常微分方程的應(yīng)用

1、111 編號編號 學學士士學學位位論論文文常微分方程的應(yīng)用常微分方程的應(yīng)用學生姓名： 學 號： 系 部： 專 業(yè)： 數(shù)學 年 級： 指導(dǎo)教師： 完成日期： 年 月 日 學學 士士 學學 位位 論論 文文 BACHELOR S THESIS中文摘要此處為中文摘要，宋體小四號字，行間距 1.25。關(guān)鍵詞：關(guān)鍵詞：多個關(guān)鍵詞之間用分號隔開 學學 士士 學學 位位 論論 文文 BACHELOR S THESIS1 目錄中文摘要中文摘要 .1引言引言 .21.1.微分方程的應(yīng)用微分方程的應(yīng)用 .21.11.1 等角軌線，正交軌線等角軌線，正交軌線.31.21.2 幾何學問題幾何學問題.71.31.3 動

2、力學問題動力學問題.81.41.4 生態(tài)學中的增長問題生態(tài)學中的增長問題.9總結(jié)總結(jié) .11參考文獻參考文獻 .12致謝致謝 .12 學學 士士 學學 位位 論論 文文 BACHELOR S THESIS1引言人們在對物質(zhì)的運動進行定量或定性的摸術(shù)時常常需要借助于數(shù)學工具。常微分方程是描述物質(zhì)運動經(jīng)常使用，而且還使用得十分廣泛的一種數(shù)學工具。通過分析是想應(yīng)的微分方程的各種特性，能夠?qū)λ芯课镔|(zhì)的生態(tài)，獲得某些定性和定量的了解。本文我將通過實列說明一些物理學，幾何學，得某些定律或某些生態(tài)問題是如何導(dǎo)致微分方程問題的。由于這文的目的是說明如何從實際問題導(dǎo)致微分方程問題的。1.1.微分方程的應(yīng)用微分

3、方程的應(yīng)用常微分方程的應(yīng)用很廣泛，常微分方程的產(chǎn)生和發(fā)展愿與實際問題的需要，同時它也成為解決實際問題的有力工具。我們應(yīng)用常微分方程能解決幾何學，動力學，電學，光學，化學，天文學中的一些問題。一般來說，用常微分方程解決問題過程分以下三個步聚 ：1.建立方程 。對所研究問題，根據(jù)已知定律或公式以及某些等量關(guān)系列出微分方程和相應(yīng)初值條件。2.求解微分方程 。3.分析問題 。通過已求得的解的性質(zhì)，分析實際問題 。用微分方程來解決實際問題必順考慮如下幾個方面 ：1.轉(zhuǎn)換 。把實際問題的文字語言轉(zhuǎn)換為數(shù)學語言與符號，如數(shù)學上倒數(shù)用來表示運動學中的速率，生物學中的增長率，放射學中的衰減率等。既了解所討論問題

4、學科方面的知識，又掌握數(shù)學知識，我們就會在這兩者之間架起溝通橋染，完成建模任務(wù) 。2.關(guān)鍵。微分方程是瞬時命題，它必順在任何時刻都正確，這是數(shù)學中心部分 。如果你已經(jīng)了解代表導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵詞語，想找出,與之間的關(guān)系，首yyx 學學 士士 學學 位位 論論 文文 BACHELOR S THESIS2先要集中研究變化率，其次要注到往往不是直接對這些量應(yīng)用規(guī)律，而是對某些微元應(yīng)用，在取極限而得到微分方程 ，這就是數(shù)學上的所謂微元分析方法 。3.單位。對于進入微分方程的項必須保證它的每一項有相同的單位（如 m/s,kg/d,）如果注意到了這些，往往可以幫助你是實現(xiàn)與檢驗微分方程的正確性。4.已知條件。它是

