx頂點(diǎn)坐標(biāo)頂點(diǎn)坐標(biāo)例例2. .畫(huà)出函數(shù)畫(huà)出函數(shù)y=xy=x2 2、y=2xy=2x2 2、y= xy= x2 2的圖

12、象：的圖象：1 12 2y=xy=x2 2y=2xy=2x2 2y= xy= x2 21 12 2a0，開(kāi)口開(kāi)口都向上都向上;對(duì)稱軸對(duì)稱軸都是都是y軸軸;增減性增減性相同相同只是只是開(kāi)口開(kāi)口大小大小不同不同二次項(xiàng)系數(shù)越大，二次項(xiàng)系數(shù)越大，開(kāi)口越小開(kāi)口越小頂點(diǎn)頂點(diǎn)都是原點(diǎn)都是原點(diǎn)(0,0)1 2 3 4 5x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yo-1-2-3-4-5-10 x x-4-4-3-3-2 -2 -1 -10 01 1 2 23 34 4在同一直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)y=y= x x2 2和和y=y=2x2x2 2的圖像的圖像解解:(1):(1)列表列表 (2

13、) (2)描點(diǎn)描點(diǎn)(3)(3)連線連線1 12 2x x -2-2-1.5-1.5-1 -1 -0.5-0.50 00.50.51 11.51.52 2y=y=2x2x2 2-8-8-2-2 -0.5-0.5 0 0 -0.5-0.5 -2-2-4.5-4.5-8-8-4.5-4.5-8-8-2-2 -0.5-0.50 0 -0.5-0.5 -2-2-4.5-4.5-8-8-4.5-4.5 函數(shù)函數(shù)y=- xy=- x2 2,y=-2x,y=-2x2 2的圖像的圖像與函數(shù)與函數(shù)y=y=x x2 2( (圖中虛線圖形圖中虛線圖形) )的圖像相比的圖像相比, ,有什么共同點(diǎn)和不有什么共同點(diǎn)和不同點(diǎn)

14、同點(diǎn)? ?1 12 21 12 2 y= - x222xy 221xyf1x( ) = -2xxg1x( ) = -12xx例例3. .畫(huà)出函數(shù)畫(huà)出函數(shù)y=-xy=-x2 2、y=-2xy=-2x2 2、y=- xy=- x2 2的圖象：的圖象：1 12 2y=-xy=-x2 2y=-2xy=-2x2 2y=- xy=- x2 21 12 2a 0a0時(shí)時(shí), ,拋物線的開(kāi)口向上拋物線的開(kāi)口向上, ,頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn)頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn), ,a越大越大,拋物線的開(kāi)口越小拋物線的開(kāi)口越小 當(dāng)當(dāng)a0a0 a0 a0 a0a0時(shí)時(shí), ,拋物線的開(kāi)口向上拋物線的開(kāi)口向上, ,頂點(diǎn)是頂點(diǎn)是拋物線的最低

15、點(diǎn)拋物線的最低點(diǎn); ; 當(dāng)當(dāng)a0a0 a0 a0 a0 a0 a0 m+10 mm2 2+m=2 +m=2 解得解得:m:m1 1=2, m2, m2 2=1 =1 由得由得:m:m1 1 m=1 m=1 此時(shí)此時(shí), ,二次函數(shù)為二次函數(shù)為: y=2x: y=2x2 2, ,二次函數(shù)二次函數(shù)y=axy=ax2 2圖象的知識(shí)歸納小結(jié)。圖象的知識(shí)歸納小結(jié)。y=ax2頂點(diǎn)頂點(diǎn) 對(duì)稱軸對(duì)稱軸 開(kāi)口開(kāi)口圖象圖象左側(cè)左側(cè) 右側(cè)右側(cè)x y x ya0a0增大增大(0,0)(0,0)最低點(diǎn)最低點(diǎn)(0,0)(0,0)最高點(diǎn)最高點(diǎn)y y軸軸y y軸軸向上向上向下向下增大增大減小減小增大增大增大增大增大增大減小減小