GM模型適用范圍

1、6.5GM（1,1）模型的適用范圍鄧聚龍教授對GM（1, 1）模型作了十分深入的研究，得到了 GM（1, 1）模型的多種不同形式。主要有:(1)x(o>(k) + ax(l)(k) = b(2) x(0>(k) + az(1)(k) = bi(n(A: + l) = (x<0)(l)-k-flA+-£(。依 +1) = ”)(k + 1； _ 上心(5)=夕一3：(左一1) , k = 2,3,m ;；(6)i(0)(2) = Z?-av0>(l)x<0> (幻=(1 a)«°)(k l);k = 3,4 nx<0>

2、(2) = /7-tzr(0)(r)米。)(k)= H x(0)(k-l);k=3A -n1 + 0.5a(8)£。(2) = /-60 -<o)z> ,x(k -l)-0.5b(o)X (K) = -7- V (K -1)；K =3,4” (A 2) + 05%(9)髀伏）= + 0.5a J-i '1+0.5。)；k = 2,3,，7 / 6(10)x(0)(k) = 1-”)(3)/如% k>3(l-a)3 '匕(11)(12)(13)”，=（尸-以°）”心） =（Y）（x-綠 a£（°（攵）=（一 心田"

3、;” a命題6. 5.1當(dāng)（ i）Zz（Qf f（幻時，GM（1, 1）模型無意義。k-2k-2證明采用最小二乘法估計模型參數(shù)，有,t Z(幻£ X -( -1) t Z("a = (-1)£0(盼2 -歷泮2*-24.2、-fz(心(中3 = 2J-21-2k-2( lz2 Tlz(盼2 攵2心2當(dāng)(-l)£z(k)F - fz(幻時'Gfs,Bfs,無法確定模型參數(shù)，故 A-242此GM(1,1)模型無意義。命題命5.2當(dāng)GM(1, 1)發(fā)展系數(shù)1°整2時,GM(1, 1)模型無意義。證明由GM(1,1)表達式”（幻=3 次= 2,

4、3, U + 0.5«；1 + 0.5«可知，/當(dāng)。=-2時，”)(幻-8;2° 當(dāng)。=2時，”(幻=0；3.當(dāng)|>2時，為常數(shù)，而隨著A的奇偶性不同而改變符號，因此 x(%)隨著A的奇偶性不同而變號。由以上討論可知(-s,2u2,s)是GM(1, 1)發(fā)展系數(shù)-的禁區(qū)。當(dāng) £(,-2 = 2,8)時，GM(1, 1)模型失去意義。一般地，當(dāng)|<2時，GM(1,1)模型有意義。但隨著的不同取值， 預(yù)測效果也不同。對于一2<<0,即發(fā)展系數(shù)0<一n<2的情形，我們分 別取-a=0.l,0.2,0.3,0.4,0.5,0.

5、6,0.8,l.5,L8等進行模擬分析。取A=0,1, 2, 3, 4, 5,由 f (k + l) =可得如下數(shù)列：-a=0. 1, X0> = (x；0>(l)tx；o)(2)9x；0)(3)9x；0)(4)tx；o)(5),x；o)(6)= (1, 1. 1051, 1. 2214, 1. 3499, 1. 4918, 1. 6487)- a=0. 2,x£ = (l,1.2214,1.4918, 1.8221,2.2255,2. 7183)- a=0. 3,Xf = (1,1.3499,1. 8221, 2.4596,3.3201,4. 4817)- a=0. 4

6、, Xf = (1, 1. 4918, 2. 225, 3. 3201, 4. 9530, 7. 3890)- a=0. 5,XO> = (1,1.6487,2. 7183, 4.4817,7.3890,12. 1825)- a=Q. 6,X魯二(1,1.8821,3. 3201, 6.0496,11. 0232, 20. 0855)- a=Q. 8, X黑二(1, 2. 2255, 4. 9530, 11. 0232, 24. 5325, 54. 5982)X黑= (1, 2.7183, 7. 3890, 20. 0855, 54. 5982, 148. 4132)一 a=L 5, X