5、在特定地點或時間的已知信息，它們不屬于微分方程本身，而是用來決定特定的運動或常數(shù)。這些就是所謂的初始條件或邊界條件。5.求解。這一步是純數(shù)數(shù)學問題，綜合我們學到的數(shù)學知識，求精確或近似解。1.11.1 等角軌線，正交軌線等角軌線，正交軌線我們來求這樣的曲線獲取險族，使得它與某已知曲線族的每一條曲線相交成給定的角度。這樣的曲線稱為已知曲線的等角軌線。當所給定的角為直角時，等角軌線稱為正交軌線。求等角軌線的方法：設(shè)在（）平面上，給定一個單叁數(shù)曲線族求這樣的曲, x y :c, ,0 x y c線 L 與（C）中每一條曲線的交角度都是定角（圖 1）yxoL C（圖 1） 學學 士士 學學 位位 論論

6、 文文 BACHELOR S THESIS3設(shè)的方成為 。為了求，我們先來求出所應(yīng)滿足的微L 11yyx1( )y x1( )y x分方程，也就是要先求得的關(guān)系式 。條件告訴我們與的曲線相交11,x y yL( )c成定角，于是，可以想象，和必然應(yīng)當與中的曲線及其且顯1y1y c yy x得斜率有一個關(guān)系。事實上，當時，有y211tan1yyky y或 111ykyky 當 時，2 11yy 又因為在交點處，于是如果我們能求得的關(guān)系即曲線 1y xyx11,x y y族所滿足的微分方程 c , ,0f x y y 只要把盒霍代入（*） ，就可以求得的方成了。1yy11,x y y如何求（*）呢

7、？采用分析法。設(shè)為中任一條曲線，于是存在相應(yīng)的，使得( )yy x( )cC 學學 士士 學學 位位 論論 文文 BACHELOR S THESIS4 ,0 x y xC因為要求的關(guān)系，將上式對求導(dǎo)數(shù)，得1, ,x y yx ,0 xyx y xCx y x C yx這樣，將上兩式聯(lián)立，既由 , ,0 x y C , , ,0 xyx y Cx y C y肖去,就得到所應(yīng)當滿足的關(guān)系C ,x y xyx, ,0f x y y 這個關(guān)系成為曲線族的微分方程。 C于是，等較軌線的微分方程為2 111,01ykfx yky而正交軌線（）的微分方程為2 111,0fx yy例例 1：求直線束的等角軌線

8、和正交軌線 。yCx解：解：首先求直線族的微分方程 。yCx將對求導(dǎo)，得，由yCxxyC yCxyC 學學 士士 學學 位位 論論 文文 BACHELOR S THESIS5肖去，就得到的微分方程CyCxdyydxx當時，由（1.6）知道，等角軌線的微分方程為21dykydxdyxkdx或xdyydxxdxydyk及22221xdxydyxdyydxxykxy即22211ydxdxydyxxykyx積分后得到2211ln()arctanln2yxyCkx或1arctan22ykxxyCe如果寫成極坐標形式，不難看出等角軌線為對數(shù)螺線（圖 2）kCe如果，由可知，正交軌線的微分方程為21ydyx

9、即 學學 士士 學學 位位 論論 文文 BACHELOR S THESIS6dyxdxy 或0 xdxydy故正交軌線為同心圓族 （圖 3）222xyC 1.21.2 幾何學問題幾何學問題例例 2：設(shè)曲線位于平面的第一象限內(nèi)，上任一點處的一切線與LxoyLM軸總相交，交點記為，已知且經(jīng)過點求的方程 。yAMAOAL3 3,2 2Lxyxyoo圖 3圖 2 學學 士士 學學 位位 論論 文文 BACHELOR S THESIS7解：解：題中的要求是，抓住這個關(guān)系式建立方程。設(shè)曲線的任一MAOAL點的坐標是，曲線的方程為，于是過點曲線的切線方程M, x yL( )yy xML為 ( )( )()Y

10、y xy x Xx與軸交點的坐標為：YYY ( )( )y xxy x由推知MAOA2222()()xxyoyxyo其中 ，化簡便得 ( ),( )yy xyy x212yyyxx 初值條件是，上述方程是伯努利方程，解之得323|2xy112dxdxxxyexedxc由于曲線在第一象限內(nèi)，故2ycxx在以 定出。于是的曲線方程為，當或323|2xy3c 23yxx0 x 時，切線與軸重合或不相交，點無定義。故的定義域為：3x yA23yxx03x1.31.3 動力學問題動力學問題 動力學是微分方程最早期向泉愿之一。在求解動力學問題時，要特別注意力學問題中的定律條件，如初始條件等。 yy xyA

