全等三角形知識(shí)梳理

1、幫你梳理全等三角形山東 李其明豐富的生活情境全等圖形概念特征特例應(yīng)用全等三角形全等三角形特征全等三角形條件直角三角形全等條件尺規(guī)作圖解決實(shí)際問(wèn)題證明公理、定理定義、命題推理、應(yīng)用一、結(jié)構(gòu)梳理二、知識(shí)梳理（一）概念梳理1全等圖形定義：兩個(gè)能夠完全重合的圖形稱為全等圖形，全等圖形的形狀和大小都相同例如圖1中的兩個(gè)圖形形狀相同，但大小不同，不能重合在一起，因此不是全等圖形，圖2中的兩個(gè)圖形面積相同，但形狀不同，也不是全等圖形圖1圖22全等三角形 這是學(xué)好全等三角形的基礎(chǔ)根據(jù)全等形定義：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫全等三角形完全重合有兩層含義：（1）圖形的形狀相同；（2）圖形的大小相等符號(hào)“”也形象、直

2、觀地反映了這一點(diǎn)“”表示圖形形狀相同，“=”表示圖形大小相等3定義、命題與定理定義：能明確指出概念含義或特征的句子，稱為定義例如：（1）有一個(gè)角是直角的三角形，叫做直角三角形（2）有六條邊的多邊形，叫做六邊形（3）在同一平面內(nèi)，兩條不相交的直線叫做平行線定義的特征：定義必須是嚴(yán)密的一般避免使用含糊不清的術(shù)語(yǔ)，比如“一些”、“大概”、“差不多”等不能在定義中出現(xiàn)正確的定義能把被定義的事物或名詞與其他的事物或名詞區(qū)別開(kāi)來(lái)命題定義：判斷它是正確的或是錯(cuò)誤的句子叫做命題（proposition）分類：正確的命題稱為真命題，錯(cuò)誤的命題稱為假命題。結(jié)構(gòu)：許多命題是由題設(shè)（或條件）和結(jié)論兩部分組成的題設(shè)是已

3、知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)這種命題?？蓪?xiě)成“如果那么”的形式其中，用“如果”開(kāi)始的部分是題設(shè)，用“那么”開(kāi)始的部分是結(jié)論例如，在命題“對(duì)頂角相等”中，“兩個(gè)角是對(duì)頂角”是題設(shè)，“這兩個(gè)角相等”是結(jié)論公理與定理一部分?jǐn)?shù)學(xué)名詞和一部分公認(rèn)的真命題作為證實(shí)其他命題的起始依據(jù)，其中數(shù)學(xué)名詞稱為原名，公認(rèn)的真命題稱為公理。即數(shù)學(xué)中有些命題的正確性是人們?cè)陂L(zhǎng)期實(shí)踐中總結(jié)出來(lái)的，并把它們作為判斷其他命題真假的原始依據(jù)，這樣的真命題叫做公理有些命題可以從公理或其他真命題出發(fā)，用邏輯推理的方法判斷它們是正確的，并且可以進(jìn)一步作為判斷其他命題真假的依據(jù)，這樣的真命題叫做定理（theorem） 例如，運(yùn)用公

4、理“兩角及其夾邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等”，可以得到定理：“兩角及其一角的對(duì)邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等”證明（1）證明的概念根據(jù)題設(shè)、定義以及公理、定理等，經(jīng)過(guò)邏輯推理，來(lái)判斷一個(gè)命題是否正確，這樣的推理過(guò)程叫做證明（2）證明的一般步驟理解題意；根據(jù)題意正確畫(huà)出圖形；根據(jù)題意寫(xiě)出“已知”和“求證”；分析題意，探索證明的思路；依據(jù)尋求的思路，運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)和數(shù)學(xué)語(yǔ)言條理清晰地寫(xiě)出證明過(guò)程；檢查表達(dá)過(guò)程是否正確、完善4尺規(guī)作圖（1）什么叫做尺規(guī)作圖？限定用直尺和圓規(guī)來(lái)畫(huà)圖，稱為尺規(guī)作圖（2）基本用尺規(guī)作圖作線段，使它等于已知線段的長(zhǎng)；作角，使它等于已知角；畫(huà)一條直線的垂線；畫(huà)一條線段的垂直平

5、分線；畫(huà)一個(gè)角的角平分線（二）性質(zhì)與判定梳理1全等圖形性質(zhì)：全等多邊形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角分別相等全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角分別相等2全等三角形的判定這是學(xué)好全等三角形的關(guān)鍵只給定一個(gè)條件或兩個(gè)條件畫(huà)三角形時(shí)，都不能保證所畫(huà)出的三角形全等，只要有三個(gè)條件對(duì)應(yīng)相等就可以，于是判定兩個(gè)三角形全等的方法有：（1）三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)記為：sss ；（2）兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)記為：asa；（3）兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)記為：aas；（4）兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)記為：sas若是直角三角形，則還有斜邊、直角邊公理（hl）。由此可