7、；0) = (l, 4. 4817, 20. 0855, 90. 0171,403. 4288, 1808. 0424)- a=1.8,X：； 二 (l, 6. 0496, 36. 5982, 221. 4064, 1339. 4308, 8103. 0839)分別以X；。,，X；叫，X；。)為原始序列建立GM(1,1)模型得到如下的時間 響應(yīng)式：X小 +1) = 1 0.5075009992,X2a -9.507541伙 +1) = 5.51643 t0-1990u -4.516431£；" + 1) = 3.8583逑沏769" 一2.858321(4 +1)

8、 = 3.033196° 網(wǎng)752 j 2.033192號)/ +1) = 2.54147048983824 -1.541474以)(k +1) = 2.21 636>O582626-u -1.21636：鏟(Z+1) = 1.81597207598991* -0.81597 H-0.5819732(1) f 、 «0.9242348k xs (4 + 1) = 1.581973.(A:+ 1) = 1.2871821270298* -0.2871822.(k +1) = 0.19819*2* _oi98i 96f由般"+ 1)=¥)(攵 + 1)

9、-£丁(幻，i = l,2,0,得£；°)(攵 + 1) = 0.9991S。09992儂人,只。)(攵 + 1)= 0.9969&°99刈”3xfk + 1) = 0.99362*0297769" , x(k +1) = 0.9892803W52A,£黑(攵 +1) = 0.984240 4898382", £：°)(k +1) = 0.9786»05826263',辭(攵 +1) = 0.966617()-759899U , £；°)(k +1) = 0.

10、9541 09242348",我口(攵 + 1) = 0.92580»'2702981, £；：" + 1) = 0.9122,4325%"由于 GM (1, 1)模型 x(0)(k) + 四(%)=。中 Z(k) = L (x(,) (k) + x(k -1)為 2均值生成，對于增長序列，具有弱化其增長趨勢的作用。指數(shù)序列建立GM(1, 1)發(fā)展系數(shù)減小。比較原始序列X7及模擬序列文：°)的誤差(見表6. 5. l)o表6. 5. 1模擬誤差發(fā)展系數(shù)一a1-2平均相對誤差0. 10. 0040. 104%0.20. 0100

11、. 499%0. 30. 0381.300%0.40. 1162. 613%0.50. 3074. 520%0.60. 7417. 074%0.83. 60314.156%114. 80723. 544%1.5317. 86751. 033%1. 81632. 24065. 454%可以看出，隨著發(fā)展系數(shù)的增大，模擬誤差迅速增加。當(dāng)發(fā)展系數(shù)小 于或等于0.3時，模擬精度可以達到98%以上，發(fā)展系數(shù)小于或等于0.5 時，模擬精度可以達到95%以上，發(fā)展系數(shù)大于1,模擬精度低于70樂發(fā) 展系數(shù)大于1. 5,模擬精度低于50%o進一步考察1步，2步，5步，10步預(yù)測誤差（見表6.5.2）表6. 5.

12、 2預(yù)測誤差- a0. 10.20. 30.0.50.60.811.1.4581步誤0. 120. 701.994. 317.98813.4031. 5965. 11差9%1%8%7%5%5%7%2步誤0. 130. 762. 224. 869.09115. 3936. 9778. 11差7%8%6%5%2%9%3%5步誤0. 160. 962.916. 5212. 4621.5654. 49差0%7%2%9%8%6%1%10步0. 851.304. 069. 3618. 3332.5988. 79誤差5%1%7%2%0%9%0%可以看出，當(dāng)發(fā)展系數(shù)小于0.3時，1步預(yù)測精度在98%以上，2步和 5步預(yù)測精度都在97%以上；當(dāng)0.3一。0.5時，1步和2步預(yù)測精度皆 在90%以上，10步預(yù)測精度亦高于80%；當(dāng)發(fā)展系數(shù)大于0. 8時，1步預(yù) 測精度已低于70%o表7. 5