11、M, x y3 3,2 2O圖 4x 學學 士士 學學 位位 論論 文文 BACHELOR S THESIS8例例 3：物體由高空下落，除受重力作用處，還收到空氣阻力阻力的作用，在速度不太大的情況下（地域音速的 4/5） ，空氣阻力可看作與速度的平方成正比。式證明在這情況下，落體存在極限速度 。v解：解：設(shè)物體質(zhì)量為，空氣阻力系數(shù)為，由設(shè)在時刻 物體物體的下落速mkt度為 ，于是在時刻 物體所收的力為vtfmgku=-從而，根據(jù)牛頓第二定律可列出微分方程 2dmmgkdtuu=-因為是自由落體，所以有 (0)0u=解：解：由有200vtmdvdtmgku=-積分得1ln2mgkmtkgmgku

12、u+=-或ln2mgkkgtmmgkuu+=-解出 ，得v22(1)(1)kgtmkgmmg ek eu-=+當時，有t 1limtmgkuu += 學學 士士 學學 位位 論論 文文 BACHELOR S THESIS9據(jù)測定，其中為與物體形狀有關(guān)的常數(shù);為介質(zhì)密度； 為物體kapsaps在地面上的投影面積。1.41.4 生態(tài)學中的增長問題生態(tài)學中的增長問題例例 4：對我國人口總數(shù)發(fā)展趨勢的估計。解：解：（1）令表示某一國家在時間 的人口總數(shù)。嚴格地說，是一個( )n tt( )n t不連續(xù)的階梯函數(shù)。但是一個人的增減與全體人數(shù)相比極為微小我們將把視為光滑的函數(shù)這樣就可應(yīng)用微積分的方法。(

13、)n t（2）人口增長率（出生率與死亡率之差）是在時間內(nèi)的平均( , )rr t nt增長率為，其中為人口的增量，所以tt n n01limtndnrtnn dt 即 dnrndt這就是人口總數(shù)所滿足的微分方程 。最簡單的模型是假設(shè) 為常數(shù)，nr0k 于是容易求出初值問題 00( )dnkndtn tn的解為 0()0k t tnn e這表明人口是按指數(shù)曲線增長的，這就是馬爾薩斯人口論的根據(jù)，這一理論已被實踐證明是錯誤的 。容易明了解，人口的增長率是會隨人口基數(shù)的增大而下降的因此人們又提出了一個新的模型 :假設(shè) 學學 士士 學學 位位 論論 文文 BACHELOR S THESIS10 rab

14、n其中正的常數(shù)和稱為生命系數(shù) 。一些生態(tài)學家測得的自然值為aba0.029，而的值測取決于各國的社會經(jīng)濟條件。在這一段設(shè)下，方程成為b ()dnabn ndt這是一個變量分離的方程，初值問題+的解為 00()0()00k t tk t tan enabnbn e這類增長和衰減的問題中，仍使用微分方程解決 。通過以上的例題，我們看到微分方程的一些背景 。當然還有很多實例，如在物理學的電學，光學，力學問題，及化學，天文學，生物學，電子技術(shù)，自動控制，宇宙飛行等等，都存在著大量的微分方程問題 。因此是會生產(chǎn)實踐是微分方程取之不盡的基本泉原實際問題的類型泛多，先對某種類型的微分方程進行研究，然后解決一大批同類性質(zhì)實際問題 ?？偨Y(jié)微分方程是數(shù)學的一個重要分支，建立數(shù)學模型不是一個簡單的事情，這是對實際問題的一個“去粗取精“的過程。一個數(shù)學模型的建立不是成功，還要通過實踐來檢臉 。在人口問題中，如死亡率，自然災(zāi)害等都直接影響人口數(shù)量 。因此，要做細致的工作，建立更好的數(shù)學模型，同時數(shù)學模型的不斷改進，也推動了微分方程本身發(fā)展 。我們應(yīng)當對微分方程本身的基本理論和屆微分方程的方法所了解