6、以看出，判斷三角形全等，無(wú)論用哪一條件，都要有三個(gè)元素對(duì)應(yīng)相等，且其中至少要有一對(duì)應(yīng)邊相等（5）注意判定三角形全等的基本思路從判定兩個(gè)三角形全等的方法可知，要判定兩個(gè)三角形全等，需要知道這兩個(gè)三角形分別有三個(gè)元素（其中至少一個(gè)元素是邊）對(duì)應(yīng)相等，這樣就可以利用題目中的已知邊（角）去迅速準(zhǔn)確地確定要補(bǔ)充的邊（角），不致盲目地而能有目標(biāo)地完善三角形全等的條件從而得到判定兩個(gè)三角形全等的思路有：已知一邊一角已知兩邊 已知兩角 （6）學(xué)會(huì)辨認(rèn)全等三角形的對(duì)應(yīng)元素辨認(rèn)全等三角形的對(duì)應(yīng)元素最有效的方法是，先找出全等三角形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，再確定對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊，如已知abcefd，這種記法意味著a與e、b與f、c

7、與d對(duì)應(yīng)，則三角形的邊ab與ef、bc與fd、ac與ed對(duì)應(yīng)，對(duì)應(yīng)邊所夾的角就是對(duì)應(yīng)角，此外，還有如下規(guī)律：（1）全等三角形的公共邊是對(duì)應(yīng)邊，公共角是對(duì)應(yīng)角，對(duì)頂角是對(duì)應(yīng)角；（2）全等三角形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊，兩條對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角3如何證明一個(gè)命題是假命題如果要證明或判斷一個(gè)命題是假命題，怎么辦？只要舉出一個(gè)符合命題題設(shè)而不符合結(jié)論的例子就可以了，這稱為“舉反例”（三）基本圖形梳理注意組成全等三角形的基本圖形，全等圖形都是由圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱等圖形變換而得到的，所以全等三角形的基本圖形大致有以下幾種：1平移型 如圖3，下面幾種圖形屬于平移型： 圖3它們可看成有對(duì)應(yīng)邊在一直

8、線上移動(dòng)所構(gòu)成的，故該對(duì)應(yīng)邊的相等關(guān)系一般可由同一直線上的線段和或差而得到2對(duì)稱型 如圖4，下面幾種圖形屬于對(duì)稱型：圖4 圖5它們的特征是可沿某一直線對(duì)折，直線兩旁的部分能完全重合（軸對(duì)稱圖形），重合的頂點(diǎn)就是全等三角形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)3旋轉(zhuǎn)型 如圖5，下面幾種圖形屬于旋轉(zhuǎn)型：它們可看成是以三角形的某一頂點(diǎn)為中心旋轉(zhuǎn)所構(gòu)成的，故一般有一對(duì)相等的角隱含在圖6（1）對(duì)頂角、某些角的和 或差中 三、易混、易錯(cuò)點(diǎn)剖析1探索兩個(gè)三角形全等時(shí)，要注意兩個(gè)特例（1）三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，但三角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等；如圖6（1）中的兩個(gè)三角形的每個(gè)圖6（2）角都是60，但這兩個(gè)三角形顯然不全等；（

9、2）兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等，如圖6（2），中的abc和abd中，雖然有ab=ab，ac=ad，b=b，但它們顯然不全等2在判定三角形全等時(shí)，還要注意的問(wèn)題在判定三角形全等時(shí)，應(yīng)做到以下幾點(diǎn)：（）根據(jù)已知條件與結(jié)論認(rèn)真分析圖形；（）準(zhǔn)確無(wú)誤的確定每個(gè)三角形的六個(gè)元素；（）根據(jù)已知條件，確定對(duì)應(yīng)元素，即找出相等的角或邊；（）對(duì)照判定方法，看看還需什么條件兩個(gè)三角形就全等；（）想辦法找出所需的條件來(lái)3命題難辨問(wèn)題將判斷一個(gè)語(yǔ)句是否是命題與命題的真假混淆，無(wú)論正、誤，只要對(duì)一件事情做出了判斷的語(yǔ)句都是命題；對(duì)于某些命題不能準(zhǔn)確找出條件和結(jié)論，為此，可先將該命題該成“如果，那

10、么”的形式，再來(lái)區(qū)別4證明雜亂無(wú)章問(wèn)題對(duì)于命題的證明有時(shí)只憑經(jīng)驗(yàn)或觀察或特殊情況下進(jìn)行說(shuō)明，最后寫(xiě)出結(jié)果，沒(méi)有具體的推理過(guò)程或推理過(guò)程沒(méi)有條理，雜亂無(wú)章，在證明命題時(shí)，必須嚴(yán)格按照證明的步驟，從條件或已知的結(jié)論出發(fā)，一步一步地、有理有據(jù)的推理5尺規(guī)作圖亂寫(xiě)亂畫(huà)問(wèn)題對(duì)于尺規(guī)作圖有的同學(xué)不是按尺規(guī)作圖的要求，隨手亂畫(huà)，不規(guī)矩、不條理，語(yǔ)言表達(dá)能力差，作圖痕跡不明顯等問(wèn)題四、熱點(diǎn)、考點(diǎn)透視熱點(diǎn)1；全等三角形的判定例1（2006年樂(lè)山市）如圖7（1），e、f分別是平行四邊形abcd的邊ba、dc延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且ae=cf，ef交ad于g，交bc于h（1）圖中的全等三角形有 對(duì)，它們分別是 ；（不添加任

11、何輔助線）（2）請(qǐng)?jiān)冢?）問(wèn)中選出一對(duì)你認(rèn)為全等的三角形進(jìn)行證明我選擇的是： 解：（1）2，aegcfh和behdfg（2）如求證明：aegcfh圖7（2）證明：在平行四邊形abcd中，有bag=hcd，圖7（1）所以eag=1800bag=1800hcd=fch圖6又因badc，所以e=f又因ae=cf，所以aegcfh點(diǎn)評(píng)：本題簡(jiǎn)單地考察學(xué)生對(duì)圖形的識(shí)別能力以及證明能力，主要是根據(jù)全等三角形的判定條件去尋找，然后再作出證明熱點(diǎn)2：尺規(guī)作圖及應(yīng)用例2（2006年浙江省湖州市）已知rtabc中，c=90º（1）根據(jù)要求作圖（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)畫(huà)法）作bac的平分線ad交bc

12、于d；作線段ad的垂直平分線交ab于e，交ac于f，垂足為h；連接ed（2）在（1）的基礎(chǔ)上寫(xiě)出一對(duì)相似比不為1的相似三角形和一對(duì)全等三角形：_；_并選擇其中一對(duì)加以證明 解：（1）畫(huà)圖略（2）相似三角形有：ahfacd；aheacd；dheacd；bdebca等全等三角形有：ahfahe；ahedhe；ahfdhe證明：（略）點(diǎn)評(píng)：本題首先考查學(xué)生的作圖能力，然后在尺規(guī)作圖的基礎(chǔ)上， 進(jìn)一步考查學(xué)生的全等與相似三角形的判定與證明能力熱點(diǎn)3：全等三角形的應(yīng)用圖8（1）例3（2006年棗莊市）兩個(gè)全等的含300, 600角的三角板ade和三角板abc，如圖8（1）放置，e，a，c三點(diǎn)在一條直線上

13、，連結(jié)bd，取bd的中點(diǎn)m，連結(jié)me，mc試判斷emc的形狀，并說(shuō)明理由解：emc是等腰直角三角形 證明：由題意，得：de=ac，daebac900，dab=900.連接amdm=mb，ma=db=dm,mda=mab=450，mde=mac=1050，圖8（2）edmcam ，em=mc, dme=amc ，又emc=ema+amc=ema+dme=900，cmem所以emc是等腰直角三角形點(diǎn)評(píng)：這是一道小小的以學(xué)生比較熟悉的學(xué)具為背景的拼圖、猜想、證明題，它的特點(diǎn)是：貼近生活，背景簡(jiǎn)單，易于操作，結(jié)論易得，證明方法多種多樣，能考查學(xué)生的善于發(fā)現(xiàn)，敢于猜想，只要稍微動(dòng)手測(cè)量，問(wèn)題便不難解決熱

14、點(diǎn)4：條件組裝自編命題例4（2006年內(nèi)江市）如圖9，在abd和ace中，有下列四個(gè)等式：ab=ac ad=ae 1=2bd=ce.請(qǐng)你以其中三個(gè)等式作為題設(shè)，余下的作為結(jié)論，寫(xiě)出一個(gè)真命題（要求寫(xiě)出已知，求證及證明過(guò)程）（提示：答案不唯一）點(diǎn)評(píng)：本題是條件組裝題，答案不唯一，它重點(diǎn)考查學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和能力，四個(gè)命題進(jìn)行組合，有六種情況，這六種情況中21ecba圖9ecdba圖10有的是假命題，請(qǐng)同學(xué)們注意分辨五、鏈接中考1（2006年攀枝花市）如圖10，點(diǎn)e在ab上，ac=ad，請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使圖中存在全等三角形，并給予證明。所添?xiàng)l件為 ，你得到的一對(duì)全等三角形是 （提示：可選擇等條件中

15、的一個(gè)?？傻玫?， 證明過(guò)程略）2（江蘇省淮安市2006年中考題）如圖11，ab=cd=ed，ad=eb，bede，垂足為e(1)求證：abdedb圖11(2)只需添加一個(gè)條件，即_，可使四邊形abcd為矩形.請(qǐng)加以證明.提示：(1)證明略(2)添加abcd，或添加ad=bc或be=bc或a=adc或adc=90°或a=c或c=90°或abd=bdc或a=abc或adb=dbc或abc=90°等.證明略.3（2006年江陰市）已知，如圖12，abc是等邊三角形，過(guò)ac邊上的點(diǎn)d作dgbc，交ab于點(diǎn)g，在gd的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)e，使dedc，連接ae、bd（1）求證：aged